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Problemario de Probabilidad y EstadÌstica
December 7, 2010
Contents
1 OrganizaciÛn de datos y presentaciÛn gr·Öca. 1
2 Probabilidad y Conjuntos 5
3 Conteo, Permutaciones y Combinaciones 6
4 Probabilidad Axiom·tica, Condicional, Eventos Independientes y Teorema de Bayes 9
5 Variables Aleatorias 12
6 Esperanza y Varianza 16
7 DistribuciÛn Binomial 20
8 DistribuciÛn Normal 23
9 EstimaciÛn EstadÌstica 26
10 Pruebas de HipÛtesis 30
11 RegresiÛn Lineal y CorrelaciÛn 31
1 OrganizaciÛn de datos y presentaciÛn gr·Öca.
- Los siguientes datos son las edades de 30 estudiantes elegidos al azar de una escuela preparatoria:
a) Ordena los datos y construye una tabla de distribuciÛn de frecuencias.
b) øQuÈ porcentaje de los estudiantes tiene m·s de 17 aÒos?
R. 43.33%
c) øCu·ntos estudiantes tienen entre 15 y 18 aÒos?
R. 21 estudiantes.
d) øCu·ntos estudiantes son menores de 18 aÒos?
R. 24 estudiantes.
e) ObtÈn las medidas de tendencia central de los datos.
Media = X =
PP (^) x ifi fi =^50730 = 16:^9 Mediana = Xe = 17 Moda = Xb = 18
f ) ObtÈn las medidas de dispersiÛn de los datos.
DesviaciÛn Media = DM =
P (^) jPxi xjfi fi =^4530 :^4 = 1:^5133 Varianza = ^2 =
P(xPi x) (^2) fi fi =^9230 :^7 = 3:^09 DesviaciÛn Est·ndar = = p ^2 = 1: 7578
h) Realiza una ojiva porcentual de los datos.
Ojiva Porcentual
0
1
13 14 15 16 17 18 19 20 Edad
Frecuencias Relativa Acumulada
- Un alumno de BiotecnologÌa obtuvo las siguientes caliÖcaciones del primer semestre:
8 7 8 8 9 10 8 7 8 7 a) øCu·l es su caliÖcaciÛn promedio? R. 8 b) øCu·l es la mediana de sus caliÖcaciones? R. 8 c) øCu·l es la moda de sus caliÖcaciones? R. 8 d) øCu·l es la desviaciÛn est·ndar de sus caliÖcaciones? R. 0.
- La siguiente tabla muestra los tiempos de reacciÛn, en segundos, de dos sustancias quÌmi- cas en diferentes concentraciones: 1 : 22 1 : 03 1 : 41 1 : 00 0 : 95 1 : 72 0 : 27 1 : 25 1 : 21 0 : 90 0 : 75 0 : 56 0 : 85 0 : 74 1 : 22 1 : 27 0 : 84 0 : 29 0 : 87 1 : 13 1 : 24 1 : 58 1 : 48 1 : 24 1 : 12 1 : 64 0 : 54 0 : 67 1 : 24 1 : 52 1 : 51 1 : 35 1 : 47 1 : 08 1 : 12 0 : 54 0 : 45 1 : 32 1 : 23 0 : 84 a) Agrupa los datos en 6 intervalos y construye una tabla de distribuciÛn de frecuencias. b) Realiza un histograma y un polÌgono de frecuencias porcentual de los datos agrupados.
c) Realiza una ojiva de los datos agrupados. d) ObtÈn las medidas de tendencia central de los datos agrupados. e) ObtÈn las medidas de dispersiÛn de los datos agrupados.
2 Probabilidad y Conjuntos
- Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes y se sabe que P (A) = 0: 25 y P (B) = 0: 40 ; hallar: a) P (Ac) b) P (Bc) c) P ((A [ B)c) d) P (Ac^ \ Bc)
- Si A y B son dos eventos tales que P (A) = 0: 10 ; P (B) = 0: 5 y P (A \ B) = 0: 05 : Hallar a) P (Ac^ \ B) b) P (A [ B) c) P ((A \ B)c)
- Consideremos los eventos A; B y C tales que P (A) = 0: 3 ; P (B) = 0: 4 ; P (C) = 0: 5 ; P (A \ B) = 0 : 2 ; P (A \ C) = 0: 1 y B y C son eventos mutuamente excluyentes. Hallar a) P (A \ B \ C) b) P (Ac^ \ Bc^ \ Cc) c) P (A \ Cc) d) P ((A \ B) \ (A \ C))
- Si una familia tiene 3 hijos entre hombres y mujeres y sabemos que la probabilidad de que sea hombre es igual a la probabilidad de que sea mujer, es decir, 12 :Consideremos los siguientes eventos: A: El primer hijo es niÒo. B: El segundo hijo en niÒa. C: El primer y el segundo hijo son niÒos. Hallar P (A) ; P (B) y P (C) ; con esto hallar P (A \ B) ; P (A \ C) y P (A [ C) :
- Una nueva bolsa para dama viene en 3 colores diferentes y con 5 accesorios a elegir. Si una persona va a comprar la bolsa, øcu·les son sus posibles opciones de compra? R. 3 colores x 5 accesorios = 15 opciones de compra.
- Una persona desea viajar de la ciudad A a la ciudad B y de ahÌ a la ciudad C. De la ciudad A a la ciudad B hay 5 caminos posibles y de la ciudad B a la ciudad C sÛlo 4. øDe cu·ntas maneras posibles puede ir la persona de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B? R. 5 opciones para el primer camino x 4 opciones para el segundo = 20 maneras posibles de ir desde A hasta C pasando por B.
- Si un examen consta de 10 preguntas, cada una con 4 opciones posibles, øde cu·ntas maneras se puede responder? R. 10 preguntas x 4 opciones cada una = 40 maneras diferentes de responder el examen.
- Un niÒo quiere comprar un helado, si puede elegir entre 3 sabores y tiene 7 opciones de cubierta, øde cu·ntas maneras puede elegir su helado? R. 3 opciones para el helado x 7 opciones de cubierta = 21 maneras diferentes de elegir el helado.
- Un medicamento es producido por 7 laboratorios en 3 presentaciones. Si un paciente requiere este medicamento, øde cu·ntas formas posibles lo puede conseguir? R. 7 laboratorios x 3 presentaciones = 21 posibles maneras de conseguir el medicamento.
- Un niÒo va a recibir un regalo y debe elegir entre un videojuego o un juguete. Si decide elegir el videojuego tiene 16 opciones pero si elige el juguete tiene 24 opciones. øCu·ntas opciones tiene en total para elegir su regalo? R. 16 opciones si elige el videojuego + 24 opciones si elige el juguete = 40 regalos diferentes para elegir.
- En un restaurante en el que se sirve comida completa se tienen 3 opciones para la entrada, 5 opciones de plato fuerte, 4 opciones de postre y 2 opciones de bebida. Si una persona va a comer al restaurante, øde cu·ntas formas diferentes puede elegir su comida? R. 3 opciones de entrada x 5 opciones de plato fuerte x 4 opciones de postre x 2 opciones de bebida = 120 opciones diferentes para comer.
- Un estudiante desea ordenar su biblioteca personal. Si tiene 3 libros de FÌsica, 5 libros de Matem·ticas y 4 de QuÌmica, øde cu·ntas formas es posible que ordene sus libros?
R. En total hay 12 libros, entonces se pueden ordenar de 12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1=12!= formas diferentes.
- Si el estudiante desea que los libros del mismo tema estÈn juntos, øde cu·ntas formas puede ordenarlos? R. Los libros de FÌsica se pueden ordenar de 3x2x1=3!=6 formas distintas, los libros de Matem·ticas de 5x4x3x2x1=5!=120 formas distintas, los libros de QuÌmica de 4x3x2x1=4!=24 formas distintas y los grupos de libros de 3x2x1=3!=6 formas, luego todos los libros, por grupos, se pueden ordenar de 6x120x24x6=103680 formas distintas.
- Un grupo de 9 turistas desean entrar a cierto lugar pero deben hacerlo de uno en uno. Si 2 de ellos conocen el lugar y deben ir adelante, øde cu·ntas maneras diferentes pueden formar la Öla para entrar? R. Los dos turistas que deben ir adelante pueden ordenarse de 2!=2 formas diferentes, los otros 7 pueden ordenarse de 7!=5040 formas, por lo tanto la Öla puede formarse 2!7!=2x5040=10080 formas diferentes.
- Si en el grupo de turistas hay 3 hombre y 6 mujeres y las damas deben pasar primero, øde cu·ntas maneras distintas pueden formar la Öla? R. Las damas pueden ordenarse de 3!=6 formas diferentes, los hombres de 6!=720 formas diferentes, por lo tanto la Öla puede formarse de 3!6!=6x720=4320 formas diferentes.
- Se desea formar un comitÈ de 10 alumnos para cierto evento. En total hay 25 estudiantes que asistir·n a dicho evento, øde cu·ntas maneras posibles se puede elegir el comitÈ? R. De los 25 alumnos debemos formar grupos de 10 alumnos, se tienen entonces C 25 ; 10 = 3268760 formas de elegir el comitÈ.
- Si, de los 25 estudiantes, 15 son de Aerona˙tica y 10 de Sistemas Automotrices y en el comitÈ deben haber 5 de cada ingenierÌa, øde cu·ntas maneras posibles se puede elegir el comitÈ ahora? R. De los 15 de Aerona˙tica debemos formar grupos de 5, entonces tenemos C 15 ; 5 = 3003 opciones para ellos, de los 10 alumnos de Sistemas debemos seleccionar a 5, tenemos C 10 ; 5 = 252 opciones. Luego tenemos 3003x252=756756 formas de elegir el comitÈ.
- En un salÛn hay en total 22 alumnos y se desean formar equipos de 5 personas. øCu·n- tos equipos distintos pueden formarse si consideramos que habr· un equipo con sÛlo 2 personas?
- Ahora Pedro y Pablo lanzan 2 dados, si en ambos sale el mismo n˙mero gana Pedro, y gana Pablo si la suma de los n˙meros es mayor que 7 y no sale el mismo n˙mero. En cualquier otro caso se considera empate. a) øCu·l es la probabilidad de que gane Pedro? R. 366 = (^16) b) øCu·l es la probabilidad de que gane Pablo? R. 1236 = (^13) c) øCu·l es la probabilidad de empate? R. 1 16 13 = (^12)
- A un paciente con cierta enfermedad se le suministran 2 medicamentos que act˙an de manera independiente. El primer medicamento tiene una probabilidad del 70% de curar la enfermedad y el segundo del 80%. øCu·l es la probabilidad de que el paciente no sea curado? R. La probabilidad de que sea curado es (0:7) (0:8) = 0: 56 ; por lo tanto la probabilidad de que no se cure es 1 0 :56 = 0: 44 :
- Supongamos que 2 dados son lanzados y se observa la suma de los resultados.
a) øCu·l es la probabilidad de que la suma sea mayor que 10? R. 363 = 121 b) øCu·l es la probabilidad de que la suma sea un n˙mero primo? R. (^1536) c) øCu·l es la probabilidad de que la suma sea un n˙mero par? R. 1836 = (^12) d) øCu·l es la probabilidad de que la suma sea m˙ltiplo de 4? R. 369 = (^14)
- Supongamos que tenemos los eventos A y B tales que P (A) = 0: 4 , P (B) = 0: 2 y P (A [ B) = 0 : 5 : øSon A y B eventos independientes? R. Por una parte P (A \ B) = P (A) + P (B) P (A [ B) = 0:4 + 0: 2 0 :5 = 0: 1 : Si los eventos fueran independientes se tendrÌa que P (A \ B) = P (A) P (B) ; pero P (A) P (B) = (0:4) (0:2) = 0 : 08 6 = 0:1 = P (A \ B) :
- Un equipo de f˙tbol tiene 70% de probabilidad de ganar. Si juega 2 partidos, øcu·l es la probabilidad de que gane uno y pierda el otro? R. La probabilidad de que pierda es 1 0 :7 = 0: 3 ; si consideramos los partidos independientes, la probabilidad de que gane uno y pierda el otros es 2 (0:7) (0:3) = 0: 42 :
- En una urna hay 5 bolas rojas, 3 verdes y 4 azules. Si se toman 2 bolas al azar de la urna, a) øCu·l es la probabilidad de que ambas sean rojas? R. P (Ambas sean rojas) = (^) CC 125 ;;^22 = 1066 = 335 = 0:151 52: b) øCu·l es la probabilidad de que una sea verde y otra sea azul? R. P (Una verde y otra azul) = C^3 C;^112 C;^42 ;^1 = (3)(4) 66 = 112 = 0:181 82: c) øCu·l es la probabilidad de que ambas sean azules? R. P (Ambas sean azules) = (^) CC 124 ;;^22 = 666 = 111 = 9: 090 9 10 ^2 : d) øCu·l es la probabilidad de que ambas sean del mismo color? R. P (Ambas rojas) + P (Ambas verdes) + P (Ambas azules) = 1066 + 663 + 666 = 1966 = 0:287 88: e) øCu·l es la probabilidad de que sean de distinto color? R. 1 P (Sean del mismo color) = 1 1966 = 4766 = 0:712 12:
- La probabilidad de que un jugador de tenis gane un encuentro es 0.5 y la probabilidad de que pierda es 0.2, øcu·l es la probabilidad de que empate? R. P (Empate) = 1 P (Gane o Pierda) = 1 P (Gane) P (Pierda) + P (Gane y Pierda) = 1 0 : 5 0 :2 + 0 = 0: 3 :
- Dos parejas de novios van al cine. Si se sientan al azar, øcu·l es la probabilidad de que cada uno este junto a su pareja? R. (^) 4!^8 = 248 = 13 :
- La propabilidad de que cierto alumno de ingenierÌa termine su carrera en 4 aÒos es de 0.8 y de que su mejor amigo lo haga tambiÈn es 0.7. a) øCu·l es la probabilidad de que terminen juntos su carrera? R. Suponiendo que los eventos son independientes P (Ambos terminen) = (0:8) (0:7) = 0: 56 b) øCu·l es la probabilidad de que al menos uno termine en tiempo su carrera? R. P (Ambos terminen) = P (Termine Alumno) + P (Termine Amigo) P (Terminen Ambos) = 0:8 + 0 : 7 0 :56 = 0: 94 :
R. Obtenemos las probabilidades para el rango de valores P (X = 0) = (^) CC 1000930 ;;^55 = 0: 69516
P (X = 1) = C^930 C 1000 ;^4 C;^705 ;^1 = (30968140680) (70) 8250291250200 = 0: 26275
P (X = 2) = C^930 C 1000 ;^3 C;^705 ;^2 = (133627360) (2415) 8250291250200 = 3: 911 5 10 ^2
P (X = 3) = C^930 C 1000 ;^2 C;^705 ;^3 = (431985) (54740) 8250291250200 = 2: 866 2 10 ^3
P (X = 4) = C^930 C 1000 ;^1 C;^705 ;^4 = 8250291250200 (930) (916895)= 1: 033 6 10 ^4 P (X = 5) = (^) CC 100070 ;^5 ; 5 = 8250291250200 12103014 = 1: 467 0 10 ^6
Luego
F (x) =
x < 0 0 x < 1 1 x < 2 2 x < 3 3 x < 4 4 x < 5 x 5 c) øCu·l es la probabilidad de tener 3 o menos artÌculos defectuosos en mi muestra? R. P (X 3) = F (3) = 0: 9998912 :
- Lanzamos una moneda, tomamos X = 1 si el resultado del lanzamiento es ·guila y X = 0 si el resultado es sol. Hallar la funciÛn de distribuciÛn de X: R. P (X = 0) = 0: 5 y P (X = 1) = 0: 5 ; entonces
F (x) =
x < 0 0 x < 1 x 1
- Para una variable aleatoria discreta X tenemos que
P (X = 0) = p; P (X = 1) = 2p; P (X = 2) = 5p; P (X = 3) = p y 0 en cualquier otro caso. a) Hallar el valor de p para que la distribuciÛn de X estÈ bien deÖnida. R. Se debe tener que la suma de las probabilidades es igual a 1 ; entonces p + 2p + 5p + p = 1; de donde p = 19 :
b) Hallar la funciÛn de distribuciÛn de X: R.
F (x) =
(^19) (^39) (^89) 1
x < 0 0 x < 1 1 x < 2 2 x < 3 x 3
- Una variable aleatoria continua tiene densidad f (x) dada por
f (x) =
3 x^2 ; 0 ;
0 < x < 1 en otro caso Hallar su funciÛn de distribuciÛn. R.
F (x) =
x^3 1
x < 0 0 x < 1 x > 1
- Hallar la densidad de una variable aleatoria continua que tiene funciÛn de distrbuciÛn
F (x) =
10 x ; 1 ;
x < 0 0 x < 10 x 10 R. f (x) =
101 0
0 < x < 10 en otro caso
- Hallar el valor de k para el cual
f (x) =
kx^3 ; 0 ;
1 < x < 3 en otro caso sea la densidad de alguna variable aleatoria X: R. Se debe tener que R^13 f (x)dx = 1; es decir, 20 k = 1; de donde k = 201 :
- Hallar el valor b para el cual
f (x) =
(^1) x ; 0 ;
1 < x < b en otro caso sea la densidad de alguna variable aleatoria X: R. Se debe tener que R^1 b^1 x dx = 1; es decir, ln b ln 1 = 1; de donde b = e:
a) Si Y = 12 (5 X) ; hallar la densidad de Y: R. fY (y) =
f (x) dxdy = 2 e ^2 x^ (2) = 4e 10+4y 0
y < 5 = 2 y 5 = 2 b) Si U = Y 2 ; hallar la densidad de U: R. fU (u) =
fY (y) dydu = 2 e 10+
pu pu
y 25 = 4 y > 25 = 4
- Sean X e Y dos variables aleatorias cuyas densidades, respectivamente, est·n dadas por
f (x) =
2 e ^2 x;
x 0 x > 0
; g(y) =
3 e ^3 x;
x 0 x > 0
Si X e Y son independientes,
a) Hallar la densidad de X + Y: R. Supongamos que Z = X + Y; entonces
fZ (z) =
6 e ^2 z^ e ^3 z^ ^
x 0 x > 0 b) Hallar P (X + Y 5) : R. P (X + Y 5) = P (Z 5) =
Z 5
0 6 e ^2 z^ e ^3 z^ ^ dz = 0: 99986 :
6 Esperanza y Varianza
- Una variable aleatoria Y es tal que y 1 2 3 4 5 P (Y = y) 0 : 1 0 : 2 0 : 1 0 : 4 0 : 2 Hallar
a) E [Y ] R. E [Y ] = 1 (0:1) + 2 (0:2) + 3 (0:1) + 4 (0:4) + 5 (0:2) = 3: 4 b) E Y 2
R. E Y 2 ^ = 1 (0:1) + 4 (0:2) + 9 (0:1) + 16 (0:4) + 25 (0:2) = 13: 2
c) E [3Y 2] : R. E [3Y 2] = 3E [Y ] 2 = 3 (3:4) 2 = 8: 2
- Hallar E [X] si X es la variable aleatoria que representa el n˙mero que sale al lanzar un dado corriente. R. E [X] = 1 ^16 ^ + 2 ^16 ^ + 3 ^16 ^ + 4 ^16 ^ + 5 ^16 ^ + 6 ^16 ^ = (^72)
- Se lanzan dos dados corrientes y X es la suma de los n˙meros que aparecen. Halla E [X] :
R. E [X] = 2 ^362 +3 ^362 +4 ^363 +5 ^364 +6 ^365 +7 ^366 +8 ^365 +9 ^364 +10 ^363 +11 ^362 +12 ^361 ^ = (^12718)
- Pedro y Pablo lanzan 2 monedas, si en ambas sale ·guila, Pedro gana, en cualquier otro caso Pablo gana. øCu·nto ganar· o perder· Pedro despuÈs de mucho jugar por cada $ que apueste? R. Sea X = 1 si Pedro gana y X = 1 si Pedro pierde, P (X = 1) = 0: 25 y P (X = 1) = 0: 75 ; entonces E [X] = 1 (0:25) 1 (0:75) = 0 : 5 ; es decir, Pedro pierde 50 centavos por cada $1 que apueste.
- X e Y se encuentran distribuidas de acuerdo a la siguiente tabla:
P (X = x; Y = y) X = 0 X = 1 X = 2 Y = 0 0.1 0.1 0. Y = 1 0.1 0.2 0. Y = 2 0.1 0 0. Hallar
a) E [XY ]. R. E [XY ] = (0) (0) (0:1) + (1) (0) (0:1) + (2) (0) (0:1) + (0) (1) (0:1) + (1) (1) (0:2) + (2) (1) (0:2) + (0) (2) (0:2) + (1) (3) (0) + (2) (2) (0:1) = 1: b) E [X + Y ] R. E [X + Y ] = E [X]+E [Y ] = [0 (0:3) + 1 (0:3) + 2 (0:4)]+[0 (0:3) + 1 (0:5) + 2 (0:2)] = 1:1+0:9 = 2: c) E [3X 2 Y ] : R. E [3X 2 Y ] = 3 (1:1) 2 (0:9) = 1: 5 :
b) Hallar E X^2 R. E X^2 ^ =
Z 1
0 x^2 3 x^2 ^ dx = 0: 6 c) Hallar E 3 X X^2 R. E 3 X X^2 ^ = 3E [X] E X^2 ^ = 3 (0:75) (0:6) = 1: 65 d) Hallar V ar [X] R. V ar [X] = E X^2 ^ (E [X])^2 = 0: 6 (0:75)^2 = 0: 0375 : e) Hallar [X] : R. [X] = p V ar [X] = p 0 :0375 = 0: 19365
- Si X tiene densidad
f (x) =
e x;
x 0 x > 0 a) Hallar E [X] R. E [X] =
Z 1
0 x e x^ dx = ^1 : b) Hallar E X^2 R. E X^2 ^ =
Z 1
0 x^2 e x^ dx = (^) ^22 : c) Hallar E 3 X X^2 R. E 3 X X^2 ^ = 3E [X] E X^2 ^ = 3
^22 = ^12 (3 2) :
d) Hallar V ar [X] R. V ar [X] = E X^2 ^ (E [X])^2 = (^) ^22
= ^12 :
e) Hallar [X] :
R.
[X] =
p V ar [X] =
r (^1) ^2 =
- Sean X e Y dos variables aleatorias cuyas funciones de distribuciÛn, respectivamente, est·n dadas por
F (x) =
1 e ^2 x;
x 0 x > 0
; G(y) =
1 e ^3 x;
x 0 x > 0
Si X e Y son independientes,
a) Hallar E [XY ] R. E [XY ] = E [X] E [Y ] =^1213 =^16 : b) Hallar E X^2 + Y 2 R. E X^2 + Y 2 ^ = E X^2 ^ + E Y 2 ^ = 212 + 312 =^1336 : c) Hallar E
3 X^2 2 Y
R.
E 3 X^2 2 Y ^ = 3E X^2 ^ 2 E [Y ] = 3
d) Hallar Cov [X; Y ] : R. Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X] E [Y ] =^16 16 = 0:
7 DistribuciÛn Binomial
- Hallar la probabilidad de que al lanzar 8 veces una moneda corriente se obtengan 3 ·guilas. R. Para este problema n = 8; k = 3 y p = q = 0: 5 ; entonces
P (X = 3) = C 8 ; 3 (0:5)^3 (0:5)^5 = 56 (0:125) (0:03125) = 0: 21875
- Una m·quina produce el 15% de sus artÌculos con alg˙n defecto. Calcular la probabilidad de que en un lote de 1000 artÌculos producidos por esa m·quina no se tenga ning˙n artÌculo defectuoso.
