¡Descarga Examen 2013 algebra y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
AlgebraGrau en Enginyeria Informatica
24 de gener de 2013 A
Teoria. (2=1+1 punts)
(a) Siguin E i F dos subespais vectorials de Rn^ tals que dim(E) + dim(F ) = n i E ∩ F = 0. Demostreu que E + F = Rn. (b) Sigui f : Rn^ → Rm^ una aplicaci´o R-lineal. Definiu la matriu de f. Soluci´o (a) Utilitzant la formula de Grassman tenim que dim(E + F ) = dim(E) + dim(F ) − dim(E ∩ F ) = n − 0 = n. Com que E + F ⊂ Rn^ i t´e dimensi´o n, una conseq¨uencia del lemma de Steinitz ens diu que E + F = Rn. (b) Mireu la teoria dels apunts.
Exercici 1. (4 = 1+1+1+1 punts) Considereu l’aplicaci´o R-lineal f : R^4 → R^3 donada per f (x, y, z, t) = (x + 2y + 3z + t, −x + 2y − z + 3t, − 3 x + 5y + 2z + 3t)
i el subespai vectorial
G =
R ⊆^ R
(a) Calculeu la dimensi´o i una base de im(f ) i de ker(f ). (b) Es´ f injectiva? Es´ f exhaustiva? Per qu`e? (c) Calculeu la dimensi´o i una base de G. (d) Proveu que ker(f ) ⊂ G, i amplieu la base de ker(f ) a una base de G. Soluci´o
(a) La matriu de f ´es
A =
Esglaonant veiem que t´e rang 3. Per tant la dimensi´o de la imatge ´es 3 i la dimensi´o del nucli ´es dim(ker(f )) = dim R^4 − dim Im(f ) = 4 − 3 = 1. Com que dim Im(f ) = 3 = dim R^3 , tenim que Im(f ) = R^3 i podem pendre com a base de Im f la base can`onica. A m´es es calcula i d´ona que ker(f ) = 〈(− 9 , − 16 , 10 , 11)〉 (b) No ´es injectiva ja que dim ker f = 1 6 = 0. Es exhaustiva ja que Im(´ f ) = R^3. (c) Trobant la forma de Guass-Jordan de la matriu obtinguda posant els generadors de G en fila obtenim que una base de G ´es
G = 〈(1, 0 , 1 , 0), (0, 1 , − 1 , 1)〉 > i que la dimensi´o de G ´es 2. (d) Com que (− 9 , − 16 , 10 , 11) 6 = (−9)(1, 0 , 1 , 0) + (−16)(0, 1 , − 1 , 1) = (− 9 , − 16 , 7 , −16), no ´es cert que ker(f ) ⊂ G. De fet (− 9 , − 16 , 10 , 11),(1, 0 , 1 , 0) i (0, 1 , − 1 , 1) s´on linealment independents. Per tant tampoc podem ampliar la base de ker(f ) a una base de G.
Exercici 2. (4=2+1+1 punts) Considereu la matriu de M 3 (C) :
A =
(a) Trobeu tots els valors propis i els vectors propis de A. (b) Demostreu que A ´es diagonalitzable i trobeu una matriu invertible P tal que P −^1 AP sigui diagonal.
Un c`alcul llarg demostra que
− 1
(^141214) (^14) − (^1214)
Per tant
An^ =
0 2 n^0 0 0 (−2)n
(^141214) (^14) − (^1214)
2 n−^2 2 n−^1 2 n−^2 (−2)n−^2 (−2)n−^1 (−2)n−^2
2 n−^2 + (−2)n−^2 2 n−^1 + (−2)n−^1 2 n−^2 + (−2)n−^2 2 n−^2 − (−2)n−^2 2 n−^1 − (−2)n−^1 2 n−^2 − (−2)n−^2 2 n−^2 + (−2)n−^2 2 n−^1 + (−2)n−^1 2 n−^2 + (−2)n−^2
