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Universidad Carlos III de Madrid
Ejercicio 1 2 3 4 5 6 Total Puntos
Departamento de Econom´ıa Examen Final de Matem´aticas I 24 de Junio de 2016
Duraci´on del Examen: 2 horas. APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Titulaci´on: Grupo:
(1) Sea la funci´on f (x) = 3
x^2 (1 − x). Se pide: (a) Representa la gr´afica de f (x) hallando previamente el dominio, las as´ıntotas, los interva- los de crecimiento y decrecimiento, extremos locales y/o globales y la imagen de f (x). (b) Considera la funci´on f (x) restringida al intervalo [0, 23 ]. Dibuja la gr´afica de f −^1 (x), hallando previamente el dominio, la imagen, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos fijos de f −^1 (x). Sugerencia para a: basta calcular la as´ıntota, si existe, en ∞. En −∞ se har´ıa igual. Sugerencia para b: no intentar hallar la expresi´on anal´ıtica de f −^1 (x). Adem´as, los puntos fijos de una funci´on y su inversa son los mismos. 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b).
a) El dominio es toda la recta real. No hay as´ıntotas verticales, pues la funci´on es continua en todos los puntos. Por otra parte, hay as´ıntota obl´ıcua en ∞, pues (^) x−→∞lim f (x) x = (^) x−lim→∞^3
(1 − x)/x = − 1. Por otro lado, (^) x−lim→∞f (x) + x = (^) x−lim→∞[ 3
x^2 (1 − x) + x] = (^) x−lim→∞[( 3
(1 − x)/x + 1)x] =
= (^) x−→∞lim
√ (^31) /x − 1 + 1
1 /x = 00 = ( por la regla de L’Hopital)
= (^) x−→∞lim (1/3)(1/x − 1))^2 /^3 (− 1 /x^2 ) − 1 /x^2 = (^) x−lim→∞^13 (1/x − 1)^2 /^3 = 1/ 3 Por tanto, la recta y = −x + 13 es la as´ıntota obl´ıcua en ∞. An´alogamente, la misma recta es la as´ıntota oblicua en −∞. Por lo anterior, no hay as´ıntotas horizontales, ni extremos globales y, al ser la funci´on continua en toda la recta real, su imagen es tambi´en toda la recta real. En cuanto a la monoton´ıa de la funci´on, la derivamos y obtenemos que, si x 6 = 0: f ′(x) = 13 (x^2 − x^3 )−^2 /^3 (2x − 3 x^2 ), de lo que se deduce que f es creciente en [0, 23 ], pues f ′(x) > 0 en (0, 23 ). f es decreciente en (−∞, 0] y en [ 23 , ∞), pues f ′(x) < 0 en (−∞, 0) y en ( 23 , ∞). Luego f alcanza un m´ınimo local en x = 0 y un m´aximo local en x = 23. As´ı pues, la gr´afica de la funci´on f (x) ser´a, aproximadamente, como la primera figura:
f
y=-x+1/
2/
f- 2/
1/
y=x
1/
b) Partimos de la funci´on f (x), continua y creciente en [0, 23 ] y con imagen [0, 3
4 /3].
Por lo tanto, la funci´on inversa ser´ıa continua y creciente y tendr´ıa como dominio el intervalo [0, 3
4 /3] y su imagen ser´ıa el intervalo [0, 23 ]. Por ´ultimo, los ´unicos puntos fijos de f son x = 0, x = 12 , pues f (x) = x ⇐⇒ ⇐⇒ (x^2 (1 − x))^1 /^3 = x ⇐⇒ x^2 (1 − x) = x^3 ⇐⇒ 1 − x = x o x = 0 ⇐⇒ x = 12 o x = 0. As´ı pues, la gr´afica de la funci´on f −^1 (x) ser´a, aproximadamente, como indica la segunda figura.
(3) Sea C(x) = 0, 01 ax^2 + 2x + a la funci´on de costes y p(x) = b − 2 x la funci´on (inversa) de demanda de una compa˜n´ıa monopolista. Se pide: (a) Hallar, en funci´on de a > 0 , la producci´on x 0 que minimiza el coste medio de dicha compa˜n´ıa. (b) Supongamos ahora que a = 100 y b > 2. Hallar, en funci´on de b, la producci´on x 1 que maximiza el beneficio de dicha compa˜n´ıa. Observaci´on: la producci´on de los diversos apartados puede depender, o no, de los diversos par´ametros. 1 punto
a) En primer lugar, sea C(x) x = 0, 01 ax + 2 + a x la funci´on de costes medios. Derivando esta funci´on, obtenemos: ( C(x) x )′^ = 0, 01 a − a x^2 = 0 ⇐⇒ x^2 = 100 ⇐⇒ x 0 = 10 independientemente del par´ametro a. Observando que la funci´on de costes medios es convexa, pues ( C(x) x
)′′^ > 0 ,
el punto cr´ıtico ser´a el ´unico minimizador global de los costes medios.
b) Como a = 100, la funci´on de beneficios es: B(x) = I(x) − C(x) = bx − 2 x^2 − (x^2 + 2x + a) = − 3 x^2 + (b − 2)x − 100 el punto cr´ıtico x 1 de dicha funci´on de beneficios ser´a: B′(x 1 ) = − 6 x 1 + b − 2 = 0 ⇐⇒ x 1 = (b − 2)/ 6. Y, observando que la funci´on de beneficios es c´oncava, pues B′′(x) < 0 , el punto cr´ıtico ser´a el ´unico maximizador global de los beneficios.
(4) Sean a, b n´umeros reales y consideremos la siguiente funci´on definida a trozos
f (x) =
4 aeax^ si x < 0 2 si x = 0 2
x + b si x > 0
. Se pide:
(a) Discutir, seg´un los valores a, b, cuando la funci´on anterior es continua en toda la recta real. (b) Discutir, seg´un los valores a, b, cuando la funci´on anterior es derivable en toda la recta real. 1 punto
a) Para cualquier valor a, la funci´on es continua en x < 0. Adem´as, en x = 0, la funci´on es continua por la izquierda si se cumple que: lim x−→ 0 − f (x) = f (0) ⇐⇒ 4 ae^0 = 2 ⇐⇒ a = 12. Por otro lado, la funci´on es continua si x > 0 cuando b > 0. Y, en particular, f es continua en x = 0 por la derecha si se cumple que. lim x−→ 0 + f (x) = f (0) ⇐⇒ 2
b = 2 ⇐⇒ b = 1. Luego se cumple que f (x) es continua en todo x cuando a = 12 , b = 1.
b) Desde luego, cuando x 6 = 0 la funci´on anterior es derivable si b > 0 pues, en un entorno de dicho punto la funci´on coincide con una exponencial o una ra´ız cuadrada. En cuanto al punto x = 0, vamos a calcular las derivadas laterales, utilizando que la funci´on es continua en dicho punto cuando a = 12 , b = 1. f (^) −’(0) = (^) x−lim→ 0 − f ′(x) = (^) x−lim→ 0 − 4 a^2 eax^ = 4a^2 e^0 = 4a^2 = 1
f (^) +’(0) = lim x−→ 0 +^ f ′(x) = lim x−→ 0 +
x + 1
Luego la funci´on ser´a derivable en todo punto cuando a = 12 , b = 1.
(6) Dada la funci´on f (x) = x 1 + x^2 , definida en [0, 2], se pide: (a) Hallar los extremos locales y globales de la funci´on en dicho intervalo. Justifica tu respuesta enunciando los teoremas que utilices. (b) Sin calcular ninguna integral, halla la mejor aproximaci´on, mediante n´umeros racionales, por defecto y por exceso, de la integral
0
x 1 + x^2 dx Sugerencia para b: no hallar la primitiva; utilizar la informaci´on del apartado anterior y dibujar la gr´afica de f. 1 punto
a) f (x) es una funci´on continua en el intervalo [0, 2], cerrado y acotado, luego por el teorema de Weierstrass se deduce que la funci´on alcanza sus extremos globales en dicho intervalo. Como f ′(x) = 1 − x^2 (1 + x^2 )^2 = 0 ⇐⇒ x = 1, si x ∈ [0, 2], se deduce que el ´unico extremo local posible es dicho punto. Como f ′(x) > 0 si 0 < x < 1 , se deduce que f es creciente en el intervalo [0, 1]. Como f ′(x) < 0 si 1 < x < 2 , se deduce que f es decreciente en el intervalo [1, 2]. Por lo tanto, se deduce que: i) f alcanza un m´aximo local y global en x = 1. ii) como f (0) = 0, f (2) = 25 , se obtiene que f alcanza su m´ınimo global en x = 0. Observaci´on: si se quiere, f alcanza tambi´en m´ınimos locales en x = 0 y x = 2.
b) La gr´afica de f ser´a, aproximadamente, as´ı:
2
f 1/ 2/
1
Por el dibujo anterior se observa lo siguiente: i) 0 < f (x) < 12 si x ∈ (0, 1) =⇒ 0 <
0
x 1 + x^2 dx < 12. ii) 25 < f (x) < 12 si x ∈ (1, 2) =⇒ 25 <
1
x 1 + x^2 dx < 12. Luego sumando las desigualdades anteriores se deduce que: 0 + 25 <
0
x 1 + x^2 dx +
1
x 1 + x^2 dx =
0
x 1 + x^2 dx < 12 + 12 = 1. Por tanto, obtenemos que 25 es la mejor estimaci´on por defecto. An´alogamente, 1 es la mejor estimaci´on por exceso.
