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PROBLEMA 1:Se considera la experiencia aleatoria de lanzar undado^ Se definen los sucesos: S
“obtener un número par” 1
S^2
dado. Se definen los sucesos: S
obtener un número par , S 1
2
“obtener^ un^ múltiplo
de^ 3”,^ S“obtener^3
un^ número^ par
y
múltiplo de 3”, S
“obtener un número par o múltiplo de 3”. 4
Calcular sus probabilidades El espacio muestral de la experiencia aleatoria es
:^ Ω={1 2 3 4 5 6}
Calcular^ sus^ probabilidades
El^ espacio muestral de la experiencia aleatoria es:
Ω^ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Subespacios asociados
Probabilidades asociadas a los sucesos
a los sucesosa los sucesosS={2, 4, 6}^1
p(S^ ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2^1
S^ {3 6}^
(S )^ 1/6^ 1/^
S={3, 6}^2
p(S) = 1/6 + 1/6 = 1/3^2
S=S∩^ S={6}^31
p(S) = 1/6^3
S^ S^ ^ S^ {^
}^ (S )^
(S )^ (S )^ (S )
S= S^ S={2, 4, 3, 6}^41
p(S) = p(S^4
) + p(S) - p(S) = 4/6 123
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
PROBLEMA 8: Considérese la experiencia aleatoria: “lanzar unamoneda^ dos^ veces”
y^ los^ sucesos:
A:^ “Obtener^
cara^ en^ la
moneda^ dos^ veces
y^ los^ sucesos:
A:^ Obtener^
cara^ en^ la
primera tirada”, B: “Obtener cara en la segunda tirada” y C:“Obtener^ el^ mismo
resultado^ en^
ambas^ tiradas”,
mostrar^ la
independencia^
de^ los^ tres^ sucesos
2 a^2 y^ comprobar
sin
El espacio muestral de cada lanzamiento es
Ω={C, R}i^
independencia^
de^ los^ tres^ sucesos
2 a^2 y^ comprobar,
sin
embargo, que A, B y C son dependientes. El^ espacio muestral de cada lanzamiento es
Ω{C, R}i^
y el de la^ experiencia aleatoria es: Ω=^ Ωx^ Ω= {C, R} x {C, R}=^1
{(C,C);(C,R);(R,C);(R,R)}
Si los sucesos A B y C son independientes dos a dos pero no los tres enSi los sucesos A, B y C son independientes dos a dos pero no los tres enconjunto debe ocurrir:
(^ C)^ (^ )^ (C)
(^ C)^ (^
)^ (C)
p(A^ ∩^ B)=p(A)p(B);
p(A^ ∩^ C)=p(A)p(C);
p(B^ ∩^ C)=p(B)p(C)
p(A^ ∩^ B^ ∩^ C)^ ≠^
p(A)p(B)p(C)
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
PROBLEMA^ 2:^
De^ una^ población
de^ peces^ en
la^ que^ la
proporción de machos es 0 4 se extraen 4 ejemplares
¿Cuál es
proporción de machos es 0.4 se extraen 4 ejemplares. ¿Cuál esla probabilidad de que al menos 1 de ellos sea macho?
ResultadosResultados
El espacio muestral de cada extracción es
Ω={M, H}i^
siendosiendoP(M)=
;^ p(H)=1-
y el de la^ experiencia aleatoria es:^ Ω
=^ Ωx^ Ωx^ Ωx^1
Ω^4
Denominamos S al suceso:”al menos 1 ejemplar es macho”, siendo S
C
el suceso contrario.S
C={HHHH}
Como los sucesos obtener hembra en la i-ésima extracción son entre siComo los sucesos obtener hembra en la i ésima extracción son entre siindependientes:p(S
C^4 )=^ (1-^ )^4 P(S)= 1-^ (1-^ )
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
P(S)=^ 1-^ (1^ )
PROBLEMA^ 10:
La^ ley^ de^
Hardy-Weinberg
establece,^ en
ausencia de mutación
que en una población dialélica respecto
ausencia de mutación, que en una población dialélica respectode^ un^ determinado
gen^ (A,^ a),^
con^ reproducción
sexual,^ la
proporción de los genotipos (AA, Aa, aa) alcanza un equilibrioen^ un^ sólo^ cruce
partiendo^ de
cualquier^ distribución
inicial
en^ un^ sólo^ cruce,
partiendo^ de^
cualquier^ distribución
inicial.
Compruebe la veracidad de dicha ley.
D^ t^ ióDemostración
Para demostrar la ley basta con establecer que la proporción esperadade cualquier genotipo en la generación filial
n^ es la misma que en la
q^ g^ p^
g^
q
n +1.^ Calcularemos
las^ proporciones
esperadas^ para
la^ F1^ y
comprobaremos que es igual para la F2 y sucesivasConsiderando^ un
descendiente^ de
un^ cruzamiento
cualquiera,^ el
espacio muestral resultante será:^ Ω
={AA, Aa, aA, aa}
donde el la primera letra denota el alelo aportado por el primer parentaly la segunda por el segundo
y^ la^ segunda^ Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
por^ el^ segundo.
Demostración
donde^ hemos^ denominado
’ por analogía p
’^ ’^ p^ p^ a las proporciones
donde hemos denominado por analogía p
, p, pa las proporciones 1 2 3
esperadas de los genotipos AA, Aa y aa respectivamente en la F1.Y la proporción alélica esperada para la siguiente generación filial (F2)será:^
2 (^2 2) ' ' 1 2 1 2
1 2 3 2 1 1
p^ p^ p^
p^ p^ p^
p^ p 2 2
p(AA)^
^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^
^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^
^
2 2
2 1 1 2 2 1
3 1 2 2
3 2
(^221) 1 1
p^ p p^ p^ p p
p p^ p p^
p 4 2
(^1) p p 2 ^ ^ ^
^ ^ ^
^
^
^
^ ^ ^
^ ^ ^
^
^
^
^ ^ ^ 2
'^ '^ '^ ' 1 2 3 2
1
(^1 ) 1 1
2 p^ p^ p^
p^2 p^ p^
p^ p 2 2
p(Aa)^
^ ^
^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^
^
^ ^
^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^
(^1) p p^22 ^
^
^
^
1 2 3 2 2 3 2 1 2 3
2 1 1
p^ p^ p^
p^ p^ p 2 2 2
(^1 1) ^ 2 p p^ p^ p ^ (^2 2) ^
^ ^ ^
^
^ ^ ^
^
^
^ ^ ^
^
^ ^ ^
^
^
^
^
(^2 2) ' ' 3 2 3
1 2 3 2
(^1) p
p^ p^ p^
p^ p^ p^
p^ p (aa)^2
pp (^22) 2 ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^
^
^ ^ ^
^ ^
^
^ ^ ^
^ ^ ^
^
^
^7
Proporciones obviamente iguales a las de la F1. Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
PROBLEMA 3:La prevalencia de una enfermedad vírica; es decirla proporción de individuos a los que les afecta; es del 4%. Unla proporción de individuos a los que les afecta; es del 4%. Uninvestigador^ ha
estimado^ que
los^ valores^ de
los^ coeficientes
falso–positivo^
(probabilidad^
de^ que^ la^ prueba
dé^ positivo
estando sano) y falso–negativo (probabilidad de que la pruebaestando sano) y falso–negativo (probabilidad de que la pruebadé negativo estando enfermo) relativos a una prueba T son,respectivamente,
=0.03 y^ =0.02. Calcular:ó
1)^ La^ proporción
de^ individuos
enfermos^ entre
los^ que^ han
dado positivo al someterse a la prueba T.2) La^ probabilidad
de^ estar^ enfermo
en^ el^ caso^ de
que^ el
2)^ La^ probabilidad
de^ estar^ enfermo
en^ el^ caso^ de
que^ el
resultado del test sea negativo.
Datos
Sucesos: E (enfermo), S (sano), + (test positivo), - (test negativo)(E)^ 0 04^
( |S) 0 03^ ( |E) 0 02
p(E) = 0.04;^ p(+|S)=0.03;
p(-|E)=0.
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Interpretación de los resultados
Sin conocimientos de probabilidad podría pensarse que dado que laprobabilidad de dar negativo si se está sano es del 97%, un individuoque da positivo en el test tiene una altísima probabilidad de estarque da positivo en el test tiene una altísima probabilidad de estarenfermo. El resultado muestra que no es así y que sólo el 57,6% de losque dan positivo están enfermos. Ello es debido al efecto de la bajaprevalencia de la enfermedad (en el numerador) y de la consecuenteprevalencia de la enfermedad (en el numerador) y de la consecuentealta tasa de individuos sanos (en el denominador).Una^ consecuencia
importante^ de^
estos^ resultados
podría^ ser^ la
siguiente: suponga que un investigador selecciona una
muestra de
individuos afectados por esta enfermedad vírica utilizando este test yindividuos afectados por esta enfermedad vírica utilizando este test yque ensaya sobre ellos la respuesta a diferentes terapias. La muestraelegida en este caso tendría como promedio un 42,4% de individuosque no sufren la enfermedad con las gravísimas consecuencias queque no sufren la enfermedad con las gravísimas consecuencias queesto tendría sobre la calidad de la investigación realizada.
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCMDpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
PROBLEMA^ 6:
En^ un^ lago
conviven,^
en^ cantidades
suficientemente
grandes,^ tres
variedades,^ A,
B^ y^ C,^ de^ la
g^ ,^
,^ ,^ y^ ,
subespecie de la carpa de cuero (
Cyprius Carpio coiaceus
). Las
carpas de las 3 variedades están en las proporciones 2:2:1 yhomogéneamente
repartidas.^ El
80%^ de^ las
carpas^ de^ la
homogéneamente
repartidas.^ El
80%^ de^ las
carpas^ de^ la
variedad A presentan una aleta dorsal alargada, en la variedad Bla presentan un 30% y en la C sólo presentan esa característicael 25%^ En el experimento consistente en extraer una carpa alel 25%. En el experimento consistente en extraer una carpa alazar se denomina A, B y C a los sucesos “la carpa pertenece a lavariedad de ese nombre”, L al suceso “la carpa tiene la aletaC^ alargada” y L
a su complementario
Considérese la experiencia
C^ alargada” y L
a su complementario. Considérese la experiencia
aleatoria de extraer una carpa al azar:1.^ ¿Qué relación existe entre los sucesos A y B?2.^ ¿Cuál es la probabilidad de suceso L
C^ |B?
3.^ Si^ la^ carpa
extraída^ tiene
la^ aleta^ alargada
¿cuál^ es^ la
probabilidad de que sea de la variedad A?probabilidad de que sea de la variedad A?4. Calcular la probabilidad de que la carpa extraída no tenga laaleta alargada.
5.^ ¿Cuál es la probabilidad de que la carpa elegida sea de lavariedad A o tenga la aleta alargada? Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCMDpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Datos
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^ ^
2 2
p A^ ; p B^
; p C^ ;p L | A
0.8; p L | B^
0.3;p L | C^ 0. 5 5
^ ^
^ ^
^
Resultados
3.^ Si^ la^ carpa
extraída^ tiene
la^ aleta^ alargada
¿cuál^ es^ la
probabilidad de que sea de la variedad A?probabilidad de que sea de la variedad A?^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ p A^ L^
p L | A p A p A | L^ p L^
p L | A p A^ p L | B p B
p L | C p C ^ ^
^
4 C^ l^ l^ l^
b^ bilid^ d^ d^
l^ l^ id^
t^ l
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ p L^ p L | A p A
p L | B p B^
p L | C p C 0.8^ 0.^
0.32^ 0.
0.8^ 0.4^ 0.3^ 0.
^ 0.25 0.2 0.
^
^ ^ ^ ^
4.^ Calcular la probabilidad de que la carpa elegida no tenga laaleta alargada.
cp L^1 p L^1 ^ ^
0.49^ 0.51
5.^ ¿Cuál es la probabilidad de que la carpa elegida sea de lavariedad A o tenga la aleta alargada?
^ ^ ^ Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM ^ ^ ^ ^ ^
p A^ L^ p A^
p L^ p A^ L^ 0.
0.49^ 0.32^ 0.
^ ^ ^
^ ^ ^
^
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
PROBLEMA 14:
Se supone que en el cromosoma sexual X se aloja un gen dominante portador de una determinada enfermedad de carácterl^ D^ l^ ió^
l d^ j^
f^ h^
b^ f
leve. De la unión sexual de una mujer enferma con un hombre enfermo,puede nacer una mujer enferma Me con probabilidad de 1/2, un hombreenfermo^ He^ con
probabilidad^ de
1/4^ y^ un^ hombre
sano^ Hs^ con
probabilidad^ de^
1/4^ De^ tal^ unión
nacen^ dos^ hijos
Se^ considera^
el
probabilidad^ de^
1/4.^ De^ tal^ unión
nacen^ dos^ hijos.
Se^ considera^ el
espacio muestral de la experiencia que consiste en observar las posiblesparejas de hijos y se definen las siguientes variables aleatorias:^ X : que asocia a cada elemento del espacio muestral
el número de
- X : que asocia a cada elemento del espacio muestral, el número demujeres.• Y : que asocia a cada elemento del espacio muestral, el número defenfermos.Se desea conocer:1. Funciones de densidad de probabilidad de las va X, Y.2. Valor esperado o media y varianza de las va X, Y.3. Supuesto que el primer hijo es hombre, ¿cuál es la probabilidad deque los dos hijos sean enfermos?.que los dos hijos sean enfermos?.4. Función de densidad de probabilidad conjunta de X, Y y la función dedensidad de X+Y. 5 ¿Son X e Y independientes?
- ¿Son X e Y independientes?6.. Calcular la correlación entre X e Y. Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Resultados
Ω=ΩxΩ={MeMe,MeHe,MeHs,HeMe,HeHe,HeHs,HsMe,HsHe,HsHs}Ω^ ΩxΩ{MeMe,MeHe,MeHs,HeMe,HeHe,HeHs,HsMe,HsHe,HsHs}^1111 1/4, 1/8, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16,1/8, 1/16, 1/16 f^ (0)^ = p(Y=0) = p(HsHs) y
=^ 1/
f^ (1)^ = p(Y=1)^ y
=^ 6/
f (2)^ p(Y 2)^
f^ (2)^ = p(Y=2)^ y
=^ 9/
- Valor esperado o media y varianza de las va X, Y.2. Valor esperado o media y varianza de las va X, Y.^ ^ ^
(^21 1) ^ x x 0 2
E X^ xf^ x^
0 +1^ + 2^ = 1^4 2
(^2) ^ ^ y x 0 22 2 ^
E Y^ yf^ y^
0 +1^ + 2^
E X^ f^
0 +1^ + 2
2 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
(^2 2 2) x x 0 2 2 2
(^2 2 2) y
E X^ x f^ x^
0 +1^ + 2^
E Y^ y f^ y^
0 +1^ + 2^
^ Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM y^ y^ ^ y x 0
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Resultados 1
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
VAR X^ E X^
E X^242
VAR Y^ E Y^
^ ^ ^ ^ E Y
3 S^ t^
l^ i^ hij^
h^ b^ ¿^ ál
l
^ ^ ^ ^ ^
VAR Y^ E Y^
E Y^16
^ ^16
^ ^ ^
^ ^ ^
3.^ Supuesto^ que
el^ primer^ hijo
es^ hombre,^
¿cuál^ es^ la
probabilidad de que los dos hijos sean enfermos?definimos:^ A: “el primer hijo es hombre”
p^ j B: “ambos hijos enfermos”
^
A^ HeMe,HeHe,HeHs,HsMe,HsHe,HsHs^ ^
^
^ ^
^ ^
^
B^ MeMe,MeHe,HeMe,HeHe ;
A^ B^ HeMe,HeHe 1 1 1 1
p A^
;^ p A^ B ^
^ ^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^
^ ^
^
p A^ ^ ^ ^ ^ ^
;^ p A^ B 8 16 16 8
(^3) p A B 316 p B | A^ ^ ^ ^ ^ ^1 p A^8
^ ^
^ ^ Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
1 p A 8 2
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Resultados
Sea^ Z=X+Y^ cuyo
recorrido^ es^ {^0
Sea^ Z=X+Y^ cuyo
recorrido^ es^ {^0
,1,2,3,4}^ f(x,y)^ Y=^
Y=1^ Y=
(^1) f 0 f 0,0 (^) z 16
X=0^ 1/16^ 2/
X=1^^0 4/
X=2^^0
^ ^ ^ ^ ^
(^16) z
f^1 f 0,1^ f 1,
X=2^^0
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^
z
f^2 f 0,2^ f 1,
f 2,0^164 f^3 f 1,2^ f 2,1^ ^ ^ ^ ^ f^3 f 1,2^ f 2,1^ z z
f^4 f 2,2^16 E id^ t^ t^
B^ t^ b
j^ l
- ¿Son X e Y independientes?Evidentemente no. Basta comprobar, por ejemplo:^ ^ ^
1 1^1 f 1, 0 0 f 1 f 0 x y2 16^32 Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
2 16^32
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Resultados
6 Calcular^ el^ coeficiente
de^ correlación^
de^ X^ e^ Y f(x,y)^ Y=0^ Y=
Y=
X=0^ 1/16^ 2/
- Calcular el coeficiente de correlación de X e Y^ ^ ^ COV^ X, Y X Y
X=1^^0 4/
X=2^^0
^ X, Y X Y ^ ^ ^ COV^ X, Y^ E XY
E X E^ Y
^ ^ ^
^ ^ ^ 2 21 2 x 0 y^0
E XY^ f^ x, y xy
0 2 0 1^016 16
^ ^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
4 4
1 1^1 2
2 0 0 2 1^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^7 3 1 COV^ X, Y^14 2
^ ^ ^
^ ^ ^
14 X, Y 0, 5773^
^ ^
^
,^ La tercera parte de la varianza de una cualquiera de las dos
,^ , 1 6 2 16
^
a^ te ce a^ Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
pa te^ de^ a^ a
a^ a^ de^ u^ a^
cua qu e a^ de^
as^ dos
variables se puede explicar por la variabilidad de la otra. Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
