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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA (BIOMATEMÁTICA)
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA BIOLOGÍA 2012/
I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
D. 1 .. Los resultados de una prueba calificada de 0 a 100 están recogidos en la siguiente tabla:
Calificación 5,15 15, 25 25,35 35, 45 45,55 55,65 65,75
ni 7 16 42 87 51 32 15
a) Dar un resumen descriptivo gráfico. b) Calcular la media aritmética, mediana, moda, varianza, desviación típica y cuasivarianza.
D. 2. La siguiente tabla representa las medidas en cm de troncos de una tala:
Clases Menos de 10 10, 20 20,30 30, 40 40,50 Más de 50
fi 0,15 0,21 0,32 0,20 0,08 0,
a) Dibujar histogramas de frecuencias. b) Calcular la media aritmética, varianza y desviación típica y el coeficiente de variación.
D. 3. Razonar qué muestra de las dos anteriores tiene mayor dispersión.
D. 4. Indicar cómo se puede obtener una muestra de 500 estudiantes universitarios de una Universidad en la
que hay matriculados 6000 estudiantes mediante un muestreo estratificado con afijación proporcional
sabiendo que hay 3000 estudiantes matriculados entre Derecho y Filosofía, 1800 en carreras de Ciencias y
1200 en el resto de las carreras.
D. 5. El número medio de hijos por mujer en una nación europea, se recogen en la siguiente tabla:
Año 1990 1995 2000 2005 2010 2011 Media 2,02 1,90 1,70 1,61 1,53 1,
a) Determinar la recta de regresión y el coeficiente de correlación. ¿Es bueno el ajuste? b) ¿Se puede estimar la media de hijos por mujer para el año 2012 a partir de los datos recogidos? Justificar la respuesta.
D. 6. Las tablas siguientes representan dos muestras de datos
x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y 4,26 5,68 7,24 4,82 6,95 8,81 8,04 8,33 10,84 7,58 9,
x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y 3,10 4,74 6,13 7,26 8,14 8,77 9,14 9,26 9,13 8,74 8,
a) Determinar la recta de regresión de y sobre x en ambos casos y calcular los coeficientes de regresión y de determinación. Explicar los resultados obtenidos. ¿Es bueno el ajuste?
b) ¿Cuál de las dos rectas utilizarías para predecir el valor de y para x=14,5? Justificar la respuesta.
D. 7. Las dos primeras columnas de la tabla representan las medidas en mm de la longitud y anchura de una
muestra de diez braquiópodos.
xi yi 2 x i x yi. i 2 y i
a ) Completar la tabla. b ) Calcular las medias y las varianzas para las dos variables. c ) Calcular la covarianza. d) Dar la ecuación de la recta de regresión de la longitud frente a la anchura. e ) Dar el coeficiente de correlación de las dos variables. f ) Dar el coeficiente de determinación de las variables y explicar su significado.
D. 8. Para la siguiente variable bidimensional
x 1,2 1,8 3,1 4,9 5,7 7,1 8,6 9, y 4,5 5,9 7 7,8 7,2 6,8 4,5 2,
Determinar la recta de regresión de y sobre x e indicar si es bueno el ajuste.
D. 9. Para la misma tabla del ejercicio anterior, determinar una parábola de grado 2 que se ajuste a dichos
datos. ¿Es bueno el ajuste?
respectivamente, el doble y el triple que en el grupo AB. De entre la subpoblación de Rh– se escoge al azar un individuo, ¿cuál es la probabilidad de que sea del grupo AB?
8 Considérese la experiencia aleatoria: “lanzar una moneda dos veces” y los sucesos: A: “Obtener cara en la primera tirada”, B: “Obtener cara en la segunda tirada” y C: “Obtener el mismo resultado en ambas tiradas”, mostrar la independencia de los tres sucesos 2 a 2 y comprobar, sin embargo, que A, B y C son dependientes.
9 Una familia tiene n hijos ¿para qué valor o valores de n son independientes los siguientes sucesos: A: «tienen al menos un niño y al menos una niña», B: «tienen a lo sumo un niño»?
10 La ley de Hardy-Weinberg establece, en ausencia de mutación, que en una población dialélica respecto de un determinado gen (A, a), con reproducción sexual, la proporción de los genotipos (AA, Aa, aa) alcanza el equilibrio en un sólo cruce, partiendo de cualquier distribución inicial. Compruebe la veracidad de dicha ley.
11 En una población de cigotos, suficientemente extensa, referida a la presencia de las formas alélicas A, a, dominante y recesiva, respectivamente, de un mismo gen, se observa la situación de equilibrio dictada por la ley de Hardy-Weinberg, en el sentido de que las proporciones de los genotipos: AA, Aa, aa son respectivamente: 2, 2(1-), (1-)2; 0<<
11.1 Si se pudiera elegir al azar, por medio de extracciones independientes, un subconjunto de 7 unidades de la población ¿cuál es la probabilidad de que no contenga ningún genotipo aa?
11.2 Se considera la variable aleatoria: X(AA)= X(aa)=2, X(Aa)= Construir sus funciones de probabilidad y de probabilidad acumulada.
12 Verificar que la función siguiente, es de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua T, donde es una constante mayor que 0. 0 ( ) 0 otro
e t t f t
Demostrar que a 0 p T t p a T a t T | a comentando el resultado si T fuese el tiempo de
vida de un organismo.
13 Se considera la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria bivariante, siguiente
2 3 0 2 0 1 ( , ) 0 otro
xy x y f x y Construir la función de densidad correspondiente a la componente X, su valor esperado y su varianza. Obsérvese que siempre que la función de densidad conjunta se exprese como f(x,y)=h(x).g(y), las variables son independientes.
14 Se supone que en el cromosoma sexual X se aloja un gen dominante portador de una determinada enfermedad de carácter leve. De la unión sexual de una mujer enferma con un hombre enfermo, puede nacer una mujer enferma Me con probabilidad de 1/2, un hombre enfermo He con probabilidad de 1/4 y un hombre sano Hs con probabilidad de 1/4. De tal unión nacen dos hijos. Se considera el espacio muestral de la experiencia que consiste en observar las posibles parejas de hijos y se definen las siguientes variables aleatorias: X: que asocia a cada elemento del espacio muestral, el número de mujeres. Y: que asocia a cada elemento del espacio muestral, el número de enfermos.
Se desea conocer: 14.1Funciones de probabilidad de las va X, Y. 14.2Valor esperado o media y varianza de las va X, Y. 14.3Supuesto que el primer hijo es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hijos sean enfermos?. 14.4Función de probabilidad conjunta de X, Y y la función de probabilidad de X+Y. 14.5¿Son X e Y independientes? 14.6Calcular e interpretar la correlación entre X e Y
15 La tabla siguiente es la de la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria bivariante discreta: Y
f ( x, y ) 1 2 3 4
X
15.1 Construir la tabla de las funciones de probabilidad marginales. 15.2 Calcular f(2 |Y=3) y comparar con fx(2) ¿puede deducirse algo de la comparación? 15.3 ¿Son las variables independientes? 15.4 Calcular la varianza de X, la covarianza de X, Y y el coeficiente de correlación lineal.
16 Sea X una va de recorrido X()={-1, 0, 1} y ley de probabilidad definida por las condiciones: f(-1)=f(1), f(0)=0,5. Se considera la variable aleatoria Y=3-2X. Se pide: 16.1 Determinar el recorrido de Y y la expresión de su función de densidad de probabilidad. 16.2 Obtener los valores medios y las varianzas. 16.3 Calcular el coeficiente de correlación de X e Y. 16.4 Calcular la función de densidad de probabilidad de X^2. 16.5 Comprobar que la va X y X^2 son dependientes.
17 Se consideran las tres variables aleatorias X, Y, Z. Las variables X, Y son independientes y, además, se tiene lo siguiente: Z = 5X-3Y, E ( X ) = 2, E (Y ) = -2, Var ( X ) = 1, Var ( Y ) = 2 Analizar las siguientes proposiciones y señalar cuáles son acertadas y cuáles son erróneas:
17.1 E X (^2 ) 4. 17.2 Cov X Y ( , ) 4. 17.3 E Z ( ) 16. 17.4 ( X Y , ) 1. 17.5 E XY ( ) 4. 17.6 Var Z ( ) 2. 17.7 E Y (^2 ) 6.
18 En una cierta población muy numerosa las proporciones genotípicas para un gen dialélico son: p(A)=0.7, p(a)=0.3. De dicha población se extraen 2 individuos y se consideran las variables X:”número de individuos de genotipo a”, e Y:” número de individuos de genotipo A ”. 18.1 Establecer sus funciones de probabilidad y de probabilidad acumulada. 18.2 Calcular la esperanza y la varianza de ambas variables. 18.3 Establecer la función de densidad conjunta y calcular e interpretar el coeficiente de correlación de X e Y.
19 Los primeros síntomas de respuesta del organismo a un cierto estímulo sensorial se localizan a través de un medidor clínico. Se supone que un estudio conduce a la conclusión de que el tiempo de espera X hasta la respuesta, se adapta al modelo de probabilidad siguiente:
24.2 Valor esperado en la muestra, de individuos de tipo B. 24.3 Varianza de la variable aleatoria Y : "número de individuos tipo A que contiene la muestra".
25 Un científico inyecta un germen patógeno a varios ratones hasta que 2 hayan contraído la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es de 1/6 ¿cuál es la probabilidad de que sean necesarios 8 ratones?
26 Para estudiar la distribución sexual en una especie animal un grupo de científicos utiliza un dispositivo fijo que graba durante 24 horas un punto de paso de los individuos de la mencionada especie. Se conoce que el número de individuos registrados sigue una distribución de Poisson y que el promedio de individuos que pasan por hora es de 0.4. Considerando que para que el estudio tenga éxito deben ser registrados al menos 10 individuos: 26.1 ¿Cuál es el valor esperado para el número de registros en las 24 horas grabadas? 26.2 Calcular la probabilidad de que el experimento fracase. 26.3 ¿Cuál es la probabilidad de se deba esperar al menos 1 hora hasta el primer registro?
27 Un experimento aleatorio que puede admitirse como modelizable por medio de una distribución de Poisson, consiste en la consideración de una excepcional respuesta alérgica a la ingesta de un medicamento que ocurre, como promedio, en el 2% de la población tratada con el mismo. Si se eligen 40 individuos al azar, ¿cuál es la probabilidad de exista reacción alérgica en 2 ó 3 individuos?
28 Se estima que una enfermedad vírica se consigue curar sin secuelas en un 1% de los casos. A un bioestadístico se le plantea el problema de valorar las siguientes probabilidades: 28.1 Probabilidad de que en una muestra aleatoria de individuos enfermos, de tamaño 15, se produzcan 2 curaciones satisfactorias sin secuelas. 28.2 Probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 100, se produzcan entre 1 y 3 curaciones sin secuelas. 28.3 Probabilidad de que en una muestra de tamaño 1.000 se produzcan más de 12 curaciones.
29 El tres por mil de los habitantes de un entorno geosocial, muere cada año víctima de una rara enfermedad no contagiosa que afecta al sistema nervioso central. Una compañía de seguros ha suscrito 11.000 pólizas de vida específicas de un año de duración. Calcular la probabilidad de que la compañía deba pagar más de seis pólizas.
30 Una enfermedad vírica afecta al 2% de la población. Valore las siguientes probabilidades: 30.1 Probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 10, 2 individuos estén afectados. 30.2 Probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 100, al menos 12 individuos estén afectados. 30.3 Probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 1000, entre 100 y 200 individuos estén afectados.
31 En un examen de bioestadística la media de las calificaciones, en una escala de 100 puntos, fue de 82 y la desviación típica de 5. Si 8 estudiantes obtuvieron una calificación entre 88 y 94 y la distribución de calificaciones es aproximadamente normal, ¿cuántos estudiantes se presentaron a examen?
32 Un investigador informa que los ratones utilizados en un experimento vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas sean severamente restringidas y enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo que los tiempos de vida de estos ratones se distribuyen normalmente con una desviación típica de 6,3 meses, calcular la probabilidad de que un ratón sobreviva: 32.1Más de 32 meses. 32.2Menos de 28 meses. 32.3Entre 37 y 49 meses. 32.4Si se eligen 3 ratones al azar ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 vivan más de 40 meses?
33 Los niveles de colesterol en un cierto área sanitaria se distribuyen como una variable normal de media 180 y desviación típica 15. Si se elige de dicha población un individuo al azar, calcular la probabilidad de que su colesterol sea: 33.1 Mayor de 175. 33.2 Menor de 165. 33.3 Mayor de 155 y menor de 190. 33.4 Si se eligen 3 individuos, calcular la probabilidad de que el promedio de colesterol de los 3 no sobrepase el valor 175. ¿Por qué este valor es diferente al de la primera cuestión?
34 Los valores de cierta enzima en dos especies animales diferentes siguen distribución Normal, con parámetros X ~ N (μ = 62; σ = 20) Y ~ N (μ = 52; σ = 10). Elegimos un individuo de cada especie y definimos M como la media de ambas medidas: M=1/2 (X+Y). 34.1¿Cómo son entre sí las variables X e Y? 34.2Calcular la media y la varianza de M 34.3¿Cuál es la probabilidad de que M tome un valor superior a 70? 34.4¿Cuál es la probabilidad de que el individuo de la primera especie tenga un nivel de enzima al menos 12 unidades superior al de la segunda?
35 Si el conjunto de calificaciones; de 0 a 100 puntos; en Bioestadística tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 74 y una desviación típica de 7,9 calcular: 35.1 La calificación de aprobado más baja si el 10% de los estudiantes obtuvieron la calificación de suspenso. 35.2 La calificación de notable más alta si el 5% de los estudiantes obtuvieron sobresaliente. 35.3 La calificación de notable más baja si el 10% obtuvieron sobresaliente y el 25% notable.
36 Una empresa farmacéutica desarrolla un procedimiento de cultivo celular en el que las células son mezcladas con un conjunto de bolas de resina. Las células se adhieren a las bolas y éstas son retiradas para su uso en diversas investigaciones relacionadas con terapias génicas. El tipo de investigaciones desarrolladas hace que sólo sean aprovechables las bolas que tienen 1 ó 2 células adheridas. En consecuencia, es necesario establecer cuál es la relación óptima células/bolas para obtener la máxima proporción de bolas que cumplen la condición expuesta. Téngase en cuenta que: El número de células utilizado es muy alto (>10000). Todas las células que se utilizan se unen a alguna bola. La probabilidad de que una célula se una a una bola dada no depende de que haya otras células adheridas.
Sugerencia: Considere la posibilidad de caracterizar la experiencia aleatoria como un proceso binomial y su posible aproximación mediante una distribución de Poisson. Pruebe a resolver inicialmente el problema si la condición fuera que hubiera exactamente una célula adherida.
43 Una máquina expendedora de refrescos se regula de modo que la cantidad de bebida que sirve está distribuida de forma aproximadamente normal, con una desviación típica de 0,15 decilitros. Se toma una muestra aleatoria de servicios ¿qué tamaño muestral se necesita para tener una confianza del 95% de que la media de la muestra no difiere en más de 0,09 dl de la media verdadera?
44 El contenido en glucosa de 6 frutos tomados al azar de determinada especie es, en determinadas unidades de medida: 10,2, 10,4, 9,8, 10,8, 10,2, 9,6.
44.1 ¿Cuántas observaciones se necesitarían para tener una confianza del 95% en que el error máximo cometido por la estimación puntual de la media sea de 0,1, suponiendo que la desviación típica de la población de medidas es 0,2? 44.2 Calcúlese un intervalo de confianza al 95% para la media del contenido en glucosa, suponiendo que se trata de una va con distribución normal con varianza desconocida.
45 La presión arterial diastólica en una serie de 14 pacientes se evaluó antes y después de la administración de un cierto medicamento, obteniéndose los siguientes resultados:
45.1 Calcúlese un intervalo de confianza al 90% para la media de las diferencias en la presión arterial antes y después del tratamiento, ¿qué es preciso asumir? 45.2 Establezca, asimismo, un intervalo de confianza unilateral de cota inferior, al 95%, comentando el resultado obtenido.
46 Una vacuna contra un cierto tipo de gripe se prueba en 400 personas. Después de un año se aplica al grupo una dosis recordatorio y se observa a otras 400 personas no tratadas. Los resultados son:
No gripe Gripe Totales
Tratados 202 198 400
No tratados 179 221 400
46.1 ¿Produce la vacuna alguna protección? Formular la prueba correspondiente a un nivel =0,05, razonando sobre el carácter unilateral o bilateral de dicha prueba. 46.2 Establecer un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de proporciones de los que han contraído la gripe entre los tratados y no tratados.
47 Un predador natural del caracol es el zorzal cantor. En un estudio de selección natural, se comparó la proporción de caracoles no listados en dos colonias presentes en diferentes habitats: la primera en un entorno rocoso y la segunda en una ciénaga de fondo uniforme. Los investigadores plantearon la hipótesis de que, debido a su capacidad para armonizar con el fondo, los caracoles no listados de la ciénaga estarían más protegidos de los zorzales que los correspondientes de la colonia rocosa, siendo en consecuencia mayor su proporción en la colonia de dicha ciénaga. En el estudio se extrajeron 863 ejemplares de la colonia de las rocas, de los que 380 eran no listados, y 560 caracoles de la colonia de
Paciente (^1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ) Antes 10 9.5 7 9.5 8.5 10 11 10 8.9 8.9 9 8.7 9 9. Después 9 9 6 7 9 8 10 9 8 7 6.5 7 9 8
la ciénaga, de los que 297 eran no listados. Se denomina p 1 a la proporción de caracoles no listados en las rocas y p 2 a la proporción de caracoles no listados en la ciénaga:
47.1 Estimar el valor máximo de la proporción de caracoles no listados en las rocas con una confianza del 95%. 47.2 Estimar la diferencia entre las proporciones de caracoles no listados en la ciénaga y en las rocas con una confianza del 95%. 47.3 Plantear el contraste de hipótesis adecuado para establecer si la hipótesis de los investigadores es correcta, razonando la decisión. ¿Cuál es la conclusión de este contraste?
48 Un antropólogo realiza una investigación sobre la estatura de los individuos de una determinada población radicada en un cierto entorno geográfico. Toma una muestra aleatoria de la población y obtiene los siguientes datos en centímetros:
48.1 Hacer una estimación puntual de la media y de la varianza de la población. 48.2 ¿Qué modelo de probabilidad debería adoptarse para la variable aleatoria media muestral: X? ¿Cuál es la media y cuál es la varianza de X? 48.3 Establecer un intervalo con una confianza del 90%, para la media poblacional. 48.4 La media de la población registrada hace 25 años era de 165.5. ¿Puede aceptarse que ha aumentado la media poblacional, adoptando un nivel se significación =0,05? ¿Cuál es el valor P del contraste? ¿Cómo debe interpretarse este valor P? (Se supone que la población sigue una distribución normal)
49 Un grupo de investigadores considera que la vida media de los fumadores que consumen diariamente entre 30 y 40 cigarrillos de contenido en nicotina y alquitrán, respectivamente, 1,1 mg y 17 mg; es superior a 69 años. Basándose en los siguientes datos muestrales:
70 69 72 74 70 69 75 76 79 70
71 73 72 70 75 74 73 72 78 73 extraídos aleatoriamente del censo de fallecimientos durante un mes, referidos a las edades de los individuos sobre los que se tiene la certeza de que eran fumadores, formular un contraste de hipótesis adoptando para la región crítica un tamaño de 0,01. ¿Cuál es el P -valor del contraste? ¿Cuál es su significado?
50 Para evaluar la eficacia de un tratamiento antiviral se estudian dos muestras aleatorias de pacientes, la primera de tamaño 80, sin ningún tratamiento y la segunda de tamaño 100, con el tratamiento propuesto. En la primera se encuentra que al cabo de 7 días, 50 pacientes siguen enfermos, mientras que en la segunda son 45. ¿Debe pensarse que el tratamiento es eficaz? Calcúlese un intervalo de confianza unilateral del 95% para la diferencia de las proporciones de enfermos sin curar en ambas poblaciones, interpretando el resultado.
51 Supóngase que una concentración igual o superior a 0,1 unidades de un producto, llamémosle A, en un determinado aceite, lo hace tóxico para el consumo humano, aunque concentraciones inferiores a 0,1 resultan inocuas. Se quiere hacer un estudio para determinar la toxicidad de una partida de aceite. Para ello se mide la concentración de A con una técnica que soporta una determinada varianza en la medida, por lo que se repite la medida n veces para aumentar la potencia de la prueba. a) Formular el contraste de hipótesis y escoger el nivel de significación adecuado. ¿Cuándo se declarará el aceite apto para el consumo? b) Supóngase que la varianza de la medida es 2 = 0,04. ¿Cuál ha de ser n si se quiere tener una probabilidad de 0,9 de declarar apto para el consumo un aceite en el que la
56 Un editor sospecha que las erratas tipográficas que se cometen al editar un libro se distribuyen siguiendo un modelo de Poisson. La elección aleatoria de 100 páginas del libro, permite formar la siguiente tabla:
Número de erratas 0 1 2 3 4 5
Frecuencias observadas 14 23 28 16 11 8
Aplicar la prueba ^2 de bondad del ajuste para contrastar la hipótesis del editor.
57 Se considera una población de peces que se distinguen por la presencia (M) o no (Mc) de una mancha ventral y por tres tamaños de vejiga natatoria (T 1 , T 2 y T 3 ). Se seleccionaron al azar 110 especímenes, obteniéndose los siguientes resultados:
T 1 T 2 T 3
M 15 25 13 Mc^ 27 10 20
Se desea establecer si existe relación entre la presencia de mancha ventral y el tamaño de la vejiga natatoria.
57.1 Plantear el correspondiente contraste de hipótesis, discutiendo sobre el carácter unilateral o bilateral del mismo. 57.2 Resolver el contraste obteniendo las conclusiones adecuadas.
58 El proceso de producción de un fármaco supone 3 fases de acción y la actuación de 4 ingenios mecánicos (Mec.). Un mecanismo de control permite detectar si el producto final posee, dentro de unos límites de tolerancia, una composición desequilibrada. Se ha elegido una muestra de 170 comprimidos defectuosos que se han clasificado según la fase de producción y el mecanismo que ha ocasionado el defecto. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:
Mec. A Mec. B Mec. C Mec. D
Fase 1 17 18 16 13
Fase 2 14 19 14 11
Fase 3 15 12 11 10
A un nivel de significación 0,05 ¿hay razones para suponer que no existe dependencia entre los mecanismos y las fases de producción en la aparición de casos defectuosos?
59 Un investigador desea averiguar si la aplicación de tres tipos distintos de terapias a enfermos de reuma, producen efectos diferentes, para ello toma tres muestras aleatorias de enfermos, de tamaños 23, 26 y 32, respectivamente, y les aplica, a cada una, las terapias, que denominaremos A, B y C. Los resultados se recogen en el siguiente cuadro:
mejoran no mejoran totales
A 16 7 23
B 20 6 26
C 24 8 32
totales 60 21 81
(Los ejercicios 60 ,61 y 62 se resolverán utilizando el Guión Electrónico-Interactivo de Prácticas http://e-stadistica.bio.ucm.es/cuestionario/cuestionarios.html del servidor web del departamento: Aula Virtual de Bioestadística).
60 Se pretende realizar un estudio sobre la incidencia de una enfermedad mortal que afecta exclusivamente a los machos de una especie animal, cuya población, suficientemente numerosa, se encuentra localizada en un ecosistema singular, y que inicialmente estaba en equilibrio sexual (proporciones iguales en hembras y machos). Designaremos por p a la proporción exacta de machos, parámetro desconocido e intrínseco a la citada población en el momento actual. Con ayuda técnica de los contrastes de hipótesis se deberá asumir o declarar, y no demostrar, si la población se ha visto perturbada en su equilibrio por la aparición súbita de la enfermedad. Responda sucesivamente a las cuestiones planteadas en el guión desde el enlace: Contraste acerca de una proporción en una población de Bernoulli.
61 En un pueblo situado en una zona donde el agua no es muy abundante, se tiene la impresión de que el consumo doméstico de agua potable ha aumentado respecto de la cantidad que desde tiempo atrás se tenía como referencia: una media de 1350 m3 al día. Las autoridades municipales han ordenado un estudio para determinar si debe modificarse el supuesto. La importancia de establecer de modo fiable la cantidad media que se consume, radica, entre otros motivos, en las previsiones que es necesario hacer para asegurar el normal abastecimiento del municipio y en la disponibilidad de agua almacenada en un depósito desde el que se distribuye el suministro a las viviendas. La variable aleatoria de interés en el estudio, asocia a cada día, la cantidad de agua potable consumida en el conjunto de las viviendas del municipio. Se admite que tal variable sigue el modelo normal. El estudio se realizará sirviéndose de las técnicas estadísticas adecuadas; concretamente, para este objetivo, de los contrastes de hipótesis. Se formulará el contraste más conveniente y se establecerá una regla de decisión basada en los resultados numéricos observados en una muestra aleatoria. Para ello, responda sucesivamente a las cuestiones planteadas en el guión desde el enlace: Contraste acerca del valor medio de una población normal univariante.
62 Se conoce la existencia de 2 variedades fenotípicas en el Gavilán, Accipiter nisus, relacionadas con el color del plumaje, según éste sea pardo-oscuro o pardo-claro. Un grupo de investigadores sospecha que dicho color está, por razones de camuflaje, asociado con las características de la especie arbórea donde nidifican. Para estudiar esta hipótesis, en un bosque en el que coexisten como únicas especies arbóreas Hayas, Alcornoques, Robles y Pinos Silvestres, se localizan un total de n nidos pertenecientes a ambas variedades fenotípicas (Oscuro, Claro). En cada nido localizado se registran la
65 En una comarca del norte de la península se cultivan tres variedades vitivinícolas que se supone presentan diferente contenido de azúcares. Se escogen al azar 10 áreas de cultivo de cada una de las variedades y en cada área se muestrea al azar una cepa y de ella se recogen una cantidad suficiente de fruto para cuantificar su contenido en azúcares. El análisis de los datos obtenidos se realiza mediante ANOVA y se obtiene la siguiente tabla.
Fuente Suma de cuadrados gl Cuadrados medios F
(Variedades) Entre-grupos 97,554 2 48,777 5,
(Error) Intra-grupos 256,483 27 9,
Total 354,037 29
El test de homocedasticidad arroja un P-valor de 0,78. Las medias muestrales de los grupos tienen un valor de 61,5; 64,4 y 65,8 para las variedades de Mencía, Godello y Tempranillo, respectivamente. Analícense las diferencias en azúcar de los tres tipos de uva, asumiendo normalidad de las variables implicadas.
66 Se ha diseñado un experimento de laboratorio reservando un grupo 0 como grupo control y tratando a otros dos grupos: I y II en todos los casos con muestras del mismo tamaño, con diferentes acciones. Los resultados se recogen en el siguiente cuadro:
Las medias de los grupos o tratamientos han sido: 0: 22,858, I: 29,57, II: 31,638, y t 12;0.005 (^) 3,055. La prueba de Bartlett ha provocado un P -valor de 0,37. Analizar las siguientes proposiciones y señalar cuáles son acertadas y cuáles son erróneas:
66.1 El análisis es válido si se ha contrastado normalidad en los tratamientos. 66.2 La prueba de Bartlett no induce al rechazo de la hipótesis nula, es admisible la homocedasticidad de los grupos. 66.3 Se rechaza la hipótesis nula de que las medias de las poblaciones es la misma. 66.4 p F ( (^) (2, 12) (^) 16.37) 0 0008, 66.5 Hay diferencias estadísticamente significativas entre los grupos I y II. 66.6 Hay diferencias estadísticamente significativas entre los grupos 0 y I. 66.7 Hay diferencias estadísticamente significativas entre los grupos 0 y II. 66.8 Se concluye que las dos acciones tienen efecto y que no hay una diferencia estadísticamente significativa entre ellas.
Analisis de la Varianza
Fuente de variación Suma de cuadrados gl Cuadrados medios F P-Valor
Tratamientos (entre grupos) 209,776 2 104,888 16,37 0, Error (dentro o en los grupos) 76,9 12 6,
Totales 286,676 14
66.9 El número total de observaciones es 14. 66.10 Una estimación puntual de la varianza común a todos los grupos es 6,40833.
67 Para averiguar si existe dependencia entre el número de semillas que contiene el fruto o silicua de una planta crucífera, la arabidopsis thaliana , y el número de ramas que posee la planta, un botánico ha seleccionado al azar una por cada grupo de las que contienen 14, 15, 16, 17 y 18 ramas y ha elegido, igualmente al azar, una silicua de cada una de las escogidas. Las observaciones se presentan en la tabla siguiente:
Número de ramas 14 15 16 17 18
Número de semillas 50 60 70 100 120
Observar la nube de puntos generada por la muestra y ajustar una recta por medio del método de los mínimos cuadrados, es decir, construir un modelo de regresión lineal estimado para el número de semillas sobre el de ramas. Interpretar el significado de los coeficientes de regresión estimados. ¿Qué número de semillas puede estimarse, por término medio, para una planta de 17 ramas?, ¿cuál es el residuo? Contrastar la hipótesis nula i =0 ( i =0, 1) para los coeficientes de regresión y estimar para ellos un intervalo de confianza al 95%.
68 El cuadro siguiente es el de los resultados obtenidos en un Análisis de la Regresión (modelo I), realizado mediante una muestra de tamaño 100:
Parámetro Estimación Error estándar t P -valor
Intersección 0,164706 0,0444456 13,7058 0,
Pendiente 0,0577179 3,62235E-3 15,9338 0,
68.1 Establecer la recta de regresión, discutiendo el significado de sus parámetros. ¿Cuánto aumenta la media de Y cuando X aumenta una unidad? 68.2 ¿Qué significado tienen los dos P-valores de la tabla? 68.3 ¿Cuál es el valor medio estimado de la variable Y para un valor de X de 0,9?
