Formas cuadráticas, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Formas cuadráticas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Matemàtiques II

Economia i empresa

Llúcia Mauri Masdeu

Eina-e

Edita: Publicacions URV 1a edició: Juny de 2013 ISBN: 978-84-695-7912- Dipòsit legal: T-744-

Publicacions de la Universitat Rovira i Virgili: Av. Catalunya, 35 - 43002 Tarragona Tel. 977 558 474 www.publicacionsurv.cat [email protected]

Aquesta edició està subjecta a una llicència Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported de Creative Commons. Per veure’n una còpia, visiteu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o envieu una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.

¶ Aquesta editorial és membre de la Xarxa Vives i de l’UNE, fet que garanteix la difusió i comercialització de les seves publicacions a escala estatal i internacional.

Índex de continguts

Pròleg

Aquest llibre, Matemàtiques II, no pretén ser una segona part de Matemàtiques I, sinó més aviat, pretén ser una primera aproximació a la branca de l’optimització en l’àmbit empresarial. Val a dir, que si més no, sí té el mateix origen que Matemàtiques I. O sigui com un recull de pàgines, dins i fora de les aules on s’imparteix l’assignatura de Matemàtiques II a la Facultat d’Economia i Empresa de la Universitat Rovira i Virgili. Aquest recull es convertiria amb les pàgines il·lustrades, que segueixen a conti- nuació. I així per tant, proporcionar a l’alumnat material de suport en el transcurs de l’assignatura, per tal de facilitar l’adquisició de les competències necessàries, i així pos- teriorment, poder-les posar en pràctica. Tot plegat, agraeixo el suport a la meva família, als meus alumnes, a totes aquelles persones que m’han envoltat i indeliberadament, han deixat el seu grà de sorra, a tot el personal de Publicacions URV, i a tot el personal de la Facultat d’Economia i Empresa de la URV, especialment per les seves aportacions i les seves opinions, en diverses parts del text a Norberto Márquez, a Francesc Llerena i a Cori Vilella.

Febrer 2013

Tema 1: Formes quadràtiques

1.1 Formes quadràtiques i matriu associada

Recordem què era una matriu simètrica: Una matriu simètrica és aquella matriu quadrada, en què els elements que hi ha per sobre la diagonal principal són iguals als que hi ha per sota; és a dir, els elements aij=a (^) ji per i  1 ,..., n i j  1 ,..., n. Exemples:

Les matrius A i B són simètriques.

Nota: A és simètrica ‹ A  At

Què és una forma quadràtica?

Sigui A una matriu simètrica d’ordre n. Definim la forma quadràtica associada a la ma- triu A i la denotarem per q a l’aplicació següent: :  

Matemàtiques II

Fins aquí sabem trobar la forma quadràtica (o expressió polinòmica) associada a una matriu A. Però podem trobar a partir de la matriu associada A la forma quadràtica q (o expressió polinòmica)? Vegem-ho amb uns exemples: Nota: Recordeu que la matriu A que hem d’obtenir ha de ser simètrica.

Exemples:

1. Considerem la forma quadràtica i busquem la matriu , que és simètrica.

Sabem la relació següent:

Per tant:

Igualem component a component i obtenim que:

2. Considerem la forma quadràtica (^) i i busquem la matriu associada

, que és simètrica.

Sabem la relació següent:

Per tant:

ax^2 + dy^2 + fz^2 + 2 byx + 2 czx + 2 ezy =
3 x^2 + 5 y^2 + 4 z^2
4 xy + 6 xz + 2 yz

Llúcia Mauri Masdeu

Igualem component a component i obtenim que:

De manera anàloga, obtenim el cas d’una forma quadràtica de dimensió 4:

Polinomi característic: Sigui A una matriu simètrica d’ordre n. Anomenarem el polinomi característic de la matriu A i el denotarem per ,, el polinomi de grau n resultant del càlcul del determinant.

És a dir, sigui una matriu d’ordre n, llavors el polinomi

característic serà:

Llúcia Mauri Masdeu

Menor principal: Sigui A una matriu d’ordre n. Anomenarem menor principal d’ordre j de la matriu A i el denotarem per A (^) j , el determinant de la submatriu que s’obté de les primeres j files i les j primeres columnes de la matriu A.

Exemple:

1. Busquem tots els menors principals de la matriu :

, ,

1.2 Classificació de les formes quadràtiques

Donada una forma quadràtica q:  
i
 un vector. Diem que:

q ( v I^ )és definida positiva si
^ 
^ . q ( v I^ )és definida negativa si
 
. q ( v I^ )és semidefinida positiva si
^ i , tal que. q ( v I^ )és semidefinida negativa si
^ i , tal que .. q ( v I^ )és indefinida si  , tal que i.

Exemples:

1. és definida positiva, ja que prenent qualsevol vector si fem la suma de les seves components al quadrat sempre serà positiu, excepte el vector nul.
2. és semidefinida positiva, ja que per a qualsevol vector i existeix, per exemple, el vectorr no nul, tal que.
3. és indefinida, ja que si prenem, per exemple, els vectors i tenim que i.

Però, normalment, no serà tan senzill classificar-la. Per això necessitarem fer ús d’alguns mètodes per poder-ho dur a terme.

Veurem dos mètodes: — Mètode utilitzant els valors propis de A. — Mètode utilitzant els menors principals.

Matemàtiques II

Mètode utilitzant els valors propis de A

Aquest mètode classifica una forma quadràtica en funció del signe dels valors propis de la matriu associada. Llavors, sigui ^ 
^ una forma quadràtica i , ...,^ els valors propis de la matriu associada. Direm que: q és definida positiva (Tots els valors propis són positius) q és definida negativa (Tots els valors propis són negatius) q és semidefinida positiva (Tots els valors propis són positius o zero) q és semidefinida negativa (Tots els valors propis són negatius o zero) q és indefinida i (Hi ha valors propis estrictament positius i valors propis estrictament negatius)

Mètode utilitzant els menors principals

Aquest mètode classifica una forma quadràtica en funció del signe dels menors princi- pals de la matriu associada A d’odre n. Diem que:

1. Si (La forma quadràtica q no és semidefinida). t
   Si ,...., q és definida positiva.

t
Si q és definida negativa.

t
q és indefinida per a la resta de casos.

2. Si (La forma quadràtica q no és definida). t
   Si ,....,^ essent j < n^ q^ és semidefinida positiva.

t
Si essent j < n^ q^ és semidefinida negativa.

t
q és indefinida per a la resta de casos, tal que essent j < n.

En la resta de casos, el mètode no decideix i utilitzarem el criteri dels valors propis. Exemples:

Matemàtiques II

Per tant:

Així ens queda la matriu:

Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A:

, ,

En el cas que hi hagi valors propis positius i negatius, tindrem que la forma qua- dràtica és indefinida. Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A:

, ,

Com que i els menors principals de la matriu associada són po- sitius i negatius, però el A 3 (^)  0 i té subíndex senar; per tant, la forma quadràtica és indefinida.