Tema 2 espai euclidià, Diapositivas de Matemáticas

¡Descarga Tema 2 espai euclidià y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

T2: Espai euclidià. Formes quadràtiques.

Matemàtiques I

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Definició (Producte escalar)

Siguin~v i ~w són dos vectors de R

n

,~v = (x

1

,... , x

n

) i

~w = (y 1

,... , y n

El producte escalar habitual dels dos vectors~v i ~w es representa

per~v
~w o també per h~v, ~wi i es defineix per

~v
~w = (x

1

,... , x

n

)
(y

1

,... , y

n

) = x

1

y

1

• 
  
  
  + x

n

y

n

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Definició (Espai euclidià)

EL parell format per l’espai vectorial R

n

i el producte escalar

( R

n

, h , i)

s’anomena Espai euclidià R

n

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Propietats del producte escalar

1. Commutativa: ~v
   ~w = ~w
   ~v
2. Definida positiva: ~v
   ~v  0 i (~v
   ~v = 0 , ~v = 0 )
3. Bilineal:

I ~v
(~w

1

• ~w

2

) = ~v
~w

1

+~v
~w

2

I ( λ ~v)
~w = λ (~v
~w) = ~v
( λ ~w)

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Definició (Vector unitari)

Un vector~v de R

n

es diu que és unitari si

k~vk = 1.

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Exemple

Calcular k(2, 3, 5)k

k(2, 3, 5)k =

q

2

2

2

p

Exemple

Veure que el vector~v =

3

5

4

5

és unitari

s

2

2

2

r

r

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

v

w = k

vk
k

wk
cos ( α ) on α és l’angle que formen els

vectors~v i ~w.

6. j~v
   ~wj  k~vk
   k~wk (Desigualtat de Schwartz)
7. Si~v 6 = 0, aleshores el vector ~w =

~v

k~vk

és unitari.

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Observació 1

A partir de la propietat 5, podem establir un mètode per

calcular l’angle entre dos vectors no nuls, doncs si

~v
~w = k~vk
k~wk
cos ( α )

tindrem

cos ( α ) =

~v
~w

k~vk
k~wk

d’on

α = arccos

~v
~w

k~vk
k~wk

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Resolució

A partir de la propietat 5

(3, 1, 2)
(1, 4, 1) = k(3, 1, 2)k
k(1, 4, 1)k
cos ( α )

per tant,

p

p

1 + 16 + 1
cos ( α )

és a dir

p

p

18
cos ( α )

d’on

cos ( α ) =

p

p

= 0.063 ) α = arccos (0.063) ' 86.

o

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Observació 2

Dos vectors són ortogonals (perpendiculars) quan formen un

angle de 90

o

Per tant, si l’angle que formen és α = 90

o

, tindrem cos (

α ) =

D’aquesta forma,~v i ~w són ortogonals (perpendiculars) si

v

w = 0. Suposarem que

v i

w són vectors no nuls.

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Seran perpendiculars quan

(k, 1, 1)
(2, 3, 5 ) = 0

és a dir

2 k + 3 5 = 0

d’on resulta

k = 1.

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Exercici

Calcular els valors de k per als que els vectors (2, k) i (1, 1)

formen un angle α de 45

o

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Exercici 1

Calcular l’angle que formen els vectors~v = (3, 0) i ~w = (4, 4).

Exercici 2

Calcular els valors de k per als que els vectors (k, 1) i (2, 2)

formen un angle α de 60

o

(cos ( 60

o

1

2

1. Espai euclidià. Formes quadràtiques.

1.2. Norma d’un vector: Definició i propietats.

1.3. Distància: Definició i propietats

1.4. Nocions topològiques bàsiques

1.5. Formes quadràtiques: definició i classificació

Definició (Distància entre dos vectors)

Donats

v = (x 1

,... , x n

) i

w = (y 1

,... , y n

) dos vectors de R

n

, la

distància entre~v i ~w es representa per d (~v, ~w) i es defineix com

d (~v, ~w) = +

q

(x

1

y

1

2

• 
  
  
  + (x

n

y

n

2

Exemple

Quina és la distància entre els vectors~v = (3, 1, 1) i

~w = (2, 2, 0)?