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2. Formas cuadráticas. Expresiones diagonales. Clasificación respecto a su signo.
2.1 Formas cuadráticas. Expresión matricial y analítica. Expresiones diagonales.
Definición 2.1 ( Expresión matricial )
Una forma cuadrática es una función Թ :ݍื^ Թ que a cada vector ݔሺଵ ݔ ,ଶ , ڮ , ݔ ሻ א Թ^ le asocia el valor ࢞ൌ ሻ ࢞ሺݍ ௧^ ࢞ ܣ siendo A una matriz simétrica, es decir:
ܽଵଵ ଵଶ ܽڮ^ ܽଵ
ܽଵଶ ଶଶ ܽڮ^ ଶ
ଵ
ଶ
Su expresión analítica es:
ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ , ڮ , ݔ ܽൌ ሻ (^) ଵଵ ݔଵଶ^ ܽ2 (^) ଵଶ ݔଵ ݔଶ ڮ 2ܽ (^) ଵ ݔଵ ݔ ܽ (^) ଶଶ ݔଶଶ^ ڮ 2ܽ (^) ଶ ݔଶ ݔ ܽ ڮ (^) ݔଶ
Ejemplo 2.2 Sea Թ :ݍଷื^ Թ dada por ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ሺݔଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൭
Su expresión analítica es:
ݔ2 ൌଵଶ^ ݔ3 ଶଶ^ ݔ ଷଶ^ ݔ8 െଵ ݔଶ ݔ4 ଵ ݔଷ ݔ4 െଶ ݔଷ
Nota:
- En la diagonal principal de la matriz están los coeficientes de ݔଵଶ^ ݔ ,ଶଶ^ ݔ ,ଷଶ^ (en este orden).
- En el lugar ij de la matriz está la mitad del coeficiente de ݔ ݔ.
Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática, permite obtener
fácilmente cada una de ellas a partir de la otra.
Ejemplo 2.3 Sea Թ :ݍଷื^ Թ dada por ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ݔଵଶ^ ݔ െଶଶ^ ݔ2 ଷଶ^ ݔ7 െଵ ݔଶ ݔ4 ଶ ݔଷ
Su expresión matricial es: ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ሺݔଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൭
Definición 2.4 (E xpresión diagonal ) Sea Թ :ݍื^ Թ una forma cuadrática.
Una expresión diagonal o canónica de q viene dada por:
ଵ 0 ڮ^0
௧௭ ௦ ௗ
݀ൌ ൲ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥଵ ݔଵଶ^ ݀ ଶ ݔଶଶ^ ݀ ڮ ݔଶ
௫௦ ó í ௧ ௦ ó ௧ ௧ é ௦ ௨ௗ á ௧௦.
Observación:
Pretendemos expresar una forma cuadrática en forma diagonal. Cualquier forma cuadrática admite, al
menos, una expresión diagonal que es la que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque,
bajo ciertas condiciones, también pueden existir otras expresiones diagonales.
Proposición 2.5 (Expresión diagonal por autovalores)
Para toda forma cuadrática Թ :ݍื^ Թ , con A su matriz asociada, y ߣଵ ߣ , (^) ଶ , ڮ , ߣ (^) autovalores de A, existe
una expresión diagonal dada por:
ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ , ڮ , ݔ ሻ ൌ ߣଵ ݔଵଶ^ ߣ (^) ଶ ݔଶଶ^ ڮ ߣ (^) ݔଶ
Ejemplo 2.6 Sea la forma cuadrática Թ :ݍଷื^ Թ dada por: ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ 3ݔଵଶ^ ݔ3 ଶଶ^ ݔ5 ଷଶ^ ݔ4 െଵ ݔଶ
Su expresión matricial es ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ሺݔଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൭
Buscamos los autovalores de la matriz A: อ
อ ൌ 0 ՜ ሺ5 െ ߣሻ ቚ3 െ ߣ^ െ
ሺ5 െ ߣሻ ሾሺ3 െ ߣሻᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ଶ^ െ 4ሿ
ఒ మି^ ఒାହ
ߣଶ^ െ 6 ߣ 5 ൌ 0 ՜ ቄ ߣൌ 1
Una expresión diagonal por autovalores es: ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ 5ݔଵଶ^ ݔ5 ଶଶ^ ݔ ଷଶ
Proposición 2.7 (Expresión diagonal de Jacobi)
Sea Թ :ݍื^ Թ una forma cuadrática y A su matriz asociada. Consideremos los menores angulares ܦ
formados por las i primeras filas de A y las i primeras columnas de A:
ܦଵ ܽൌ ଵଵ ܦଶ ܽቚ ൌ ܽଵଵ^ ܽଵଶ
ܽଶଵ ଶଶ
ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଵଶ ܽଵଶ ܽଵଶ ܽଵଶ ܽଵଶ ଵଶ
Supongamos que ݃ݎ ሺܣሻ ൌ ݎ. La expresión diagonal de Jacobi de la forma cuadrática q viene dada por:
ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ , ڮ , ݔ ሻ ൌ ܦଵ ݔଵଶ^
ݔଶଶ^
ݔଷଶ^ ڮ
Siempre que ܦଵ് ܦ ,0 (^) ଶ് ܦ ,0 (^) ଶ് 0, ڮ , ܦ (^) ് 0
Es decir, para que q admita expresión diagonal de Jacobi, se tiene que verificar:
݃ݎ ܦ ݊ ܿ1 ൌ ሻܣሺ (^) ଵ് 0 ݃ݎ ܦ ݊ ܿ 2 ൌ ሻܣሺ (^) ଵ് ܦ ݕ 0 (^) ଶ് 0 ݃ݎ ܦ ݊ ܿ 3 ൌ ሻܣሺ (^) ଵ് 0 , ܦ (^) ଶ് ܦ ݕ 0 (^) ଷ് ܿݐ ݁ 0
Ejemplo 2.8 Sea la forma cuadrática Թ :ݍଷื^ Թ dada por ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ 3ݔଵଶ^ ݔ3 ଶଶ^ ݔ5 ଷଶ^ ݔ4 െଵ ݔଶ
(es la misma forma cuadrática del ejemplo 2.6)
Como ݃ݎ ݈ݕ 3 ൌ ሻܣሺ ܦ ݏ݁ݎ ݊݁݉ ݏ݁ݎݐ ݏ (^) ଵ ܦ ,ଶ ܦ ,ଷ് 0 , la forma diagonal de Jacobi es
ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ 3ݔଵଶ^
ݔଶଶ^
ݔଷଶ^ ݔ3 ൌଵଶ^
ݔଶଶ^ ݔ5 ଷଶ
Proposición 2.13 ( Criterio de los menores angulares )
Sea Թ :ݍื^ Թ una forma cuadrática, A su matriz asociada y ܦଵ ܦ ,ଶ , ڮ , ܦ los menores angulares de A
݅ܵ ሺ1ሻ ݃ݎ ܦ ݕ ݊ൌ ሻܣሺ (^) ଵ 0, ܦଶ 0, ܦଷ 0, ڮ , ܦ 0 ܽݒ݅ݐ݅ݏ ݂ܽ݀݅݊݅݁݀ ݏ ݁ ݍ ՜
݅ܵ ሺ2ሻ ݃ݎ ݊ൌ ሻܣሺ ܦ ݕ (^) ଵ ൏ 0, ܦଶ 0, ܦଷ ൏ 0 , ڮ , ܦ ൜
ݎܽ ݉݅ ݎ ݅ݏ 0 ൏ ,^ ܦାଵ^ ൌ 0^ , ڮ ,^ ܦ^ ܽݒ݅ݐ ܽ݃݁݊.݂݁݀݅݉݁ݏ ݏ ݁ ݍ ՜ 0 ൌ
En el resto de los casos el criterio no es válido
Ejemplo 2.14 Clasificar la forma cuadrática ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ݔଵଶ^ ݔ ଶଶ^ ݔ2 െଵ ݔଷ ݔ2 ଶ ݔଷ utilizando el criterio
de los menores angulares.
La matriz asociada es ܣൌ ൭
ܦଶ ൌ ቚ^1
Como: ݃ݎ ሺܣሻ ൌ 3 ݕ ܦଵ 0, ܦଶ 0 ݕ ܦଷ ݂ܽ݀݅݊݅݁݀݊݅ ݏ ݁ ݍ ՜ 0 ൏ (Caso 3)
Ejemplo 2.15 Clasificar la forma cuadrática ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ݔଷଶ^ ݔ4 ଵ ݔଶ ݔ2 ଵ ݔଷ ݔ2 ଶ ݔଷ utilizando el
criterio de los menores angulares.
La matriz asociada es ܣൌ ൭
ܦଶ ൌ ቚ^0
El criterio de los menores angulares no afirma nada en este caso.
Ejercicio 2.16 Sea la forma cuadrática Թ :ݍଷื^ Թ dada por
ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ݔଵଶ^ ݔ3 ଷଶ^ ݔ2 െଵ ݔଶ ݔ4 ଵ ݔଷ ݔ2 െଶ ݔଷ
a) Expresión matricial. b) Expresión diagonal por autovalores. c) Si es posible, expresión diagonal de Jacobi.
d) Clasificar la forma cuadrática.
Solución
ฺ ݀݊ܽݎ݁ ൌ 0ฺ อ ߣെ ଷ^ ߣ4 ଶ^ 3 ߣൌ 0 ՜ ߣሺെߣଶ^ 4 ߣ 3ሻ ൌ 0 ՜ ቐ
Una expresión diagonal por autovalores es ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ൫2 √7൯ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ൎସ,
ݔଵଶ^ ൫2 െ √7൯ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
ൎି,
Estudiamos los menores angulares: ܦଵ ൌ 1് 0 ܦଶ ൌ ቚ 1 െ െ1 0
Como el rango de la matriz es 2 y los dos primeros menores angulares no son nulos, la forma diagonal de Jacobi
es: ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ܦଵ ݔଵଶ^ మ భ
ݔଶଶ^ ݔ1 ൌଵଶ^
ሺିଵ ሻ ଵ ݔଶ
ଵ
ଶ
ଶ
d) Vamos a clasificar la forma cuadrática:
- 1ª forma: Utilizando el criterio de los autovalores ቐ
- 2ª forma: Utilizando la expresión diagonal por autovalores ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ൫2 √7൯ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ൎସ,
ݔଵଶ^ ൫2 െ √7൯ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
ൎି,
ݏݒ݅ݐ ܽ݃݁݊ ݕ ݏݒ݅ݐ݅ݏ ݏ݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁ ܿ ݁݊݁݅ݐ ݈ܽ݊ ݃ܽ݅݀ ݊ó݅ݏ݁ݎݔ ݁ ܽܮ ݂ܽ݀݅݊݅݁݀݊݅ ݏ ݁ ݍ ՜
- 3ª forma: Utilizando la expresión diagonal de Jacobi ݔሺݍଵ ݔ ,ଶ ݔ ,ଷ ሻ ൌ ݔଵଶ^ ݔ െଶଶ
ݏݒ݅ݐ ܽ݃݁݊ ݕ ݏݒ݅ݐ݅ݏ ݏ݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁ ܿ ݁݊݁݅ݐ ݈ܽ݊ ݃ܽ݅݀ ݊ó݅ݏ݁ݎݔ ݁ ܽܮ ݂ܽ݀݅݊݅݁݀݊݅ ݏ ݁ ݍ ՜
- 4ª forma: Utilizando el criterio de los menores angulares
݃ݎ ݕ ሺܣሻ ൌ 2 ሺCaso 6ሻ ݂ܽ݀݅݊݅݁݀݊݅ ݏ ݁ ݍ ݉ܥ ՜
2.3 Formas cuadráticas restringidas a un subespacio. Clasificación.
Al estudiar el signo de una forma cuadrática es frecuente que estas tengan que satisfacer un conjunto de
restricciones, o lo que es lo mismo, que el vector ࢞ pertenezca a un subespacio de Թ.
Definición 2.17 Sean Թ :ݍื^ Թ una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de Թ.
- q restringida a E es definida positiva si ݍሺ ࢞ሻ 0 ്࢞,ܧ א ࢞ ࣂ.
- q restringida a E es semidefinida positiva si ݍ ݕ ܧ א ࢞ 0 ሻ ࢞ሺݍ ࢛ሺ ݈݃ܽ ܽݎܽ 0 ൌ ሻ ú ്࢛ ݊ .ܧ ݁݀ ࣂ
- q restringida a E es definida negativa si ݍሺ ࢞ሻ ൏ 0 ്࢞,ܧ א ࢞ ࣂ.
- q restringida a E es semidefinida negativa si ݍሺ ࢞ሻ 0 ݍ ݕ ܧ א ࢞ ࢛ሺ ݈݃ܽ ܽݎܽ 0 ൌ ሻ ú ്࢛ ݊ .ܧ ݁݀ ࣂ
- q restringida a E es indefinida si existen vectores ࢛ ࢜ ݕ de ܧ no nulos tales que ࢛ሺݍ^ ሻ 0 ݕ ݍሺ࢜^ ሻ ൏ 0.
Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio.
El camino para clasificar una forma cuadrática restringida a un subespacio vectorial es:
Se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio ( supongamos que los parámetros son ߙଵ ߙ ,ଵ , ڮ , ߙ (^) )
Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática.
Se clasifica la forma cuadrática restringida |ݍ^ ா ߙሺଵ ߙ ,ଵ , ڮ , ߙ (^) ሻ
Observación:
- Si q es definida, al restringirla a E seguirá siendo definida. (Positiva o negativa)
- Si q es semidefinida, al restringirla a E puede ser definida o semidefinida. (Positiva o negativa)
- Si q es indefinida, al restringirla a E puede ser definida positiva o negativa, semidefinida positiva o negativa
o indefinida.
Ejercicio 2.20 Dadas las formas cuadráticas:
ሺ ܽሻ ݍሺݔ, ݕሻ ൌ െ2ݔ ଶ^ ݕ5 ݕݔ2 െ ଶ ݔ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺݍሻ ܾሺ ଶ^ ݕ ଶ^ ݖ െ ଶ^ ݕݔ2
ݔ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺݍሻ ܿሺ ଶ^ ݕ2 െ ଶ^ ݖ ଶ^ ݖݕ4 െ ݖݔ2 െ ݕݔ4 െ
Calcular: La expresión matricial, una expresión diagonal por autovalores y, siempre que sea posible, una
expresión diagonal de Jacobi. Clasificarlas.
Solución :
ሺ ܽሻ ݍሺݔ, ݕሻ ൌ െ2ݔ ଶ^ ݕ5 ݕݔ2 െ ଶ^ ݈ܽ݅ܿ݅ݎݐ ܽ݉ ݊ó݅ݏ݁ݎݔܧ ՜ ݍ ሺݔ, ݕሻ ൌ ቀെ2^ െ െ1 5
·Expresión diagonal por autovalores:
ቚെ2 െ ߣ^ െ
ቚ ൌ 0 ՜ ሺെ2 െ ߣሻሺ5 െ ߣሻ െ 1 ൌ 0 ՜ ߣଶ^ െ 3 ߣെ 11 ൌ 0 ՜
ଷା√ହଷ ᇣᇧᇤᇧଶ ᇥቁ ൎହ,ଵସவ
ݔ ଶ^ ቀ
ଷି √ହଷ ᇣᇧᇤᇧଶ ᇥቁ ൎିଶ,ଵସழ
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
݃ݎ ቀെ2െ1^ െ1 5 ቁ ൌ 2
ܦଵ ൌ െ2, ܦଶ ൌ ቚെ2^ െ
ቑ ՜ ݍሺݔ, ݕሻ ൌ 2ݔ ଶ^
ݕ ଶ^ ݔ2 ൌ ଶ^ െ
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
ݔ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺݍሻ ܾሺ ଶ^ ݕ ଶ^ ݖ െ ଶ^ ݅ݏ݁ݎݔܧ ՜ ݕݔ2 ó ܽ݉ ݊ ݈ܽ݅ܿ݅ݎݐ ݍ ሺݕ ,ݔ, ݖሻ ൌ ሺݕ ,ݔ, ݖሻ ൭
·Expresión diagonal por autovalores:
อ ൌ 0 ՜ ሺെ1 െ ߣሻ ቚ1 െ ߣ^1
ቚ ൌ 0 ՜ ሺെ1 െ ߣሻ ሾሺ1 െ ߣሻᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ଶ^ െ 1ሿ
ఒ మି^ ଶఒ
ݔെ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺݍ ଶ^ ݖ2 ଶ
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
ܦଵ ݎ݁ 1 ൌ ܦ ଶ ൌ ቚ^1
ݔ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺݍሻ ܿሺ ଶ^ ݕ2 െ ଶ^ ݖ ଶ^ െ 4 ݕݔെ 2 ݖݔെ 4 ݖݕ՜ ݍሺݕ ,ݔ, ݖሻ ൌ ሺݕ ,ݔ, ݖሻ ൭
·Expresión diagonal por autovalores:
อ ൌ 0 ՜ െߣଷ^ 12 ߣെ 16 ൌ 0 ՜ ݂݂݅݊݅ݑ ܴ՜ ൝
ݔ2 ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺݍ ଶ^ ݕ2 ଶ^ ݖ4 െ ଶ
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
ݔ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺݍ ଶ^
ݕ ଶ^
ݖ ଶ^ ൌ
ݔ ൌ ଶ^ ݕ6 െ ଶ^
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
Ejercicio 2.21 Clasificar sin restringir y restringida al subespacio vectorial
ܨൌ ሼሺݕ ,ݔ, ݖሻ א Թଷ^ ⁄ ݔ 2 ݕ ݖൌ 0^ ሽ^ la forma cuadrática cuya matriz asociada es: ܣൌ ൭
Solución :
Clasificación sin restringir
อ ൌ 0 ՜ ߣെଷ^ ߣ3 ଶ^ െ 4 ൌ 0 ܴ՜ ݂݂݅݊݅ݑ ՜ ൝
Clasificación restringida
Nos hace falta la expresión analítica de la forma cuadrática
ቇ ՜ ݍሺݕ ,ݔ, ݖሻ ൌ ݔ ଶ^ ݕ ଶ^ ݖ ଶ^ ݖݕ2 െ ݖݔ2 െ ݕݔ2 െ
·Buscamos las ecuaciones paramétricas de F
ݏ ݄݉݁ܿܽ՜ 0 ൌ ݖ ݕ2 ݔ ቄ
ܵߚ ൌ ݖ ൝ :݊ó݅ܿݑ݈
ݏܽܿ݅ݎݐé݉ܽݎܽ ݏ݁݊݅ܿܽݑܿܧ
· Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática:
|ݍ^ ி ሺߙ, ߚሻ ൌ ሺെ2 ߙെ ߚሻ^ ଶ^ ߙ ଶ^ ߚ ଶ^ െ 2ሺെ2 ߙെ ߚሻ ߙെ 2ሺെ2 ߙെ ߚሻ ߚെ 2 ߚߙൌ 9ߙ ଶ^ ߚ4 ଶ^ ߚߙ8
· Se clasifica la forma cuadrática restringida: |ݍ (^) ி ሺߙ, ߚሻ ൌ ሺߙ, ߚሻ ቀ^9 4 4
݃ݎ ቀ^9
ܦଵ ൌ 9 0, ܦଶ ൌ ቚ^9
ቑ ՜ ݍ|^ ݁ ி ܽݒ݅ݐ݅ݏ ݂ܽ݀݅݊݅݁݀ ݏ
