`
ALGEBRA
Grau en Enginyeria Inform`atica – Curs 2016-2017
Un exemple de q¨uestions tipus pel Taller del dia 16 de desembre
1. Considerem l’aplicaci´o lineal f:R3→R4donada per
f(x, y, z)=(x+y+z, x −y−z, −x+y+z , 2x+y+z).
(a) Troba una matriu Atal que fsigui multiplicar per A.
(b) Troba una base i la dimensi´o de Ker(f) i Im(f).
(c) Amplia la base del Ker(f) a una base de R3.
(d) ´
Es Im(f) igual al subespai vectorial Won
W={(x, y, z, t)∈R4|y+z= 0,−3x+ 2t+z= 0}?
(e) Estudia si el vector (2,4,3,1) pertany a Im(f) o no.
(f) Est`a Ker(f) contingut al subespai vectorial F=h(1,5,2),(3,4,1)i?
´
Es cert que Ker(f) = F?
(g) Estudia si f´es monomorfisme (injectiva), epimorfisme (exhaustiva) o isomorfisme
(bijectiva).
(h) Amplia la base de Im(f) a una base de R4.
(i) El vector (4,−2,−2) pertany al Ker(f)?
2. Considerem l’aplicaci´o lineal f:R3→R3donada per
f(1,0,0) = (1,1,1), f(0,1,0) = (6,2,4) i f(0,0,1) = (4,2,3).
(a) Troba una matriu Atal que fsigui multiplicar per A.
(b) Troba una base i la dimensi´o de Ker(f) i Im(f).
(c) Amplia la base de Im(f) a una base de R3.
(d) El vector (1,2,3) pertany a la Im(f)?
(e) ´
Es monomorfisme (injectiva) l’aplicaci´o lineal?
(f) El vector (3,2,1) pertany al Ker(f)?
(g) ´
Es Ker(f) un subespai de Im(f)?
(La pregunta t´e sentit, ja que l’espai de sortida i el d’arribada s´on el mateix.)
(h) ´
Es Im(f) igual al subespai W={(x, y, z )∈R3|x+y−2z= 0}?