¡Descarga tema1 y más Apuntes en PDF de Topología solo en Docsity!
Cap´ıtol 1
Recordatori d’espais topol`ogics. Bases
d’entorns
Comen¸carem recordant alguns conceptes d’espais topologics (oberts, tancats, · · · ). Despr´es veurem com es pot definir un espai topologic a partir d’un conjunt i una fam´ılia local de subconjunts. Definirem el concepte de base d’entorns.
1.1 Espais topol`ogics
Definici´o 1.1.1 Un espai topol`ogic es una parella (X, T ) on X ´es un conjunt i T ´es una fam´ılia de subconjunt de X complint:
T1) X, ∅ ∈ T.
T2) Si A 1 , A 2 s´on elements de T , llavors A 1 ∩ A 2 tamb´e ho ´es.
T3) Si {Ai}i∈Λ ´es una fam´ılia d’elements de T , tamb´e ho ´es ∪i∈ΛAi.
Anomenarem oberts als elements de T i tancats als seus complementaris. Per tant, el buit i tot l’espai s´on oberts i tancats en qualsevol espai topol`ogic.
Exemple 1.1.2 1. (R, Tu) on A ∈ Tu si es pot escriure com uni´o d’intervals oberts.
- (X, TD), on TD = {A ⊂ X} denota la topologia discreta, ´es la topologia amb el major nombre d’oberts, la m´es “grossa”.
- (X, TT ), on TT = {∅, X} denota la topologia trivial, ´es la topologia amb el menor nombre d’oberts, la m´es “xicoteta”.
- (X, Tcf ), on Tcf denota la topologia cofinita (Tcf = {A ⊂ X : X − A ´es finit}). En el cas on X ´es finit, Tcf = TD.
Nota 1.1.3 Recordeu que si (X, d) ´es un espai metric llavors (X, Td) ´es un espai topologic on
Td = {A ⊂ X : per a tot punt x ∈ A existeix ≤ > 0 tal que Bd(x, ≤) ⊂ A}.
En particular vosaltres heu treballat, entre moltes altres, les seg¨uents m`etriques
- (R^2 , d 1 ), on d 1 ´es la m`etrica del taxi (d 1 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 |).
- (R^2 , d 2 ), on d 2 ´es la m`etrica euclidiana (d 2 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) =
(x 1 − x 2 )^2 + (y 1 − y 2 )^2 ).
- (R^2 , d∞), on d∞ ´es la m
etrica dels escacs o del maxim
(d∞((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = max{|x 1 − x 2 |, |y 1 − y 2 |}).
i sabeu que les tres m`etriques s´on equivalents (Td 1 = Td 2 = Td∞ ).
Definici´o 1.1.4 Donat un espai topol`ogic (X, T ) i un punt x ∈ X, un entorn de x ´es un subconjunt U ⊂ X tal que existeix un obert A ∈ T complint x ∈ A ⊂ U. Denotarem per E(x) la fam´ılia de tots els entorns del punt x.
Nota 1.1.5 Noteu que de la mateixa definici´o d’entorn es dedueixen directament les afirmacions seg¨uents
Si U ∈ E(x), llavors x ∈ U.
Si U 1 , U 2 ∈ E(x), llavors U 1 ∩ U 2 ∈ E(x).
Si U ∈ E(x) i V ´es un subconjunt de X m´es gran que U (U ⊂ V ), llavors ´es V ∈ E(x).
Els oberts d’un espai topol`ogic es poden caracteritzar per entorns, aix´ı
Propietat 1.1.6 Si (X, T ) ´es un espai, un subconjunt S de X ´es obert sii ´es entorn de tots els seus punts (sii per a tot x ∈ S ´es S ∈ E(x))
Definici´o 1.1.7 Un espai topol`ogic (X, T ) ´es de Hausdorff o b´e T 2 si per a tota parella de punts distints x 6 = y ∈ X existeixen entorns U ∈ E(x) i V ∈ E(y) disjunts (U ∩ V = ∅).
Exemple 1.1.8 (X, d) i (X, TD) s´on espais T 2. L’espai (X, TT ) sols ho ´es si X ´es puntual. (R, Tcf ) no ´es T 2.
Propietat 1.1.9 Si (X, T ) ´es un espai Hausdorff, tota successi´o {xn}n∈N∗ que convergeix ho fa a un ´unic punt.
Propietat 1.1.10 Si (X, T ) ´es un espai Hausdorff, tot conjunt puntual {x} ´es tancat.
Definici´o 1.1.11 Siga (X, T ) un espai topologic i S ⊂ X, direm que S ´es dens si l’adherencia de S ´es tot X o equivalentment, si tot obert A ∈ T compleix que A ∩ S 6 = ∅.
Exemple 1.2.6 1. Tot espai m`etric ´es 1AN.
- (X, TD) tamb´e ´es 1AN.
- L’espai (R, Tcf ) no ´es 1AN. Per comprovar-ho suposarem que si ho ´es i arribarem a una contradicci´o. Si fora 1AN existiria una base d’entorns numerable, B(x), per a cada punt x ∈ R, en particular siga B(0) = {B^10 , B 02 , · · · , Bn 0 , · · · } una base d’entorns numerable del 0 ∈ R. Com que la nostra topologia ´es la cofinita tenim que per a tot n ∈ N∗^ ´es Fn = R − B 0 n finit. Ara b´e, com que la uni´o numerable de conjunts finits ´es numerable i R no ´es numerable, segur que podem triar un punt x ∈ R − (∪n∈N∗ Fn) = ∩n∈N∗ (R − Fn) = ∩n∈N∗ Bn 0 diferent de 0. Considerem ara l’obert A = R − {x} ∈ Tcf , compleix que 0 ∈ A per
o no hi ha cap element de B(0) totalment inclos en A, la cual cosa ´es una contradicci´o amb la suposici´o de que (R, Tcf ) era un espai 1AN. Vegen ara que el concepte d’espai 1AN ´es hereditari o siga, es conserva per subespais. Per aixo recordem el que ´es un subespai topologic.
Definici´o 1.2.7 Siga (X, T ) un espai topologic i S ⊂ X, la topologia T indueix la topologia seg¨uent sobre S T |S = TS = {A ∩ S : A ∈ T } anomenada topologia indu¨ıda o b´e topologia relativa. A (S, T |S ) li direm subespai to- pologic.
Propietat 1.2.8 Si (X, T ) ´es un espai 1AN i S ⊂ X, llavors (S, T |S ) tamb´e ´es 1AN.
El concepte d’espai 1AN ´es un concepte topologic el que vol dir que es conserva per homeomor- fismes. Per aixo recordem el concepte de continu¨ıtat i d’homeomorfisme en espais topol`ogics.
Definici´o 1.2.9 Siga f : (X, T ) → (Y, T ′) una aplicaci´o. Direm que f ´es cont´ınua en un punt x ∈ X si per a tot entorn V ∈ E(f (x)) existeix un entorn de x, U ∈ E(x), tal que U ⊂ f −^1 (V ). Direm que f ´es cont´ınua si ho ´es en tots els punts x ∈ X o equivalentment si per a tot obert A′^ ∈ T ′ la seua antiimatge ´es un obert de (X, T ) (f −^1 (A′) ∈ T ). Direm que f ´es un homeomorfisme si ´es una aplicaci´o cont´ınua, bijectiva i tal que l’aplicaci´o inversa, f −^1 , (que existeix per ser f bijectiva) tamb´e ´es cont´ınua.
Propietat 1.2.10 Siga f : (X, T ) → (Y, T ′) un homeomorfisme amb (X, T ) espai 1AN, llavors (Y, T ′) tamb´e ´es 1AN.
