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Cap´ıtulo 4
Conjunto Cl´asicos de Dimensi´on dos
4.1. Politopos
Basta pensar en las pir´amides de Egipto para darse cuenta que ejemplos de poliedros convexos se conoc´ıan y han sido estudiados desde hace much´ısimo tiempo. El primer estudio serio de poliedros convexos, como objetos matem´aticos, se realiz´o en Grecia por Theaetetus cuyo trabajo sobre los 5 poliedros convexos regulares es la base del libro 13 de los Elementos de Euclides, estos 5 poliedros son conocidos como los 5 s´olidos plat´onicos, nombre que proviene de un di´alogo de Plat´on con Timaens donde discuten sobre s´olidos regulares. Tambi´en conoc´ıan los griegos las figuras planas acotadas por segmentos lineales, los pol´ıgonos. Pol´ıgonos como cuadrados, tri´angulos o hex´agonos aparecen en construcciones cl´asicas. Nuestro inter´es se centrar´a principalmente en los pol´ıgonos y poliedros regulares que son objetos con el m´aximo posible de simetr´ıa. Veremos que en R^2 hay infinitos pol´ıgonos regulares, cada uno con un n´umero diferente de lados, pero en R^3 s´olo existen 5 poliedros regulares (los 5 s´olidos plat´onicos). A mediados de siglo XIX los ge´ometras se dieron cuenta que pod´ıan existir figuras regulares (politopos) en R^4 y en Rn. Acabaremos esta parte plante´andonos el n´umero posible de ellos.
Definici´on 4.1.1 Sea X un espacio af´ın, diremos que un subconjunto, S ⊂ X es convexo si para cualquier par de puntos, x, y ∈ S, el segmento
[x, y] = {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]}
est´a contenido en S.
Ejemplo 4.1.2 i) Todo el espacio X.
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ii) Cualquier subespacio de X, en particular las rectas y los hiperplanos. iii) Si X = R, los subconjuntos convexos son los intervalos (abiertos, cerrados o semiabiertos). iv) Si X = Rn^ todas las bolas abiertas y cerradas.
Lema 4.1.3 Sea f : X → Y una aplicaci´on af´ın entre dos espacios afines. Sean S ⊂ X y T ⊂ Y subconjuntos convexos. Entonces se cumple que tanto f (S) como f −^1 (T ) son convexos.
Demostraci´on Por ser f af´ın y S convexo se tiene f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) para todo λ ∈ [0, 1]. Por tanto, tanto f (S) como f −^1 (T ) son convexos. §
Corolario 4.1.4 Sea H un hiperplano de X. Entonces los semiespacios, tanto abiertos como cerra- dos, en que H subdivide X son convexos.
Demostraci´on Dado H existe una aplicaci´on af´ın f : X → R tal que H = f −^1 (0). Los semiespacios son E 1 = f −^1 (] − ∞, 0[) y E 2 = f −^1 (]0, ∞[) que son convexos por el lema anterior. §
Lema 4.1.5 La intersecci´on finita o infinita de convexos es convexo.
Definici´on 4.1.6 Definimos politopo al subconjunto de Rn^ obtenido como intersecci´on finita de semiespacios cerrados con la condici´on de que sea compacto y con interior no vac´ıo. A los politopos con n = 2 les llamaremos pol´ıgonos y si n = 3 poliedros.
Corolario 4.1.7 Todo politopo es convexo.
Teorema 4.1.8 (Teorema de estructura para politopos) Sea P un politopo definido por P = ∩ni=1Ri siendo los Ri los semiespacios cerrados con n minimal, o sea no hay semiespacios superfluos. Entones se cumple i) Los Ri est´an determinados salvo permutaci´on. ii) Si Hi es el hiperplano que define Ri, la intersecci´on Hi ∩ P es un politopo en Hi llamado i-´esima cara de P. iii) La frontera de P es la reuni´on de todas las caras de P.
La demostraci´on est´a en Berger “Geometry II” pag 10.
Definici´on 4.1.9 Sea P un politopo en Rn. Una cara de P se llamar´a (n − 1)-cara. Una k-cara de P es una cara de una (k + 1)-cara de P (k = 0, 1 , · · · , n − 2). Llamaremos aristas o ejes a las 1-caras y v´ertices a las 0-caras. Dos k-caras adyacentes, si se intersecan, lo hacen en un (k − 1)- cara.
la construcci´on del pol´ıgono de 17-lados que consigui´o Gauss en 1796 y hecho que, seg´un se dice, motiv´o que Gauss se dedicara a las matem´aticas. Ejemplos de construcciones factibles mediante regla y comp´as:
- Biseccionar un ´angulo.
- Encontrar el punto medio de un segmento.
- Construcci´on de un segmento paralelo a uno dado y que pasa por un punto fijo.
- Sumar dos segmentos.
- Multiplicar dos segmentos.
- Construcci´on de un segmento de longitud (^1) l siendo l la longitud de un segmento dado.
- Construcci´on de un segmento √l.
Por tanto, se pueden construir segmentos de longitud cualquier n´umero racional l y por lo anterior tambi´en segmentos de longitud cualquier n´umero de la forma p.e.
3 +
3 + √10 + 2^7.
La construcci´on, con regla y comp´as, de un pol´ıgono regular de n lados da lugar a un interesante problema de ´algebra resuelto por Gauss (Teor´ıa de Galois): Prob´o que es posible construir, mediante regla y comp´as, un pol´ıgono regular de n-lados sii la factorizaci´on de n en primos es de la forma
n = 2kp 1 p 2 · · · pr
donde cada primo impar pi puede escribirse como 2^2 m + 1 para alg´un m y todos lo pi son distintos. Los primos de esta forma se les llama primos de Fermat, Fm, pues ´el, alrededor de 1660, afirm´o que todos los n´umeros de esta forma eran primos, ahora se sabe que no es cierto pero a´un no se conoce cuantos existen, se cree que un n´umero finito. Se conocen los primeros, F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = 65537 y se conjetura que hay un n´umero finito. As´ı, si n es primo, los ´unicos pol´ıgonos regulares de n-lados constructibles mediante regla y comp´as son los de la forma, n = 2^2 m + 1.
4.3. Poliedros
Recordemos que un poliedro es un subconjunto convexo de R^3 acotado por un n´umero finito de planos afines, compacto y con interior no vac´ıo. La frontera est´a formada por caras 2-dimensionales, 1-dimensionales llamadas ejes o aristas y 0-dimensionales llamadas v´ertices. Hist´oricamente est´a el problema del concepto de poliedro regular. No aparece la definici´on en el trabajo de Euclides pero, en cambio, prueba que s´olo existen 5 poliedros regulares. Revisando su demostraci´on queda claro que un poliedro regular tiene todas sus caras formadas por pol´ıgonos regulares congruentes. Ahora bien, estas condiciones no son suficientes ya que a parte de los s´olidos plat´onicos hay 5 figuras m´as que cumplen esta condici´on (todas sus caras son tri´angulos) (triangular dipyramid, pentagonal dipyramid, tri-augmented triangular prism, gyro-elongated square dipyramid, siamese dodecahedron). Entonces se tiene que a˜nadir alguna condici´on a la anterior. P.R. Cromwell en “Polyedra” prueba
Teorema 4.3.1 Sea P un poliedro con caras pol´ıgonos regulares congruentes. Son equivalentes las afirmaciones siguientes:
- Todos los v´ertices de P est´an en una esfera.
- Todos los ´angulos di´edricos son iguales.
- Todas las figuras de los v´ertices son iguales. Entendiendo por figura en un v´ertices el pol´ıgono formado por la intersecci´on de las caras que se cortan en un v´ertice con una peque˜na esfera centrada en el v´ertice.
- Todos los ´angulos s´olidos son congruentes. Siendo ´angulo s´olido la suma de los ´angulos de los pol´ıgonos que se cortan en un v´ertice.
- En todo v´ertice se cortan el mismo n´umero de caras. No es f´acil de demostrar, pero es cierto, que estas condiciones locales dan una condici´on global de como tiene que ser el poliedro. Entonces tomaremos como definici´on de poliedro regular p.e. la siguiente,
Definici´on 4.3.2 Llamaremos poliedro regular a un poliedro con todas sus 2-caras pol´ıgonos regu- lares iguales y todos su ´angulos di´edricos (´angulo formado por dos caras adyacentes) iguales (ello implica que en todo v´ertice se cortan el mismo n´umero de aristas).
- 3 pent´agonos en cada v´ertice, como 3 × 108 = 324 < 360, es posible, pero ya no hay m´as casos. Con caras hex´agonos tenemos que si calculamos el ´angulo de un hex´agono regular resulta que es 120 grados, con lo que 3 × 120 = 360 por lo que no es posible y no hay m´as casos posibles. Para cada uno de los 5 casos posibles anteriores existe un poliedro regular pues se pueden construir usando coordenadas en R^3. As´ı, (1, 1 , 1), (1, − 1 , −1), (− 1 , 1 , −1), (− 1 , − 1 , 1) son los 4 v´ertices de un tetraedro regular con ejes de longitud 2√2. Los puntos (± 1 , ± 1 , ±1) nos dan los 8 v´ertices de un cubo. El poliedro formado uniendo los centros de caras adyacentes de un cubo nos da los 6 v´ertices de un octaedro regular, (± 1 , 0 , 0), (0, ± 1 , 0), (0, 0 , ±1). Para la existencia del icosaedro regular elegimos un n´umero real g tal que g^2 = g + 1 entonces los puntos (± 1 , 0 , ±g), (0, ±g, ±1), (±g, ± 1 , 0) son los 12 v´ertices del icosaedro regular. El dual nos da los 20 v´ertices del dodecaedro regular. §
Teorema 4.3.4 Todo poliedro convexo, sea regular o no, cumple la F´ormula de Euler, V −E+F = 2, siendo V el n´umero de v´ertices, E el n´umero de aristas y F el n´umero de caras.
Demostraci´on Lo probaremos usando la F´ormula de Euler para grafos planos. Sea P un poliedro convexo, le quitamos una cara y hacemos una especie de proyecci´on estereo- gr´afica desde un punto exterior situado en la perpendicular a la cara que quitamos y que pasa por el centro de la misma. Obtenemos su imagen en R^2 , llam´emosle P ′. En el caso del cubo tendr´ıamos
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- • Ocurre que P ′^ es una figura plana con el mismo n´umero de v´ertices y ejes que P , nos define un grafo plano conexo, Γ, con dichos v´ertices y ejes y el n´umero de caras de Γ coincide con el de P. Por tanto, aplicando la f´ormula de Euler para Γ resulta V − E + F = 2. A los grafos obtenidos de este modo se les llama grafos poliedrales. § Como consecuencia de la F´ormula de Euler para poliedros convexos se puede probar tambi´en que s´olo existen 5 poliedros regulares, ve´amoslo.
Sea P un poliedro regular, denotemos por V , E, F , el n´umero de v´ertices, aristas y caras del mismo. Adem´as, por ser regular sabemos que en cada v´ertice se cortan el mismo n´umero de aristas, denot´emoslo por r, y cada cara est´a acotada por el mismo n´umero de ejes (todas las caras son pol´ıgonos regulares iguales), denot´emoslo por n. Se tiene que cumplir: Como cada arista toca 2 v´ertices, rV = 2E. Como cada arista forma parte de exactamente 2 caras, nF = 2E. Aplicando la f´ormula de Euler tenemos que
V − E + F = 2 =^2 nE − E +^2 r E
esto es, (^) E^2 = (^2) n − 1 + (^2) r , o sea (^) E^1 = (^) n^1 + (^1) r − 12. Para que P sea un poliedro tiene que ser n, r ≥ 3 y como E no puede ser negativo necesariamente tenemos que (^) n^1 + (^1) r > 12 , esto es, n y r no pueden ser, a la vez, mayores que 3 ya que 14 + 14 = 12. Por tanto, si 13 + (^1) r > 12 tiene que ser (^1) r > 12 − 13 , esto es 6 < r, o sea r ∈ { 3 , 4 , 5 }. Entonces s´olo tenemos los casos siguientes posibles: r n E V F 3 3 6 4 4 tetraedro 3 4 12 8 6 cubo 3 5 30 20 12 dodecaedro 4 3 12 6 8 octaedro 5 3 30 12 20 icosaedro
En general, un n-politopo es la intersecci´on de un n´umero finito de semiespacios cerrados de Rn, acotado y con interior no vac´ıo. Un n-politopo es regular si todas sus caras son (n − 1)-politopos regulares y congruentes y todos sus ´angulos di´edricos son iguales, siendo el ´angulo di´edrico que forma la cara Hi con Hj el ´angulo que forman los vectores unitarios ortogonales a Hi y Hj respectivamente. Equivalentemente se puede definir n-politopo regular como aquel en que todas sus caras son (n − 1)-politopos regulares y congruentes y todas las figuras de sus v´ertices son iguales. En R^4 existen 6 politopos regulares. Se cumple la f´ormula de Euler que, en este caso, es
V − E + F − H = 0
