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Cap´ıtulo 3
Teor´ıa de Nudos
Los nudos, engarces y trenzas los ha utilizado el hombre desde la antig¨uedad y su utilidad pr´actica es bien conocida. Sin embargo, el estudio de nudos, engarces y trenzas como objetos matem´aticos es relativamente reciente. Probablemente, el primero que utiliz´o un concepto directamente relacionado con lo que hoy en d´ıa llamamos engarce fue Gauss (1777-1855), al considerar espiras engarzadas y utilizar su n´umero de engarce en la f´ormula que describe el campo magn´etico inducido. Algo m´as tarde, Kelvin (1859) crey´o en la idea de que la materia estaba constituida por ´atomos v´ortices, engarzados y anudados, viviendo en un medio fluido ideal llamado ´eter. Por esta raz´on, convenci´o a un f´ısico escoc´es, Tait (1831-1901), para que realizara un tabla de nudos y engarces que ve´ıa como una tabla de elementos qu´ımicos. Tait dedic´o mucho a˜nos a hacer una lista de nudos (dio una lista de nudos alternados de hasta 10 cruces). El americano C.N. Little, en 1899, despu´es de seis a˜nos de trabajo, dio una tabla de 43 nudos de 10 cruces no alternados. El m´etodo usado en la elaboraci´on de la tabla fue pura prueba y error. De hecho, durante 75 a˜nos se aceptaron estas tablas como correctas. Todos los estudios de nudos y engarces anteriores al siglo XX puede decirse que pertenecen a la prehistoria de esta disciplina. La Teor´ıa Topol´ogica de nudos empieza a tener importancia a partir de los a˜nos 20 con los trabajos de Alexander, Dehn (1910, 1914), Reidemester 1932), Seifert, Shubert y Fox. En 1970 nace la Teor´ıa Combinatoria de nudos con los trabajos de Connway, Jones y Kauffman y a partir de los trabajos de Thurston y Ryley (1986) surge la Teor´ıa Geom´etrica de nudos. En la actualidad, esto son tres campos activos en la investigaci´on y con aplicaciones a otros campos cient´ıficos. Entre los campos cient´ıficos, distintos de las matem´aticas, donde se est´a aplicando la Teor´ıa de 63
nudos citaremos: La F´ısica. Witten medalla Field en 1990, utiliza ideas de la Teor´ıa de nudos y engarces en la Teor´ıa cu´antica de campos. Tambi´en interesa la Teor´ıa de nudos en la Mec´anica de fluidos. Otra situaci´on donde aparecen las trenzas de modo natural en en modelos de v´ertices de la Mec´anica estad´ıstica. La Biolog´ıa. En 1980, los bioqu´ımicos descubrieron las dobles h´elices de una mol´ecula de ADN se anudan y se engarzan durante los procesos biol´ogicos de recombinaci´on y replicaci´on.
3.1. Generalidades
El concepto matem´atico de nudo es una abstracci´on de la imagen f´ısica ‘tomar una cuerda, anudarla e identificar los extremos’. Los podr´ıamos definir formalmente como
Definici´on 3.1.1 Un nudo es una curva cerrada, simple, de R^3 , esto es, f : S^1 → R^3 continua e inyectiva.
Nota 3.1.2 La definici´on anterior la cumplen los nudos infinitos, llamados nudos salvajes.
No queremos considerar este tipo de nudos. Por lo que la definici´on matem´aticamente correcta m´as simple de un nudo esencialmente es que un nudo es una curva simple cerrada formada por segmentos de R^3. Formalmente tenemos la definici´on siguiente.
Definici´on 3.1.3 Dados p y q puntos distintos de R^3 , denotamos por [p, q] el segmento que los une. Dado un conjunto ordenado, finito, de puntos distintos de R^3 , llamaremos curva cerrada poligonal a la uni´on de los segmentos [p 1 , p 2 ], [p 2 , p 3 ], · · · , [pn− 1 , pn] y [pn, p 1 ]. Si cada segmento corta exactamente dos de los restantes segmentos y s´olo en los extremos diremos que la curva es simple.
Nota 3.1.7 Intuitivamente podemos decir que dos nudos son equivalentes si, en R^3 , podemos defor- mar uno en el otro sin pasar por autointersecciones.
Nota 3.1.8 La relaci´on anterior es una relaci´on binaria de equivalencia. La Teor´ıa de nudos es el estudio de las clases de equivalencia de nudos. Por lo que, a partir de ahora no distinguiremos entre un nudo y su clase de equivalencia.
Definici´on 3.1.9 Llamaremos nudo trivial al determinado por tres puntos no colineares.
Nota 3.1.10 Los nudos normalmente no se pintan como curvas poligonales sino como curvas difer- enciables, informalmente esto es posible porque podemos pensar en un nudo como una uni´on de una cantidad muy grande de segmentos. A partir de aqu´ı trabajaremos con los nudos como si fueran curvas diferenciales en R^3 y dos nudos son equivalentes (‘el mismo’) si existe un homeomorfismo de R^3 que conserva la orientaci´on y que transforma uno en otro.
La Teor´ıa de nudos estudia tambi´en engarces. Responde a la realidad f´ısica de varias cuerdas cerradas, que pueden estar anudadas y al vez enlazadas unas con otras. As´ı, formalmente se pueden definir como sigue.
Definici´on 3.1.11 Un engarce es una uni´on finita de nudos disjuntos. En particular, un nudo es un engarce de una ´unica componente conexa. El engarce trivial es la uni´on de nudos triviales, todos ellos en un mismo plano.
Nota 3.1.12 En la definici´on de engarce trivial es esencial el hecho de que todos los nudos triviales est´en en el mismo plano ya que los anillos de Borromeo o el engarce de Hopf, son un ejemplo de un engarce de nudos triviales que no es trivial.
Engarce de Hopf Anillos de Borromeo Un nudo es un objeto, de dimensi´on 1, en R^3 pero los hemos representado mediante dibujos en el plano (pizarra, papel). Como hac´ıamos con los grafos, lo hemos hecho mediante un diagrama, vamos a definirlo formalmente.
Definici´on 3.1.13 Si K es un nudo, llamaremos proyecci´on de K a su imagen por la aplicaci´on
p : R^3 → R^2 (x, y, z) 7 → (x, y)
Evidentemente, p(K) no es una curva simple de R^2 , tiene autointersecciones. Ahora bien, despu´es de un n´umero finito de deformaciones elementales de K (si hace falta) se puede conseguir que p(K) no tenga puntos triples y que todos los v´ertices de K tengan im´agenes distintas. A una proyecci´on de K sin puntos triples que todos los v´ertices tengan im´agenes distintas le llamaremos proyecci´on regular. A veces, a la proyecci´on regular de un nudo K se llama universo.
Cuando consideramos el universo de un nudo K perdemos informaci´on. Para recuperarla modi- ficamos un poco la proyecci´on regular en un peque˜no entorno de los puntos dobles, dibujaremos en dos trozos el arco del nudo que contiene el punto doble con coordenada z menor (el arco que pasa por debajo). Un dibujo de esta caracter´ısticas es lo que se llama diagrama de un nudo.
Muchos de los nudos m´as simples son alternantes. De hecho, durante mucho tiempo se crey´o que todos los nudos eran alternantes. El nudo m´as sencillo no alternante tiene 8 cruces y no es elemental probar que no tiene ning´un diagrama que sea alternante.
La pregunta que nos hacemos es la siguiente, ¿en que forma est´an relacionados diagramas de nudos equivalentes? Reidemester en 1920 fue el primero que defini´o 3 tipos de movimientos, llamados movimientos de Reidemester, Tipo I
≡ ≡
Tipo II
≡ ≡
Tipo III
y prob´o,
Teorema 3.1.17 Dos nudos (o engarces) son equivalentes sii existe una sucesi´on finita de movimien- tos de Reidemester y posiblemente una deformaci´on en el plano, que pasa de un diagrama al otro.
Por tanto, una forma de probar que dos nudos son equivalentes es encontrar una sucesi´on finita de movimientos de Reidemester y/o deformaciones en el plano que nos transformen un diagrama en el otro.
Ejemplo 3.1.18 1. Dos diagramas diferentes del nudo trivial.
- Dos versiones del tr´ebol.
3.2. Tabla de nudos
Al principio de la Teor´ıa de nudos todo el trabajo iba dirigido en tener una lista completa de todos los nudos (con la idea subyacente de que esto dar´ıa una tabla de todos los elementos). El primer trabajo que se conoce es de T.P. Kirkman (1880), sus ideas fueron aplicadas por P.G. Tait que dio una lista de todos los nudos alternados de hasta 10 cruces (esta fue la primera tabla de nudos). Un profesor de la Universidad de Nebraska, C.N. Little (1899) fue el primero en atacar el estudio de dar una lista de nudos no alternantes, despu´es de 6 a˜nos de trabajo, public´o una lista de 43 nudos no alternantes con 10 cruces. Dicha lista se crey´o correcta a lo largo de los siguientes 75 a˜nos, no fue hasta 1974 que se prob´o que dos de los nudos de la lista de Little eran el mismo y que s´olo hab´ıa 42 nudos distintos no alternantes con 10 cruces, el que lo descubri´o fue K.A. Perko, de hecho se llama par de Perko a los dos nudos que prob´o que eran el mismo. Al principio hubieron poco intentos para probar que los distintos nudos de las tablas eran real- mente diferentes. En 1927, Alexander y Briggs dieron la primera demostraci´on de que casi todos los nudos de las listas, hasta 9 cruces, eran diferentes, hubo unos pocos nudos que no supieron decir nada de ellos. Su m´etodo fue definir un polinomio invariante, el polinomio de Alexander, y fue el ´unico polinomio invariante conocido hasta 1984. Reidemester en 1932, acab´o la demostraci´on rigurosa de que todos los nudos de la tabla, hasta 9 cruces eran diferentes. En 1969 J.H. Conway invent´o una nueva notaci´on de los nudos y la us´o para determinar todos los nudos primos de 11 cruces o menos, sin hacer uso de computador. En 1978 A. Caudron de la Univ. de Paris dio la primera lista correcta de nudos primos de 11 cruces o menos, corrigiendo algunos fallos de la de Conway. Al mismo tiempo, el canadiense H. Dowker invent´o una nueva notaci´on de los nudos basada en ideas antiguas de Tait. Usando esta notaci´on el ingl´es, M. Thistlethwaite implement´o un programa de computador que generaba nudos, como resultado, en 1981 obtuvo un lista de los nudos primos de hasta 12 cruces y en el 1982 de hasta 13 cruces. Veamos ahora que son nudos primos.
Definici´on 3.2.1 Dados dos diagramas de nudos, K y J, definimos un nuevo nudo, llamado suma de
Un invariante de nudos o engarce es un objeto calculable de un nudo o engarce que tiene el mismo valor para todos los representantes de la misma clase de equivalencia. Los invariantes pueden ser de distinta naturaleza por ejemplo un n´umero, un polinomio, ...
Vamos a estudiar ahora algunos invariantes del engarce. Invariantes num´ericos. El primer invariante que nos permite distinguir algunos engarces (es un invariante muy burdo) es el n´umero de componentes conexas del engarce. Es claro que los movimientos de Reidemester no var´ıan el n´umero de componentes conexas. Podemos determinar el n´umero de componentes conexas, incluso para un diagrama complicado, simplemente eligiendo un punto de un arco y recorriendo, mientras podamos, (por supuesto, atravesando los cruces como toca). Una componente conexa es una circunferencia completa (volver al mismo punto de partida).
Hay unos cuantos invariantes num´ericos, muy f´aciles de definir pero dif´ıciles de calcular como son: el ´ındice de cruce y el n´umero de desanudamiento. Definici´on 3.3.1 Sabemos que todo nudo tiene una proyecci´on regular (n´umero finito de puntos dobles). Como los movimientos de Reidemester cambian el n´umero de puntos dobles (Tipo I y II), ´este n´umero no es un invariante, pero si lo es el m´ınimo n´umero posible de puntos dobles de una proyecci´on, ´este n´umero se llama ´ındice de cruce.
Nota 3.3.2 Es claro que el ´unico nudo con ´ındice de cruce 0 es el nudo trivial. De hecho es el ´unico nudo que admite una proyecci´on con 1 o 2 cruces. La tabla siguiente da el n´umero de nudos primos que existen con un determinado ´ındice de cruce (no se distingue entre un nudo y su imagen en el espejo). ´ındice cruce nudos ´ındice cruce nudos ´ındice cruce nudos 1 0 5 2 9 49 2 0 6 3 10 156 3 1 7 7 11 552 4 1 8 21 12 2176 .
Definici´on 3.3.3 Dado el diagrama de un nudo es siempre posible dar un conjunto de cruces de modo que si los pasamos de “overcrossing” a “undercrossing” o viceversa, el nudo resultante es trivial.
Dado el diagrama de un nudo, el cambio en diferentes conjuntos de cruces puede conducir al nudo trivial y tambi´en es claro es que dicho conjunto depende del diagrama elegido y no del nudo. Llamaremos n´umero de desanudamiento o n´umero gordiano al n´umero minimal de cruces que necesitan ser cambiados para obtener el nudo trivial.
Nota 3.3.4 Debido a que el n´umero de desanudamiento tienen que calcularse estudiando todos los posibles diagramas de un nudo, es dif´ıcil de calcular. Sin embargo, s´olo el nudo trivial tiene n´umero de desanudamiento 0.
Ejemplo 3.3.5 El n´umero de desanudamiento del tr´ebol es 1.
El siguiente invariante es el n´umero de engarce, nos da una idea de lo liadas que est´an dos componentes conexas, para definirlo necesitamos el concepto de engarce orientado y signo de un cruce.
Definici´on 3.3.6 Diremos que un engarce est´a orientado si cada componente conexa est´a orientada, normalmente lo denotaremos por una flecha. A un cruce orientado le asignaremos un n´umero ±1 siguiendo la regla siguiente: le asignaremos +1 si al llevar la rama de debajo sobre la de arriba, lo hacemos en la direcci´on de las agujas del reloj. Si lo hacemos en direcci´on contraria, le asignaremos −1. As´ı, de los cruces siguientes, el primero tiene signo +1 y el segundo −1. _ _ ???? ??? ^ ^?^?
???? ???
???? ??? ???
????
^ ^?^?
Definici´on 3.3.7 Sea D un engarce orientado con C 1 , · · · , Cm componentes conexas. Sea Λi,j el conjunto de cruces de Ci con Cj. Llamaremos n´umero de engarce de las componentes Ci y Cj a
lk(Ci, Cj ) =^12
p∈Λi,j
ǫ(p)
siendo ǫ(p) el signo del cruce del cruce p.
Ejemplo 3.3.8 El n´umero de engarce de las dos componentes conexas m´as obscuras del siguiente engarce es lk(C 1 , C 2 ) = 12 (1 + 1) = 1.
Nota 3.3.11 En n´umero de engarce permite probar que no existe un homeomorfismo de R^3 en si mismo que transforme la Cinta de Moebius “a derechas”,M, en la Cinta de Moebius “a izquierdas”, M∗. A B
B
A
A′
B′
B′
A′
Consideremos en cada una de ellas la curva cerrada en su centro y la de su borde, las orientamos de modo paralelo y calculamos su n´umero de engarce. Uno es +1 y el otro −1.
Por tanto, si existiera un homeomorfismo de R^3 que transformara M en M∗, habr´ıa una deforma- ci´on que nos transformar´ıa las dos curvas de una en las de la otra, por lo que el n´umero de engarce ser´ıa el mismo y esto no ocurre.
El n´umero de engarce, para que tenga sentido, tenemos que tener dos componentes conexas, pero podemos definir algo similar fij´andonos en el signo de todos los cruces, independientemente de entre que componentes conexas sea.
Definici´on 3.3.12 Sea D un engarce orientado, definimos n´umero de torsi´on a
w(D) =
p∈Λ
ǫ(p)
siendo Λ el conjunto de todos los cruces de D.
Ejemplo 3.3.13 El n´umero de torsi´on del nudo trivial es 0. El del tr´ebol es 3.
Nota 3.3.14 a) Como ver´eis en pr´acticas, el n´umero de torsi´on de un nudo es independiente de la orientaci´on. No ocurre lo mismo con un engarce de m´as de una componente conexa, si cambiamos la orientaci´on solamente de una de ellas, el n´umero de torsi´on cambia. b) Debido a que un movimiento de Tipo II quita o pone dos cruces de signos opuestos y los de Tipo III no alteran el n´umero de cruces ni sus signos, el n´umero de torsi´on es invariante por movimientos de Tipo II y III. De hecho, dos engarces que se diferencian en un n´umero finito de movimientos de Tipo II y III se dice que son regularmente equivalentes. c) En cambio, los movimientos de Tipo I, introducen o quitan un cruce, por lo que modifican el n´umero de torsi´on.
Propiedad 3.3.15 Para el caso de un nudo K, el n´umero de torsi´on, w(K), coincide con el n´umero de engarce del engarce asociado, Kˆ, de dos componentes conexas obtenido a partir de K, a˜nadiendo una cuerda paralela a la de K.
Demostraci´on Si en K tenemos un cruce de signo −1, en el engarce asociado, Kˆ tendremos la situaci´on siguiente
< <<
< <<
con lo que la aportaci´on al n´umero de engarce de las dos componentes tambi´en es −1. Lo mismo ocurre con un cruce de K de signo +1.
Ejemplo 3.3.16 Si K es el tr´ebol, sabemos que su n´umero de torsi´on es 3. El n´umero de engarce del asociado tambi´en es 3.
Nota 3.3.17 El n´umero de torsi´on no es invariante del nudo pero si del engarce asociado.
Hasta aqu´ı todav´ıa no hemos podido probar que el tr´ebol est´a anudado. La demostraci´on m´as f´acil es introduciendo un nuevo invariante, la coloraci´on del diagrama de un nudo. El primero que us´o este invariante fue R. Fox.
Corolario 3.3.21 El nudo trivial no es 3 -coloreable y el tr´ebol si, por lo tanto no son equivalentes.
Nota 3.3.22 No todo nudo es 3-coloreable, ya hemos visto que el trivial no lo es, pero hay nudos no triviales que tampoco lo son como por ejemplo el ocho por lo que podemos asegurar que el ocho es distinto del tr´ebol.
¿Podr´ıamos generalizar el concepto de 3-coloreaci´on de un nudo? Hay varias generalizaciones posibles, nosotros veremos una. Supongamos que en la definici´on de 3-coloreaci´on, en lugar de tres colores, etiquetamos los arcos con los n´umeros 0, 1, 2. La condici´on en cada cruce es equivalente a la siguiente: supongamos que, en cada cruce, llamamos x al arco que pasa por arriba y por y, z los otros dos arcos. Entonces, se tiene que cumplir que 2x − y − z sea divisible por 3 o lo que es lo mismo,
2 x − y − z ≡ 0 mod3.
Por tanto, una posible generalizaci´on es la siguiente.
Definici´on 3.3.23 Diremos que el diagrama de un nudo K puede etiquetarse mod p si 1.- Podemos etiquetar todos lo arcos del diagrama con un entero de { 0 , 1 , · · · , p − 1 }. 2.- Si llamamos x al arco que pasa por arriba de un cruce y y, z a los otros dos. Se cumple 2 x − y − z ≡ 0 modp. 3.- Hemos usado, por lo menos, dos n´umero distintos.
Ejemplo 3.3.24 Ejemplo de nudo etiquetado mod 7.
Teorema 3.3.25 El etiquetado mod p es invariante por los movimientos de Reidemester.
Nota 3.3.26 Esta generalizaci´on de 3-coloraci´on es v´alida tambi´en para engarces.
Nota 3.3.27 El ocho es 5-coloreable, por tanto no es trivial.
3.4. Invariantes Topol´ogico-Algebraicos
El nudo o engarce se pueden considerar, indistintamente, en R^3 o bien en S^3 (compactaci´on por un punto de R^3 ).
Resulta que todo nudo o engarce, L, determina completamente su complementario en S^3. Por tanto, todo invariante del complemento es un invariante del engarce.
El primer invariante del complemento de un engarce y el m´as utilizado es su grupo fundamental y se llama grupo fundamental del engarce. Su estudio entra de lleno en la rama Topolog´ıa Algebraica (junta Topolog´ıa y Algebra).´
3.5. Invariantes Polin´omicos
Hemos visto que el ocho y el diagrama correspondiente a su imagen por un espejo son equivalentes. A los nudos que cumplen esta propiedad se le llama aquirales y si el diagrama de un nudo y su imagen por un espejo no son equivalentes se les llama quirales. En general, no es f´acil probar si un nudo es o no quiral. De hecho veremos que el tr´ebol es quiral usando, como invariante de nudos, polinomios, es uno de los invariantes m´as potentes de la Teor´ıa de nudos.
El primer polinomio asociado a nudos y engarces fu´e el de Alexander. En 1928, Alexander, prob- ablemente estudiando la topolog´ıa del complementario de un nudo, K, encontr´o un polinomio de Laurent en una variable t (con potencias positivas y negativas) que result´o ser invariante del nudo. En su trabajo s´olo utilizaba ´algebra lineal, determinantes y movimiento de Reidemester. Se suele denotar por, △K (t). Es un invariante calculable y bastante potente y se us´o a lo largo de 58 a˜nos para distinguir nudos.
Ahora bien, el polonomio de Alexander del nudo trivial es 1 pero hay nudos no triviales, como el nudo de Kimoshita-Terasaka siguiente
que tiene polinomio de Alexander 1 pero no es trivial. Por tanto, no es invariante completo.
El siguiente dibujo muestra, como ejemplo, un ´arbol que permite calcular el polinomio de Conway del tr´ebol.
3.5.2. Polinomio de Jones
En 1984, Vaughan Jones (Nueva Zelanda) descubri´o otro polinomio, el que lleva su nombre y que le sirvi´o para que en 1990 (Kyoto) le concedieran la medalla Field en reconocimiento de su trabajo que tuvo gran difusi´on en el mundo cient´ıfico y fu´e el comienzo de que se encontraran nuevos invariantes combinatorios de nudos y engarces.
De hecho, Jones estaba trabajando en mec´anica estad´ıstica y estudi´o ciertas funciones traza de C∗-´algebras. Observ´o que pod´ıa encontrar representaciones del grupo de trenzas en C∗-´algebras.
Una n-trenza es un conjunto de n arcos disjuntos que unen n puntos en un plano z = a con sus proyecciones en otro plano paralelo z = b, de tal manera que ning´un arco presenta m´aximos o m´ınimos. Las trenzas se pueden componer, como indica la figura siguiente donde tambi´en se muestran diagramas de las trenzas elementales σi y σ− i 1 con i = 1, · · · , n − 1.
Resulta que el conjunto de n-trenzas forma un grupo, llamado grupo de Artin, Bn, generado por las trenzas elementales.
Una trenza produce un nudo o engarce si se le a˜naden arcos que unen los puntos extremos en el plano z = a con los del plano z = b sin introducir nuevos cruces en el diagrama. Por otra parte, todo nudo o engarce se puede poner como una trenza, aunque no de manera ´unica.
Existe un conjunto de movimientos, llamados movimientos de Markov, que permiten pasar de una trenza a otra que represente el mismo engarce.
V. Jones prob´o que la asignaci´on de cierto polinomio a cada trenza era invariante mor movimientos de Markov, por lo que era invariante del engarce asociado. As´ı defini´o el polinomio invariante de engarces que lleva su nombre.
De hecho, el descubrimiento de Jones revolucion´o todo el campo de la Teor´ıa de nudos y mucha gente empez´o a trabajar con polinomios, sus interacciones con la Geometr´ıa y tambi´en con la F´ısica Cu´antica. Cuatro meses m´as tarde se descubri´o el polinomio HOMFLY (Hoste, Ocneau, Millet, Freyd, Lickorish, Yetter) que engloba todos los polinomios conocidos hasta el momento.
Nosotros definiremos el polinomio de Jones siguiendo el procedimiento Kauffman que es de una manera axiom´atica del tipo de la definici´on que hemos visto del polinomio de Conway.
