Algebra, Apuntes de Álgebra

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F´ısica, Matem´aticas y Estad´ıstica

Primer Curso

ALGEBRA^ ´ LINEAL I

Juan A. Navarro Gonz´alez

5 de octubre de 2015

4 ´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Relaciones de Equivalencia

Definici´on: Dar una relaci´on ≡ en un conjunto X es dar una familia de parejas ordenadas de X, y pondremos x ≡ y cuando la pareja (x, y) est´e en tal familia. Diremos que es una relaci´on de equivalencia si tiene las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: x ≡ x, ∀x ∈ X.
2. Sim´etrica: x, y ∈ X, x ≡ y ⇒ y ≡ x.
3. Transitiva: x, y, z ∈ X, x ≡ y, y ≡ z ⇒ x ≡ z.

Ejemplo: Sea n un n´umero natural, n ≥ 2. Diremos que dos n´umeros enteros a, b ∈ Z son congruentes m´odulo n cuando b − a es m´ultiplo de n:

a ≡ b (m´od. n) cuando b − a = cn para alg´un c ∈ Z.

La relaci´on de congruencia m´odulo n es una relaci´on de equivalencia en el conjunto Z: Reflexiva: Si a ∈ Z, entonces a ≡ a (m´od. n) porque a − a = 0 · n. Sim´etrica: Si a ≡ b (m´od. n), entonces b − a = cn, donde c ∈ Z; luego a − b = (−c)n, y por tanto b ≡ a (m´od. n).

Transitiva: Si a ≡ b y b ≡ c (m´od. n), entonces b − a = xn y c − b = yn, donde x, y ∈ Z; luego c − a = (c − b) + (b − a) = yn + xn = (y + x)n, y por tanto a ≡ c (m´od. n).

Esta relaci´on de equivalencia tiene adem´as la siguiente propiedad:

a ≡ b (m´od. n) ⇒ a + c ≡ b + c y ac ≡ bc (m´od. n) c ∈ Z

pues si b = a + xn, donde x ∈ Z, entonces b + c = a + c + xn y bc = (a + xn)c = ac + xcn.

Definici´on: Dada una relaci´on de equivalencia ≡ en un conjunto X, llamaremos clase de equivalencia de un elemento x ∈ X al subconjunto de X formado por todos los elementos relacionados con x. Se denota

x¯ = [x] = {y ∈ X : x ≡ y}.

Diremos que un subconjunto C ⊆ X es una clase de equivalencia de la relaci´on ≡ si es la clase de equivalencia de alg´un elemento x ∈ X; es decir, C = ¯x para alg´un x ∈ X. El conjunto cociente de X por ≡ es el conjunto formado por las clases de equivalencia de ≡, y se denota X/ ≡.

1.2. N UMEROS COMPLEJOS´ 3

Exponencial Compleja

Definici´on: Si t ∈ R, pondremos eti^ = cos t + i sen t, donde el seno y coseno se consideran en radianes para que (^) ddt (eit) = ieit. Tenemos la f´ormula de Euler (1707-1783)

e^2 πi^ = 1

y en general e^2 πni^ = 1 para todo n´umero entero n. El n´umero complejo eti^ es de m´odulo |eti| =

cos^2 t + sen^2 t = 1, y todo n´umero com- plejo de m´odulo 1 es eθi^ para alg´un n´umero real θ. Si z ∈ C es de m´odulo ρ 6 = 0, el m´odulo de z/ρ es 1, as´ı que z/ρ = eθi^ y

z = ρeθi^ = ρ(cos θ + i sen θ)

para alg´un n´umero real θ = arg z que llamamos argumento de z (bien definido salvo la adici´on de un m´ultiplo entero de 2π). Cuando z = x + yi; x, y ∈ R, tenemos que

cos θ = x/ρ , sen θ = y/ρ , tan θ = y/x.

Ejemplos: Si ρ es un n´umero real positivo, arg ρ = 0, arg (ρi) = π/2, arg (−ρ) = π y arg (−ρi) = 3π/2 porque

ρ = ρe^0 , ρi = ρe

π 2 i , −ρ = ρeπi^ , −ρi = ρe

32 π i .

Por otra parte, las f´ormulas del seno y coseno de una suma expresan que

etiet

′i = e(t+t

′)i

etiet

′i = (cos t + i sen t)(cos t′^ + i sen t′) = =

(cos t)(cos t′) − (sen t)(sen t′)

• i

(cos t)(sen t′) + (sen t)(cos t′)

= cos(t + t′) + i sen (t + t′) = e(t+t

′)i ;

y la igualdad (ρeθi)(ρ′eθ

′i ) = ρρ′e(θ+θ

′)i muestra que

arg (z · z′) = (arg z) + (arg z′)

de modo que arg (z−^1 ) = −arg z, al ser arg z−^1 + arg z = arg (z−^1 z) = arg 1 = 0. Ahora, si u ∈ C y un^ = z = ρeiθ, entonces

|u|n^ = |un| = |z| = ρ narg (u) = arg (un) = arg z = θ + 2πk , k ∈ Z

Luego |u| = n

ρ y arg (u) = (^) nθ + 2 kπn , y claramente basta tomar k = 0,... , n − 1. As´ı, todo n´umero complejo no nulo z = ρeiθ^ tiene n ra´ıces n-´esimas complejas, que son:

√ nρ e( θ+2nkπ )i (^) = √nρ e nθ ie 2 kπn i

En particular, las ra´ıces n-´esimas de la unidad complejas son

e

2 kπn i ; k = 1,... , n,

y vemos que las ra´ıces n-´esimas de un n´umero complejo no nulo se obtienen multiplicando una de ellas por las ra´ıces n-´esimas de la unidad.

4 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

Ejemplos: Veamos las ra´ıces n-´esimas de la unidad complejas cuando n = 2, 3 , 4 , 6 , 8:

n = 2; e 22 π i = eπi^ = −1, e 42 π i = e^2 πi^ = 1.

n = 3; e 23 π i = − 12 +

√ 3 2 i,^ e^

43 π i = − 12 −

√ 3 2 i,^ e^

63 π i = 1.

n = 4; e 24 π i = i, e 44 π i = −1, e 64 π i = −i, e 84 π i = 1.

n = 6; e

2 π 6 i^ = 12 +

√ 3 2 i,^ e^

4 π 6 i^ = − 12 +

√ 3 2 i,^ e^

6 π 6 i^ = −1, e

86 π i = − 12 −

√ 3 2 i,^ e^

106 π i = 12 −

√ 3 2 i,^ e^

126 π i = 1.

n = 8; e 28 π i = √^12 + √^12 i, e 48 π i = i, e 68 π i = − √^12 + √^12 i, e 88 π i = −1, e 108 π i = − √^12 − √^12 i, e 128 π i = −i, e 148 π i = − √^12 − √^12 i, e 168 π i = 1.

Por ´ultimo, si z = x + yi pondremos ez^ = exeyi^ = ex(cos y + i sen y), de modo que ez

′+z = ez

′ ez^ para cualesquiera n´umeros complejos z′, z. Cuando eu^ = z, decimos que u es el logaritmo neperiano de z. As´ı, el logaritmo neperiano de z = ρeiθ^ = eln^ ρeiθ^ = eln^ ρ+iθ^ es ln z = ln ρ + i(θ + 2kπ).

1.3 Permutaciones

Definici´on: Sean X e Y dos conjuntos. Dar una aplicaci´on f : X → Y es asignar a cada elemento x ∈ X un ´unico elemento f (x) ∈ Y , llamado imagen de x por la aplicaci´on f. Si g : Y → Z es otra aplicaci´on, llamaremos composici´on de g y f a la aplicaci´on

g ◦ f : X −→ Z , (g ◦ f )(x) = g

f (x)

La identidad de un conjunto X es la aplicaci´on IdX : X → X, IdX (x) = x. Sea f : X → Y una aplicaci´on. Si A ⊆ X, pondremos f (A) = {f (x) : x ∈ A} y es un subconjunto de Y. Si B ⊆ Y , pondremos f −^1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} y es un subconjunto de X. Si y ∈ Y , puede ocurrir que f −^1 (y) no tenga ning´un elemento o tenga m´as de uno, de modo que, en general, f −^1 no es una aplicaci´on de Y en X. Diremos que una aplicaci´on f : X → Y es inyectiva si elementos distintos tienen im´agenes distintas: x, y ∈ X, f (x) = f (y) ⇒ x = y

(i.e., cuando, para cada y ∈ Y se tiene que f −^1 (y) tiene un elemento o ninguno) y diremos que f es epiyectiva si todo elemento de Y es imagen de alg´un elemento de X:

y ∈ Y ⇒ y = f (x) para alg´un x ∈ X ,

es decir, cuando f (X) = Y o, lo que es igual, cuando, para cada y ∈ Y se tiene que f −^1 (y) tiene al menos un elemento. Diremos que una aplicaci´on f : X → Y es biyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva; es decir, cuando cada elemento y ∈ Y es imagen de un ´unico elemento de X, de modo que f −^1 (y) tiene un ´unico elemento, y en tal caso f −^1 : Y → X s´ı es una aplicaci´on, llamada aplicaci´on inversa de f porque f −^1 ◦ f = IdX y f ◦ f −^1 = IdY.

Definici´on: Las permutaciones de n elementos son las aplicaciones biyectivas

σ : { 1 ,... , n} −→ { 1 ,... , n}.

El conjunto de todas las permutaciones de n elementos se denota Sn, y est´a claro que su cardinal es n! = n · (n − 1) ·... · 2 · 1. El producto de permutaciones es la composici´on de

6 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

1.4 Matrices

En adelante pondremos K = Q, R ´o C, y llamemos escalares a los elementos de K. Dada una matriz A = (aij ) de m filas y n columnas (donde el sub´ındice i indica la fila y el sub´ındice j la columna), su matriz traspuesta es At^ = (aji), que tiene n filas y m columnas. Si B = (bjk) es otra matriz de n filas y r columnas, su producto AB es una matriz m × r cuyo coeficiente cik de la fila i y columna k es

cik =

∑n j=1aij^ bjk^ =^ ai^1 b^1 k^ +^ ai^2 b^2 k^ +^...^ +^ ainbnk^.

El, producto de matrices es asociativo, aunque no conmutativo, y (AB)t^ = BtAt^. La matriz unidad In es la matriz n × n con todos sus coeficientes nulos, salvo los de la diagonal, que son la unidad. Si A es una matriz m × n, entonces ImA = A y AIn = A. Una matriz cuadrada A de n columnas se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada B de n columnas tal que AB = In = BA, en cuyo caso tal matriz B es ´unica y se pone B = A−^1. Si A y B son matrices invertibles n × n, entonces (AB)−^1 = B−^1 A−^1.

Determinantes

Definici´on: El determinante de una matriz cuadrada A = (aij ) de n filas y columnas es

|A| =

σ∈Sn

(sgn σ)a 1 σ(1)... anσ(n)

y tiene las siguientes propiedades (que se probar´an en el curso de Algebra Lineal II):´

1. |A| = |At|.
2. Es lineal en cada columna (y por tanto en cada fila): |A 1 ,... , Ai + Bi,... , An| = |A 1 ,... , Ai,... , An| + |A 1 ,... , Bi,... , An| , |A 1 ,... , λAi,... , An| = λ|A 1 ,... , Ai,... , An|.
3. |Aσ(1),... , Aσ(n)| = (sgn σ)|A 1 ,... , An|.

a 1 0... 0 0 a 2... 0

............ 0 0... an

= a 1... an , |I| = 1.

5. |AB| = |A| · |B| , |A−^1 | = |A|−^1.

Luego el determinante es 0 cuando dos columnas (o dos filas) son iguales y

|A 1 ,... , Ai,... , An| = |A 1 ,... , Ai + λAj ,... , An| , i 6 = j.

Definici´on: El adjunto Aij de una matriz A es (−1)i+j^ por el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de la matriz A. El determinante de A puede calcularse desarrollando por cualquier fila:

|A| = ai 1 Ai 1 +... + ainAin ,

o por cualquier columna: |A| = a 1 j A 1 j +... + anj Anj. Si el determinante de una matriz A no es nulo, entonces A es invertible, y su inversa es

A−^1 =

|A|

A 11... An 1

......... A 1 n... Ann

1.4. MATRICES 7

(N´otese que el coeficiente de la fila i y columna j es el adjunto Aji, no Aij ). Por tanto, una matriz cuadrada A es invertible si y s´olo si su determinante no es nulo.

Definici´on: El rango (por columnas) de una matriz A es el m´aximo n´umero de columnas de A linealmente independientes, y se denota rg A. El rango por filas de una matriz A es el rango (por columnas) de su traspuesta At. Los menores de orden r de una matriz A son los determinantes de las matrices formadas con los coeficientes de r filas y r columnas de A (obviamente r no ha de superar el n´umero de columnas ni de filas de A).

Teorema del Rango: El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.

Como los menores de A y At^ son los mismos, el rango por filas de cualquier matriz A coincide con su rango por columnas.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Regla de Cr´amer (1704-1752): Si A es una matriz cuadrada invertible, el sistema de ecuaciones lineales AX = B tiene una ´unica soluci´on, que es

xi =

|A 1 ,... , B,... , An| |A 1 ,... , Ai,... , An|

donde A 1 ,... , An denotan las columnas de la matriz A.

Demostraci´on: Si A es invertible, la ´unica soluci´on de AX = B es X = A−^1 B. Adem´as, si x 1 ,... , xn es la soluci´on del sistema, entonces x 1 A 1 +... + xnAn = B y por tanto:

|A 1 ,... , B,... , An| =

j xj^ |A^1 ,... , Aj^ ,... , An|^ =^ xi|A^1 ,... , Ai,... , An|

porque la matriz (A 1 ,... , Aj ,... , An) tiene dos columnas iguales (las columnas i y j) cuando i 6 = j. Luego xi = |A 1 ,... , B,... , An|/|A 1 ,... , Ai,... , An| es la ´unica soluci´on del sistema.

Teorema de Rouch´e-Frob¨enius (1832-1910, 1849-1917): Un sistema de ecuaciones li- neales AX = B es compatible si y s´olo si rgA = rg(A|B).

Si un sistema de ecuaciones lineales AX = B es compatible y X 0 es una soluci´on par- ticular, AX 0 = B, entonces todas las soluciones se obtienen sum´andole las soluciones del sistema homog´eneo AY = 0; es decir, las soluciones son X = X 0 + Y , donde AY = 0.

Cap´ıtulo 2

Espacios Vectoriales

2.1 Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales

En adelante pondremos K = Q, R ´o C, y llamemos escalares a los elementos de K.

Definici´on: Dar una estructura de K-espacio vectorial en un conjunto E (cuyos elementos llamaremos vectores o puntos indistintamente) es asignar a cada par de vectores e 1 , e 2 ∈ E otro vector e 1 + e 2 ∈ E, y a cada escalar λ ∈ K y cada vector e ∈ E, otro vector λe ∈ E, de modo que:

Axioma 1: e 1 + (e 2 + e 3 ) = (e 1 + e 2 ) + e 3 para cualesquiera vectores e 1 , e 2 , e 3 ∈ E. Axioma 2: e 1 + e 2 = e 2 + e 1 para cualesquiera vectores e 1 , e 2 ∈ E. Axioma 3: Existe un vector 0 ∈ E tal que e + 0 = e para todo vector e ∈ E. Axioma 4: Para cada vector e ∈ E existe un vector −e tal que e + (−e) = 0. Axioma 5: λ(e 1 + e 2 ) = λe 1 + λe 2 para todo λ ∈ K, e 1 , e 2 ∈ E. Axioma 6: (λ 1 + λ 2 )e = λ 1 e + λ 2 e para todo λ 1 , λ 2 ∈ K, e ∈ E. Axioma 7: (λμ)e = λ(μe) para todo λ, μ ∈ K, e ∈ E. Axioma 8: 1 · e = e para todo vector e ∈ E.

Dados vectores e, v ∈ E, pondremos v − e = v + (−e), y diremos que −e es el opuesto del vector e. En los espacios vectoriales son v´alidas las reglas usuales del c´alculo vectorial:

e + v = e′^ + v ⇒ e = e′ e + v = v ⇒ e = 0 e + v = 0 ⇒ v = −e 0 · e = 0 , λ · 0 = 0 λ · (−e) = (−λ)e = −(λe) λ(e − v) = λe − λv λe = 0 ⇒ λ = 0 ´o e = 0

Definici´on: Un subconjunto V de un espacio vectorial E es un subespacio vectorial de E cuando la suma de vectores y el producto por escalares de E definan tambi´en en V una estructura de K-espacio vectorial; es decir, cuando

1. v 1 + v 2 ∈ V , para todo v 1 , v 2 ∈ V.
2. λv ∈ V , para todo λ ∈ K y v ∈ V.
3. 0 ∈ V.

10 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Ejemplos:

1. En la Geometr´ıa eucl´ıdea, los segmentos orientados con origen en un punto prefijado O forman un espacio vectorial real. Este es el ejemplo paradigm´´ atico de espacio vectorial, que motiva los nombres de los conceptos que iremos introduciendo.
2. Kn^ = K×.. .n ×K = {(λ 1 ,... , λn) : λ 1 ,... , λn ∈ K} es un K-espacio vectorial. Si A es una matriz m×n con coeficientes en K, las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homog´eneo AX = 0 forman un subespacio vectorial de Kn.
3. Fijados dos n´umeros naturales positivos m y n, la suma de matrices y el producto de matrices por escalares definen una estructura de K-espacio vectorial en el conjunto Mm×n(K) de todas las matrices de m filas y n columnas con coeficientes en K.
4. C es un C-espacio vectorial, y tambi´en es un R-espacio vectorial y un Q-espacio vec- torial. Estas tres estructuras de espacio vectorial sobre C son bien distintas, porque en cada caso los escalares son diferentes.
5. Un espacio vectorial E nunca puede ser el conjunto vac´ıo, porque el axioma 3 impone la existencia del vector nulo. El espacio vectorial que tiene un ´unico vector (que necesariamente ha de ser el vector nulo) se denota 0.
6. Todo espacio vectorial E admite los subespacios vectoriales triviales 0 y E.
7. Si e 1 ,... , en son vectores de un espacio vectorial E, entonces

Ke 1 +... + Ken = {λ 1 e 1 +... + λnen; λ 1 ,... , λn ∈ K}

es un subespacio vectorial de E que contiene a los vectores e 1 ,... , en, y diremos que es el subespacio vectorial de E generado por e 1 ,... , en. Tambi´en se denota 〈e 1 ,... , en〉, y si un subespacio vectorial V de E contiene a los vectores e 1 ,... , en, entonces Ke 1 +... + Ken ⊆ V.

8. Si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, entonces su intersecci´on V ∩ W y su suma V + W = {v + w; v ∈ V y w ∈ W } tambi´en son subespacios vectoriales de E.
9. Si E y F son dos K-espacios vectoriales, su producto directo E × F es un K-espacio vectorial cuando la suma y el producto por escalares se definen del siguiente modo:

(e, f ) + (e′, f ′) = (e + e′, f + f ′) , λ(e, f ) = (λe, λf ).

10. Diremos que un subconjunto X de un espacio vectorial E es una subvariedad lineal si existe un subespacio vectorial V de E y alg´un punto p ∈ E tales que

X = p + V = {p + v; v ∈ V }.

En tal caso diremos que V es la direcci´on de X, y que X es la subvariedad lineal que pasa por p con direcci´on V. Diremos que dos subvariedades lineales p + V y q + W son paralelas si sus direcciones V y W son incidentes (V ⊆ W ´o W ⊆ V ).

11. Espacio Vectorial Cociente: Cada subespacio vectorial V de un K-espacio vectorial E define una relaci´on de equivalencia en E (llamada congruencia m´odulo V ):

e ≡ e′^ (m´odulo V ) cuando e′^ − e ∈ V ; es decir e′^ ∈ e + V.

12 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

y diremos que (x 1 ,... , xn) ∈ Kn^ son las coordenadas del vector e en la base e 1 ,... , en.

En efecto, si e = x 1 e 1 +... + xnen = y 1 e 1 +... + ynen, entonces

(x 1 − y 1 )e 1 +... + (xn − yn)en = x 1 e 1 +... + xnen − (y 1 e 1 +... + ynen) = e − e = 0 ;

luego yi − xi = 0 para todo ´ındice i, porque e 1 ,... , en son linealmente independientes.

Ejemplos 2.2.

1. Sea e un vector no nulo. Como λe = 0 ⇒ λ = 0; tenemos que e es linealmente independiente, y por tanto define una base del subespacio vectorial Ke = 〈e〉. Adem´as, si otro vector v no est´a en Ke, entonces e, v son linealmente independientes, de modo que forman una base del subespacio vectorial Ke + Kv = 〈e, v〉.
2. Los vectores e 1 = (1, 0 ,... , 0), e 2 = (0, 1 ,... , 0),... , en = (0,... , 0 , 1) forman una base de Kn, llamada base usual de Kn. Las coordenadas de un vector e = (a 1 ,... , an) de Kn^ en esta base son precisamente (a 1 ,... , an), porque e = a 1 e 1 +... + anen.
3. Las matrices m × n que tienen todos sus coeficientes nulos, excepto uno que es la unidad, definen una base de Mm×n(K), base que est´a formada por mn matrices. Las coordenadas de una matriz en tal base son precisamente los coeficientes de la matriz.

Lema Fundamental: Sean e 1 ,... , en vectores de un K-espacio vectorial E. Si tenemos que v 1 ,... , vr ∈ Ke 1 +... + Ken y r > n, entonces los vectores v 1 ,... , vr son linealmente dependientes.

Demostraci´on: Si vr = 0 es obvio: 0 · v 1 + 0 · v 2 +... + 0 · vr− 1 + 1 · vr = 0.

Si vr 6 = 0, procedemos por inducci´on sobre n. Si n = 1, entonces v 1 , vr ∈ Ke 1 , as´ı que v 1 = λ 1 e 1 , vr = λr e 1 y λr 6 = 0 porque vr 6 = 0. Luego v 1 ,... , vr son linealmente dependientes:

λr v 1 − λ 1 vr = λr λ 1 e 1 − λ 1 λr e 1 = 0.

Si n > 1, reordenando los vectores e 1 ,... en si es preciso, tendremos vr =

∑n i=1 λiei^ con λn 6 = 0. Despejando, obtenemos que en ∈ Ke 1 +... + Ken− 1 + Kvr , y por tanto

v 1 ,... , vr− 1 ∈ Ke 1 +... + Ken ⊆ Ke 1 +... + Ken− 1 + Kvr.

De acuerdo con 2.1.1, en el espacio vectorial cociente E/(Kvr ) tendremos que

¯v 1 ,... , ¯vr− 1 ∈ K ¯e 1 +... + K ¯en− 1 + K ¯vr = K ¯e 1 +... + K e¯n− 1 ,

donde r − 1 > n − 1, y por hip´otesis de inducci´on existen escalares λ 1 ,... , λr− 1 , alguno no nulo, tales que

0 = λ 1 ¯v 1 +... + λr− 1 v¯r− 1 = [λ 1 v 1 +... + λr− 1 vr− 1 ].

Luego

∑r− 1 i=1 λivi^ ∈^ Kvr^ seg´un 2.1, y concluimos que^

∑r− 1 i=1 λivi^ =^ λr^ vr^ para alg´un escalar λr ; es decir, los vectores v 1 ,... , vr son linealmente dependientes.

Teorema 2.2.2 Todas las bases de un espacio vectorial tienen igual n´umero de vectores.

Demostraci´on: Si e 1 ,... , en y v 1 ,... , vr son dos bases de un espacio vectorial E, como los vectores e 1 ,... , en ∈ E = Kv 1 +... + Kvr son linealmente independientes, por el lema fundamental tenemos que n ≤ r. Como los vectores v 1 ,... , vr ∈ E = Ke 1 +... + Ken son linealmente independientes, tambi´en tenemos que r ≤ n; luego n = r.

2.2. TEOR´IA DE LA DIMENSI ON´ 13

Definici´on: Si un espacio vectorial E 6 = 0 admite una base, llamaremos dimensi´on de E al n´umero de vectores de cualquier base de E, y lo denotaremos dimK E; o sencillamente dim E cuando no induzca a confusi´on. Tambi´en diremos que el espacio vectorial E = 0 tiene dimensi´on 0 y que su base es el vac´ıo. Diremos que un espacio vectorial E tiene dimensi´on infinita cuando ninguna familia finita de vectores de E sea una base de E. La dimensi´on de una subvariedad lineal X = p + V es la de su direcci´on V. Las subvar- iedades lineales de dimensi´on 1 y 2 se llaman rectas y planos respectivamente.

Ejemplos 2.2.

1. Seg´un los ejemplos 2.2.1, para todo vector no nulo e tenemos que dim (^) K (Ke) = 1; y si adem´as v /∈ Ke, entonces dim (^) K (Ke + Kv) = 2. Tambi´en, dimK Kn^ = n y dimK Mm×n(K) = mn.
2. En particular dimC C = 1; aunque dimR C = 2, porque 1 , i forman una base de C = R + Ri como R-espacio vectorial.
3. Si E es un Q-espacio vectorial de dimensi´on finita n, cada base e 1 ,... , e − n define una biyecci´on Kn^ → E, (λ 1 ,... , λn) 7 →

i λiei, y por tanto el conjunto^ E^ es numerable. Como R y C no son numerables, dim (^) QR = dim (^) QC = ∞.

4. El K-espacio vectorial K[x] = {a 0 + a 1 x + a 2 x^2 +... ; a 0 , a 1... ∈ K}, formado por todos los polinomios con coeficientes en K en una indeterminada x, con la suma y el producto por escalares usuales, tiene dimensi´on infinita. En efecto, el subespacio vectorial Pn = {a 0 +a 1 x+.. .+anxn^ : a 0 ,... , an ∈ K} formado por todos los polinomios de grado ≤ n es de dimensi´on n + 1, porque claramente los polinomios 1, x,... , xn forman una base de Pn.
5. Por dos puntos distintos p y q = p + e pasa una ´unica recta p + Ke, formada por los puntos p + te = tq + (1 − t)p, donde t ∈ K. El punto p + 12 e = p+ 2 qrecibe el nombre de punto medio entre p y q.
6. En un tri´angulo (la figura formada por tres puntos no alineados abc) las igualdades

a + b + c 3

a 3

b + c 2

b 3

a + c 2

c 3

a + b 2 muestran que las tres medianas (rectas que unen un v´ertice con el punto medio del lado opuesto) se cortan en el punto g = a+ 3 b+ c, llamado baricentro o centro de gravedad, que divide a cada mediana en la proporci´on 2:1.

7. En un cuadril´atero (la figura formada por cuatro puntos ordenados abcd en los que no hay 3 alineados) las igualdades

a + b + c + d 4

a+b 2 +^

c+d 2 2

a+c 2 +^

b+d 2 2

b+c 2 +^

a+d 2 2 prueban que las bimedianas del cuadril´atero (rectas que unen puntos medios de lados opuestos) se bisecan mutuamente, y se bisecan con la recta que une los puntos medios de las diagonales ad y bc.

d

c

a b

8. Consideremos un cuadril´atero abcd y pongamos e = b − a, v = c − a. La condici´on de que sea un paralelogramo (los lados opuestos son paralelos) es que d − c = λe y d − b = μv para ciertos escalares λ, μ; luego d − a = e + μv = λe + v.

2.2. TEOR´IA DE LA DIMENSI ON´ 15

Teorema 2.2.7 Sea V subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimensi´on finita E.

1. dim V ≤ dim E y s´olo se da la igualdad cuando V = E.
2. dim (E/V ) = dim E − dim V.

Demostraci´on: Veamos primero que la dimensi´on de V tambi´en es finita. Tomemos en V una familia {v 1 ,... , vr } linealmente independiente que ya no pueda ampliarse con un vector de V de modo que lo siga siendo (existe porque, si n = dim E, por el lema fundamental en E no puede haber m´as de n vectores linealmente independientes). Por el lema anterior v 1 ,... , vr forman una base de V , de modo que r = dim V. Ahora 2.2.6 permite ampliarla hasta obtener una base v 1 ,... , vr , e 1 ,... , es de E. Luego dim V = r ≤ r + s = dim E; y si se da la igualdad, entonces s = 0 y v 1 ,... , vr ya es base de E, de modo que E = Kv 1 +... + Kvr = V.

En cuanto a la segunda afirmaci´on, basta probar que ¯e 1 ,... , ¯es es una base de E/V. Como v 1 ,... , vr , e 1 ,... , es generan E, y en E/V tenemos que ¯v 1 =... = ¯vr = 0, se sigue que E/V = K e¯ 1 +... + K ¯es. Veamos por ´ultimo que ¯e 1 ,... , e¯s son linealmente independientes:

Si 0 =

∑s i=1 λi^ e¯i^ = [

∑s i=1 λiei], entonces^

∑s i=1 λiei^ ∈^ V^ de acuerdo con 2.1, as´ı que

λ 1 e 1 +... + λsee = μ 1 v 1 +... + μr vr

para ciertos escalares μ 1 ,... , μr. Luego

∑s i=1 λiei^ −^

∑r j=1 μj^ vj^ = 0, y como los vectores v 1 ,... , vr , e 1 ,... , es son linealmente independientes, concluimos que λ 1 =... = λs = 0.

Corolario 2.2.8 Sea e 1 ,... , en una base de un espacio vectorial E. Si A es la matriz que tiene por columnas las coordenadas de v 1 ,... , vm ∈ E en tal base de E, entonces

dim (Kv 1 +... + Kvm) = rg A.

Demostraci´on: Pongamos r = rg A y d = dim (Kv 1 +... + Kvm). Como {v 1 ,... , vm} genera Kv 1 +... + Kvm, de acuerdo con 2.2.2 contiene una base vi 1 ,... , vid de Kv 1 +... + Kvm, as´ı que las columnas i 1 ,... , id de la matriz A son lineal- mente independientes y por tanto d ≤ r (pues unos vectores son linealmente independientes precisamente cuando sus coordenadas son linealmente independientes en Kn). Por otra parte, como la matriz A tiene r columnas linealmente independientes, hay r vectores vj 1 ,... , vjr linealmente independientes en Kv 1 +... + Kvm, y de acuerdo con 2.2.6 concluimos que r ≤ d.

Nota: v 1 ,... , vm son linealmente independientes ⇔ rg A = m. Por otra parte, de acuerdo con 2.2.7.1 tenemos que Kv 1 +... + Kvm = E si y s´olo si dim (Kv 1 +... + Kvm) = dim E, as´ı que de 2.2.8 se sigue que

v 1 ,... , vm generan E ⇔ rg A = dim E.

Ejemplos:

1. Dados n vectores v 1 = (a 11 ,... , an 1 ),... , vn = (a 1 n,... , ann) en Kn, la condici´on necesaria y suficiente para que formen una base de Kn^ es que el determinante de la matriz A = (aij ) no sea nulo.
2. Sean X = p + V , Y = q + W dos subvariedades lineales paralelas de igual dimensi´on. Como dim V = dim W , y adem´as V ⊆ W ´o W ⊆ V , 2.2.7.1 afirma que V = W : dos subvariedades lineales paralelas de igual dimensi´on tienen la misma direcci´on.

16 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Teorema de Rouch´e-Frob¨enius (1832-1910, 1849-1917): Un sistema de ecuaciones li- neales AX = B es compatible si y s´olo si rgA = rg(A|B).

Demostraci´on: Sean A 1 ,... , An las columnas de A, de modo que el sistema AX = B puede escribirse x 1 A 1 +... + xnAn = B, y la condici´on de que sea compatible significa que en Km tenemos que B ∈ 〈A 1 ,... , An〉; es decir, que 〈A 1 ,... , An〉 = 〈A 1 ,... , An, B〉. Ahora bien, el teorema 2.2.7.1 afirma que

〈A 1 ,... , An〉 = 〈A 1 ,... , An, B〉 ⇔ dim〈A 1 ,... , An〉 = dim〈A 1 ,... , An, B〉

y, de acuerdo con 2.2.8, esta ´ultima condici´on significa que rg A = rg (A|B).

2.3 Suma Directa

Definici´on: Diremos que la suma V 1 +... + Vr de unos subespacios vectoriales V 1 ,... , Vr de un espacio vectorial E es directa si cada vector e ∈ V 1 +... + Vr descompone de modo ´unico en la forma e = v 1 +... + vr , donde vi ∈ Vi; es decir, si la aplicaci´on

s : V 1 ×... × Vr −→ V 1 +... + Vr , s(v 1 ,... , vr ) = v 1 +... + vr ,

(que siempre es epiyectiva, por definici´on de suma de subespacios vectoriales) tambi´en es inyectiva. En tal caso, el subespacio vectorial V 1 +... + Vr se denota V 1 ⊕... ⊕ Vr.

Teorema 2.3.1 La condici´on necesaria y suficiente para que la suma de dos subespacios vectoriales V y W de un espacio vectorial E sea directa es que V ∩ W = 0.

Demostraci´on: Si la suma de V y W es directa y e ∈ V ∩ W , entonces

0 = 0 + 0 = e + (−e) ,

donde 0, e ∈ V y 0, −e ∈ W. La unicidad de la descomposici´on del vector 0 en suma de un vector de V y otro de W implica que e = 0. Luego V ∩ W = 0.

Rec´ıprocamente, si V ∩ W = 0 y un vector e ∈ V + W admite dos descomposiciones

e = v + w = v′^ + w′^ ; v, v′^ ∈ V, w, w′^ ∈ W

entonces v′^ − v = w − w′^ ∈ W. Como v′^ − v ∈ V , se sigue que v′^ − v ∈ V ∩ W = 0. Luego 0 = v′^ − v = w − w′, y concluimos que v = v′^ y w = w′. Es decir, tal descomposici´on es ´unica, as´ı que la suma de V y W es directa.

Definici´on: Diremos que dos subespacios vectoriales V y W de un espacio vectorial E son suplementarios (o que W es un suplementario de V en E, o que V es un suplementario de W en E) cuando E = V ⊕ W ; i.e., cuando cada vector de E descompone, y de modo ´unico, en suma de un vector de V y otro de W ; es decir, cuando V + W = E y V ∩ W = 0.

Ejemplo: Si e 1 ,... , en es una base de un espacio vectorial E, entonces cada vector e ∈ E descompone de modo ´unico como combinaci´on lineal e = λ 1 e 1 +... + λnen; luego

E = Ke 1 ⊕... ⊕ Ken

y vemos as´ı que un suplementario de V = Ke 1 ⊕... ⊕ Ker en E es el subespacio vectorial W = Ker+1 ⊕... ⊕ +Ken. Por tanto, para hallar un suplementario de un subespacio vectorial V de E basta ampliar una base v 1 ,... , vr de V hasta obtener una base v 1 ,... , vr , w 1 ,... , ws de E, porque en tal caso W = Kw 1 +... + Kws es un suplementario de V en E.