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Tema 11. Formas cuadráticas. Expresiones diagonales. Clasificación respecto a su signo.
11.1 Formas cuadráticas. Expresión matricial y analítica.
Definición ( Expresión matricial )
Una forma cuadrática es una función 𝑞: ℝ𝑛^ ⟶ ℝ que a cada vector 𝑥 = 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛^ le asocia el valor
𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑎 11 𝑥 12 + 2𝑎 12 𝑥 1 𝑥 2 + ⋯ + 2𝑎 1 𝑛 𝑥 1 𝑥𝑛 + 𝑎 22 𝑥 22 + ⋯ + 2𝑎 2 𝑛 𝑥 2 𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛^2
que recibe el nombre de expresión analítica de q.
Nota: La forma cuadrática q se puede escribir como:
= 𝑞 𝒙 = 𝒙𝑡^ 𝐴 𝒙
Con la matriz A matriz simétrica, que recibe el nombre de expresión matricial de q.
Ejemplo 1 Sea 𝑞: ℝ^3 ⟶ ℝ dada por 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 2 𝑥 12 + 3𝑥 22 + 𝑥 32 − 8 𝑥 1 𝑥 2 + 4𝑥 1 𝑥 3 − 4 𝑥 2 𝑥 3
Su expresión matricial es: 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3
Nota:
En la diagonal principal de la matriz están los coeficientes de 𝑥 12 , 𝑥 22 , 𝑥 32 (en este orden).
En el lugar ij de la matriz está la mitad del coeficiente de 𝑥𝑖 𝑥𝑗.
Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática, permite obtener
fácilmente cada una de ellas a partir de la otra.
Ejemplo 2 Sea 𝑞: ℝ^3 ⟶ ℝ dada por 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3
Su expresión analítica es 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑥 12 − 𝑥 22 + 2𝑥 32 − 7 𝑥 1 𝑥 2 + 4𝑥 2 𝑥 3
11.2 Expresiones diagonales
Definición (E xpresión diagonal ) Sea 𝑞: ℝ𝑛^ ⟶ ℝ una forma cuadrática, si existe una base respecto de la
cual la forma cuadrática q tenga una expresión matricial en la que la matriz es diagonal, diremos que q viene
expresada en forma diagonal ( expresión diagonal) o que q viene expresada como suma de cuadrados:
𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
= 𝑑 1 𝑥 12 + 𝑑 2 𝑥 22 + ⋯ + 𝑑𝑛 𝑥𝑛^2
𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖 ó𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑙 í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑠ó𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟 á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠.
Observación:
Siempre existe una base en la que una forma cuadrática tiene una expresión matricial en la que la matriz
es diagonal. Aunque no vamos a ver como se calcula la base, sí vamos a ver cuáles son las expresiones
diagonales más significativas asociadas a una forma cuadrática.
Proposición (Expresión diagonal por autovalores)
Sea 𝑞: ℝ𝑛^ ⟶ ℝ y A su matriz asociada, si 𝜆 1 , 𝜆 2 , ⋯ , 𝜆𝑛 son los autovalores de A, entonces existe una base B,
respecto de la cual q admite la expresión diagonal:
𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥𝑛 𝐵 = 𝜆 1 𝑥 12 + 𝜆 2 𝑥 22 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑥𝑛^2
Ejemplo 3 Sea la forma cuadrática 𝑞: ℝ^3 ⟶ ℝ dada por: 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 3𝑥 12 + 3𝑥 22 + 5𝑥 32 − 4 𝑥 1 𝑥 2
Su expresión matricial es 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3
Buscamos los autovalores de la matriz A:
= 0 → 5 − 𝜆 3 −^ 𝜆^ −^2
𝜆^2 − 6 𝜆+
𝜆^2 − 6 𝜆 + 5 = 0 → 𝜆^ = 1
Una expresión diagonal por autovalores es: 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 𝐵 = 5𝑥 12 + 5𝑥 22 + 𝑥 32
Proposición (Expresión diagonal de Jacobi)
Sea 𝑞: ℝ𝑛^ ⟶ ℝ una forma cuadrática y A su matriz asociada. Consideremos los menores angulares 𝐷𝑖
formados por las i primeras filas de A y las i primeras columnas de A, es decir:
𝑎 21 𝑎 22 𝐷^3 =
Supongamos que 𝑟𝑔 𝐴 = 𝑟 , y que 𝐷 1 ≠ 0, 𝐷 2 ≠ 0, 𝐷 2 ≠ 0, ⋯ , 𝐷𝑟 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 existe una base B, respecto de
la cual q admite la expresión diagonal, que llamamos expresión diagonal de Jacobi de q que viene dada por:
𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥𝑛 𝐵 = 𝐷 1 𝑥 12 +
𝑥𝑟^2
Es decir, para que q admita expresión diagonal de Jacobi, se tiene que verificar:
𝑟𝑔 𝐴 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝐷 1 ≠ 0
𝑟𝑔 𝐴 = 2 𝑐𝑜𝑛 𝐷 1 ≠ 0 𝑦 𝐷 2 ≠ 0 𝑟𝑔 𝐴 = 3 𝑐𝑜𝑛 𝐷 1 ≠ 0 , 𝐷 2 ≠ 0 𝑦 𝐷 3 ≠ 0 𝑒𝑡𝑐
Ejemplo 4 Sea la forma cuadrática 𝑞: ℝ^3 ⟶ ℝ dada por 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 3𝑥 12 + 3𝑥 22 + 5𝑥 32 − 4 𝑥 1 𝑥 2
(es la misma forma cuadrática del ejemplo 2.6)
→ 𝑟𝑔𝐴 = 3, 𝐷 1 = 3 ≠ 0 , 𝐷 2 = 3 −^2
Como 𝑟𝑔 𝐴 = 3 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐷 1 , 𝐷 2 , 𝐷 3 ≠ 0 , la forma diagonal de Jacobi es
𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 𝐵 = 3𝑥 12 +
Proposición ( Criterio de los menores angulares )
Sea 𝑞: ℝ𝑛^ ⟶ ℝ una forma cuadrática, A su matriz asociada y 𝐷 1 , 𝐷 2 , ⋯ , 𝐷𝑛 los menores angulares de A 1 𝑆𝑖 𝑟𝑔 𝐴 = 𝑛 𝑦 𝐷 1 > 0, 𝐷 2 > 0, 𝐷 3 > 0, ⋯ , 𝐷𝑛 > 0 → 𝑞 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
2 𝑆𝑖 𝑟𝑔 𝐴 = 𝑛 𝑦 𝐷 1 < 0, 𝐷 2 > 0, 𝐷 3 < 0 , ⋯ , 𝐷𝑛
< 0 𝑠𝑖 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 →^ 𝑞^ 𝑒𝑠^ 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎^ 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
< 0 𝑠𝑖 𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ,^ 𝐷𝑟^ +1^ = 0^ ,^ ⋯^ ,^ 𝐷𝑛^ = 0^ → 𝑞^ 𝑒𝑠^ 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑑𝑒𝑓.^ 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
En el resto de los casos el criterio no es válido
Ejemplo 7 Clasificar la forma cuadrática 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑥 12 + 𝑥 22 − 2 𝑥 1 𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑥 3 utilizando el criterio de los
menores angulares.
La matriz asociada es 𝐴 =
Como: 𝑟𝑔 𝐴 = 3 𝑦 𝐷 1 > 0, 𝐷 2 > 0 𝑦 𝐷 3 < 0 → 𝑞 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 (Caso 3)
Ejemplo 8 Clasificar la forma cuadrática 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑥 32 + 4𝑥 1 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑥 3 utilizando el criterio
de los menores angulares.
La matriz asociada es 𝐴 =
El criterio de los menores angulares no afirma nada en este caso.
Ejercicio 1 Sea la forma cuadrática 𝑞: ℝ^3 ⟶ ℝ dada por
𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑥 12 + 3𝑥 32 − 2 𝑥 1 𝑥 2 + 4𝑥 1 𝑥 3 − 2 𝑥 2 𝑥 3
a) Expresión matricial. b) Expresión diagonal por autovalores. c) Si es posible, expresión diagonal de Jacobi.
d) Clasificar la forma cuadrática.
Solución
= 0 ⟹ 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 ⟹ −𝜆^3 + 4𝜆^2 + 3𝜆 = 0 → 𝜆 −𝜆^2 + 4𝜆 + 3 = 0 →
Una expresión diagonal por autovalores es 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 2 + 7 ≈4,
≈−0,
Estudiamos los menores angulares: 𝐷 1 = 1 ≠ 0 𝐷 2 = 1 −^1 − 1 0
Como el rango de la matriz es 2 y los dos primeros menores angulares no son nulos, la forma diagonal de Jacobi
es: 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝐷 1 𝑥 12 +
𝐷 2 𝐷 1 𝑥^2
2 = 1𝑥 12 + −^1
1 𝑥^2
d) Vamos a clasificar la forma cuadrática:
1ª forma: Utilizando el criterio de los autovalores
2ª forma: Utilizando la expresión diagonal por autovalores 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 2 + 7 ≈4,
≈−0,
𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 → 𝑞 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
3ª forma: Utilizando la expresión diagonal de Jacobi 𝑞 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑥 12 − 𝑥 22
𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 → 𝑞 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
4ª forma: Utilizando el criterio de los menores angulares
𝑦 𝑟𝑔 𝐴 = 2 → 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑞 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 (Caso 6)
11.4 Formas cuadráticas restringidas a un subespacio. Clasificación.
Al estudiar el signo de una forma cuadrática es frecuente que estas tengan que satisfacer un conjunto de
restricciones, o lo que es lo mismo, que el vector 𝒙 pertenezca a un subespacio de ℝ𝑛^.
Definición Sean 𝑞: ℝ𝑛^ ⟶ ℝ una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de ℝ𝑛^.
q restringida a E es definida positiva si 𝑞 𝒙 > 0 ∀𝒙 ∈ 𝐸, 𝒙 ≠ 𝜽.
q restringida a E es semidefinida positiva si 𝑞 𝒙 ≥ 0 ∀𝒙 ∈ 𝐸 𝑦 𝑞 𝒖 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝒖 ≠ 𝜽 𝑑𝑒 𝐸.
q restringida a E es definida negativa si 𝑞 𝒙 < 0 ∀𝒙 ∈ 𝐸, 𝒙 ≠ 𝜽.
q restringida a E es semidefinida negativa si 𝑞 𝒙 ≤ 0 ∀𝒙 ∈ 𝐸 𝑦 𝑞 𝒖 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝒖 ≠ 𝜽 𝑑𝑒 𝐸.
q restringida a E es indefinida si existen vectores 𝒖 𝑦 𝒗 de 𝐸 no nulos tales que 𝑞 𝒖 > 0 𝑦 𝑞 𝒗 < 0.
Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio.
El camino para clasificar una forma cuadrática restringida a un subespacio vectorial es:
Se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio ( supongamos que los parámetros son 𝛼 1 , 𝛼 1 , ⋯ , 𝛼𝑘 )
Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática.
Se clasifica la forma cuadrática restringida 𝑞 (^) 𝐸 (𝛼 1 , 𝛼 1 , ⋯ , 𝛼𝑘 )
Observación:
Si q es definida, al restringirla a E seguirá siendo definida. (Positiva o negativa)
Si q es semidefinida, al restringirla a E puede ser definida o semidefinida. (Positiva o negativa)
Si q es indefinida, al restringirla a E puede ser definida positiva o negativa, semidefinida positiva o negativa
o indefinida.
Ejercicio 4 Dadas las formas cuadráticas:
𝑎 𝑞 𝑥, 𝑦 = − 2 𝑥^2 − 2 𝑥𝑦 + 5𝑦^2
𝑏 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥^2 + 𝑦^2 − 𝑧^2 + 2𝑥𝑦 𝑐 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥^2 − 2 𝑦^2 + 𝑧^2 − 4 𝑥𝑦 − 2 𝑥𝑧 − 4 𝑦𝑧
Calcular: La expresión matricial, una expresión diagonal por autovalores y, siempre que sea posible, una
expresión diagonal de Jacobi. Clasificarlas.
Solución :
𝑎 𝑞 𝑥, 𝑦 = − 2 𝑥^2 − 2 𝑥𝑦 + 5𝑦^2 → 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑞 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 −^2 −^1 − 1 5
·Expresión diagonal por autovalores:
= 0 → − 2 − 𝜆 5 − 𝜆 − 1 = 0 → 𝜆^2 − 3 𝜆 − 11 = 0 →
3+ 53 2 ≈5,14>
𝑥^2 +
3 − 53 2 ≈−2,14<
𝑦^2
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
𝑟𝑔 −^2 −^1
𝐷 1 = −2, 𝐷 2 = −^2 −^1
→ 𝑞 𝑥, 𝑦 = 2𝑥^2 +
𝑦^2 = 2𝑥^2 −
𝑦^2
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
𝑏 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥^2 + 𝑦^2 − 𝑧^2 + 2𝑥𝑦 → 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
·Expresión diagonal por autovalores:
1 − 𝜆 1 0 1 1 − 𝜆 0 0 0 − 1 − 𝜆
= 0 → − 1 − 𝜆 1 −^ 𝜆^1
𝜆^2 − 2 𝜆
𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −𝑥^2 + 2𝑧^2
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
𝑐 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥^2 − 2 𝑦^2 + 𝑧^2 − 4 𝑥𝑦 − 2 𝑥𝑧 − 4 𝑦𝑧 → 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 𝑦 𝑧
·Expresión diagonal por autovalores:
1 − 𝜆 − 2 − 1 − 2 − 2 − 𝜆 − 2 − 1 − 2 1 − 𝜆
= 0 → −𝜆^3 + 12 𝜆 − 16 = 0 → 𝑅𝑢𝑓𝑓𝑖𝑛𝑖 →
𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 𝑥^2 + 2 𝑦^2 − 4 𝑧^2
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
𝐷 1 = 1 , 𝐷 2 = 1 −^2
𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥^2 +
𝑦^2 +
𝑧^2 =
= 𝑥^2 − 6 𝑦^2 +
𝑧^2
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
Ejercicio 5 Clasificar sin restringir y restringida al subespacio vectorial 𝐹 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ^3 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 0
la forma cuadrática cuya matriz asociada es: 𝐴 =
Solución :
Clasificación sin restringir
𝐷 1 = 1 > 0 , 𝐷 2 = 1 −^1
= 0 → −𝜆^3 + 3 𝜆^2 − 4 = 0 → 𝑅𝑢𝑓𝑓𝑖𝑛𝑖 →
Clasificación restringida
Nos hace falta la expresión analítica de la forma cuadrática
→ 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 − 2 𝑥𝑦 − 2 𝑥𝑧 − 2 𝑦𝑧
·Buscamos las ecuaciones paramétricas de F
𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 0 → 𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑧 = 𝛽 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
· Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática:
𝑞 (^) 𝐹 𝛼, 𝛽 = − 2 𝛼 − 𝛽 2 + 𝛼^2 + 𝛽^2 − 2 − 2 𝛼 − 𝛽 𝛼 − 2 − 2 𝛼 − 𝛽 𝛽 − 2 𝛼𝛽 = 9 𝛼^2 + 4 𝛽^2 + 8 𝛼𝛽
· Se clasifica la forma cuadrática restringida: 𝑞 (^) 𝐹 𝛼, 𝛽 = 𝛼, 𝛽 9 4 4 4
