1
Exercicis corresponents al Cap´ıtol 2
1. (*) Comproveu si cada una de les fam´ılies seg¨uents ´es base d’oberts per a alguna topologia
sobre R:
(a) {]−x, x[ : x∈R}.
(b) {[x, y] : x < y ix, y ∈Q}.
(c) {[x, y] : x < y ix∈Q, y ∈R−Q}.
(d) {[x, y] : x, y ∈R}.
2. Siga Buna base d’oberts de (X, T) i B1una fam´ılia d’oberts tal que B ⊂ B1. Demostreu que
B1´es base d’oberts de l’espai (X, T).
3. Siga (X, T) un espai 2AN i S⊂Xtal que tots els seus punts s´on a¨ıllats (per a tot x∈S
existeix un obert A∈ T tal que A∩S={x}).
Demostreu que S´es numerable.
4. (*) Siga (X, T) un espai 2AN i {Ai}i∈Λuna fam´ılia d’oberts disjunts dos a dos (si i6=j´es
Ai∩Aj=∅).
Demostreu que la fam´ılia ´es numerable (el conjunt d’´ındex Λ ´es numerable)
5. (*) Siga Xun conjunt, T,T0dues topologies sobre XiB,B0bases d’oberts per a T,T0
respectivament. Es compleix que T0´es m´es fina que T(T ⊂ T 0si tot obert de T´es obert en
T0) sii per a tot B∈ B i tot x∈Bexisteix B0∈ B0tal que x∈B0⊂B.
6. La propietat de ser un espai 2AN, es conserva per topologies m´es fines? I per menys fines?
Justifiqueu les respostes.
7. La propietat de ser un espai 2AN, es conserva per aplicacions cont´ınues? Justifiqueu les res-
postes.