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AlgebraGrau en Enginyeria Informatica
8 de Novembre de 2013
Teoria. (2=1+1 punts)
(a) Definiu argument dun nombre comples i doneu una interpretaci geom`etrica.
Si Arg(z) =
π 6
, quin ´es largument de z
3 ? I el de z
6 ? Justifiqueu les vostres
respostes.
Sea z = a+ib un n´umero complejo en su escritura cartesiana, sea M el punto
de coordenadas (a, b) correspondiente en el plano R
2
. Sea O de coordenadas
(0, 0) el or´ıgen del plano. El argumento de z es es ´angulo orientado en
el sentido trigonom´etrico entre la semirecta horizontal [Ox) y la semirecta
[0M ).
Si Arg(z) =
π 6
, por la regla de de Moivre, Arg(z
3 ) = 3
π 6
π 2
y Arg(z
6 ) =
6
π 6
= π.
(b) Proveu (amb raonaments) que si per una matriu A ∈ M 3 (Q) existeix un
altre matriu B ∈ M 3 (Q) B 6 = 0 tal que
AB = 0
aleshores A no pot ser invertible.
Si A fuese invertible, entonces multiplicando la ecuaci´on AB = 0 por la
izquierda por A
− 1 obtendr´ıamos: B = A
− 1 AB = A
− 1 0 = 0. Esto contradice
la hip´otesis B 6 = 0 por lo que A no puede ser invertible.
Exercici 1. (3=1+2 punts)
- Doneu la forma polar de z i de z
167 per z = 5 + 5i.
C´omo 5 > 0, Arg(5 + 5i) = Arctan(1) =
π 4
. La norma de z = 5 + 5i es
||z|| =
52 + 5^2 =
- Finalmente
5 + 5i = 5
2 e
i π 4 .
Por la regla de de Moivre z
167 = (
167 e
i 167
π (^4). Como 167 = 21 × 2 × 4 − 1,
obtenemos:
z
167 = (
167 e
−i π (^4).
- Calculeu les arrels complexes del polinomi
X
4
2
El polinomio es de grado 4 por lo que tiene 4 raices complejas. Efectuamos
el cambio de variables t
2 = X, y buscamos primero las raices del polinomio
t
2
Primero calculamos el discriminante de este polinomio de grado 2:
∆ = (3 + i)
2 − 4(2 + 2i) = 9 + 6i − 1 − 8 − 8 i = − 2 i.
Buscamos las raices cuadradas de ∆.
− 2 i = 2e
−i π 2
por lo que sus raices cuadradas son
u =
2 e
−i
π (^4) =
2(cos(−
π
) + i sin(−
π
− i
) = 1 − i
y
−u = −1 + i.
Entonces las dos raices del polinomio en t son:
t 1 =
− 3 − i + 1 − i
− 2 − 2 i
= − 1 − i =
2 e
i 54 π
y
t 2 =
− 3 − i − 1 + i
= −2 = 2e
−iπ
Las raices del polinomoi en X s´on las ra´ıces cuadradas de t 1 y t 2. Calculamos
las raices cuadradas de t 1 , por la forma polar de t 1 s´on:
X 1 =
4
2 e
i 58 π , X 2 = −X 1 = −
4
2 e
i 58 π
4
2 e
i 138 π
Calculamos las raices cuadradas de t 2 , por la forma polar de t 2 s´on:
X 3 =
2 e
i π 2 = i
2 , X 4 = −X 3 = −i
Las raices del polinomio inicial s´on: {
4
2 e
i 58 π ,
4
2 e
i 138 π , i
2 , −i
Exercici 2. (5=1+1+1+1+1 punts)
Considerem la matriu A =
∈ M 4 × 5 (Q).
(a) Calculeu la forma de Gauss-Jordan G de la matriu A.
Escalonamos la matriz ampliada (A|Id 4 ) por filas, de manera a obtener
pivotes iguales a 1 y a que en sus columnas los pivotes sean los ´unicos
elementos no nulos. Despu´es de unos c´alculos sin dificultad se obtiene:
G =
y reconocemos la matriz A con las filas cambiadas de ´orden, por lo que un
escalonamiento de nuestra matriz por filas es la matriz
G =
Por el teorema de Rouch´e-Frobenius, como
rangoG = 3 = rango
el sistema es compatible con 4 − 3 = 1 grados de libertad.
De la matriz obtenemos
x = 1 − 9 t
y = 2t
z = − 4 t
Por lo que el conjunto de soluciones del sistema es:
S = {(1 − 9 t, 2 t, − 4 t, t) | t ∈ Q}.
