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Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Guía para el ETS de Cálculo Vectorial
IE ICA ISISA
Funciones Vectoriales
1. Para cada función vectorial, calcule r ' ( t )y r ' '( t )
1.1 r ( t )(sin t cos t ) i cos^2 t j sin t k (Res r ' ( t )cos 2 t i sin 2 t j cos t k ) 1.2 r ( t )(cos 2 t ) i e^3 t^ j ( 1 / t ) k (Res. r ' ( t ) 2 sin 2 t i 3 e^3 t^ j ( 1 / t^2 ) k )
2. Utilice las siguientes funciones de aceleración para determinar las funciones velocidad y posición. Después, si es el caso, calcule la posición en el valor de t dado.
2.1 a ( t ) t j t k , v ( 1 ) 5 j , r ( 1 ) 0. Calcule la posición en t 2
( Res. j (^) k
^
^ 3
1 2
1 6
1 3
14 2
9 6
r ( t )^1 t^3 t t^3 t )
2.2 a ( t ) ( 2 *sin t ) i ( 2 *cos t ) j 0 k , v ( / 4 ) i j k , i j k 4
r . Calcule
la posición en 4
t ( Res. r ( t ) 2 sin t 2 i 2 cos t 3 j t k )
2.3 a ( t ) 4 t i 6 t j k , v ( 0 ) i j k , r ( 0 ) i
( Res. i j k
^
r t ^ t^3 t t^3 t t^2 t 2
1 1 3
()^2 )
2.4 a ( t ) (sin 3 t ) i (sin 3 t ) j t k i j k 4
^2
v r ( / 2 ) 0
( Res. i j k
^
^ 6 8 12
1 9
sin( 3 ) 4 1 18 9
1 9
sin( 3 ) 2 1 9 9
r ( t )^1 t t t t t^3 ^2 t^ ^3 )
2.5 a ( t ) ( e^2 t ^2 ) i ( t^2 1 ) j k v ( 1 ) 2 i r ( 1 ) k
( Res. i j k
^ 2
3 4 2
1 3
2 4 12 2
7 2
3 4
1 () 2 2 4 2 2 t t t t t r t et t )
3. Calcule la Longitud de las curvas dadas por las siguientes funciones vectoriales en el intervalo dado:
3.1 r ( t ) t^3 i t^2 j [0, 2] (Res. 9.07)
3.2 r ( t ) 2 t i 3 t j t k [0, 2]
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3.3 r ( t )( et^ cos t ) i ( et sen t ) j 1 t 4 (Res. 2 ( e^4 e ))
3.4 r ( t )cos 3 t i sen 3 t j
t (Res. 3/4)
3.5 r ( t ) 2 cos t i 2 sin t j t^2 k [0, π/2] (Res. 4.158)
3.6 r ( t ) 2 sin t i 5 t j 2 cos t k , 10 , 10 (Res. 20 29 )
3.7^3 3
^ r t^ ^ t i^ ^ t j^ t k , 2 t 1
3.8 r ( t )( 2 t ) i (ln t ) j t^2 k 1 t 4 (Res. 15 + ln(4))
3.9 r ( t )( 2 t^2 1 ) i ( 2 t^2 1 ) j t^3 k en el intervalo [0, 2] (Res. 14.063)
4. Hallar la curvatura k de las curvas dadas por:
4.1 i j t
r t t
3 ( 1 )
2
t
k t )
4.2 r ( t ) 4 t i 3 cos t j 3 sin t k ( k = 3/25)
4.3 r ( t )( 4 cos t ) i ( t ) j ( 4 sin t ) k ( k = 4/17)
4.4 r ( t ) ( 3 s en t ) i 3 cos t j t k ( k = 3/10)
4.5 i j k 2 2
sin 2
( ) cos
t t t r t
( k = 1/2)
4.6 r ( t ) 2 cos 2 * t i 2 sin 2 * t j ( k = 1/2)
5. Calcule la curvatura en t =4 de la función r ( t ) ( 3 t ) i ( et^ ^4 ) j ( 8 t t^2 ) k.
(^3) / 2 ( 2 )
k ( 4 )^3
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8. Calcule dt
dw utilizando la regla de la cadena.
8.1 (^) w xy xz yz , (^) x t 1 , y t^2 1 , z t 8.2 w xyz , x t^2 , y 2 t , z e t 8.3 w x y^2 z^2 , x et^ cos t , y etsent , z et (Res. e (cos t sin t ) 2 e^2 (sin^2 t sin t cos t 1 ) dt
dw^ t t )
9. Calcule s
w
y t
w
utilizando la regla de la cadena.
9.1 w x^2 y^2 , x s t , y s t , s 2 , t 1 9.2 w y^3 3 x^2 y , x es , y et , s 0 , t 1
9.3 w sin( 2 x 3 y ), x s t , y s t , s 0 , t / 2 (Res. 0
t w )
9.4 w x^2 xy y^2 , x s t , y st (Res. ts s st s t t st t st s t w s
w (^) 2 2 2 2 2 2 , 2 2 (^2) 2 2 2 )
10. Utilice la regla de la cadena para hallar t
u y r
u
donde
u x^2 y^2 z^2 , x r cos t , y r sin t , z t : (Res. t t
u r r
u 2 , 2
)
11. Hallar la derivada direccional de la función en la dirección y puntos indicados.
11.1 f ( x , y ) xexy^ y , 3
, P (2, 0) (Res.
)
11.2 f ( x , y )sin( 2 x y ), 3
, P (4, 1)
12. Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado, en la dirección de v. (Res.2/3)
w y^2 xz , (1, 2, 2), v = 2 i – j + 2 k
13. Dada la función f ( x , y ) xe^2 y x cos( 3 x ) determine:
13.1 El gradiente en el punto (½, 0). (Res. , 1 ) 2
f ( 1 / 2 , 0 )( 1 ^3 ) 13.2 La razón de cambio máxima. (Res. 5.8)
13.3 La tasa de cambio en la dirección de i j 2
v. (Res. 4.1145)
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14. Suponga que en cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por:
2 2 2
x y z
V x yz
donde V está dado en Volts y x , y , z en cm.
14.1 ¿En qué dirección a partir del punto P (2, 2, -1), V crece con mayor rapidez. (Res. i j k 27
1 27
2 27
^2 )
14.2 ¿En qué dirección a partir del punto P (2, 2, -1), V decrece con mayor rapidez.
14.3 ¿Cuál es la razón de cambio máxima a partir del punto (2, 2, - 1)? (Res. 1/9 V/cm)
14.4 Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P (2, 2, -1) en la dirección del vector v =2 i – 3 j +6 k. (Res.8/189)
15. Suponga que en cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por V ( x , y ) e ^2 x cos( 2 y )
volts, donde la distancia se mide en cm.
15.1 ¿En qué dirección a partir del punto P (0, π/4), V aumenta con mayor rapidez. (Res. -2 j )
15.2 Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P (0, π/4) en la dirección del vector v 2 3 i 2 j^.^ (Res. -1 V/cm)
16. La temperatura en el punto ( x , y ) de una placa metálica es 2 2 x y
x T
. Encuentre la dirección de mayor
incremento de calor en el punto (3, 4). (Res. ) 625
24 625 7 i j )
17. La temperatura de una placa está dada por 2 2 1
x y
y T
17.1 ¿En qué dirección a partir del punto (1, 1) la temperatura crece con mayor rapidez? (Res. -½ j ) 17.2 ¿En qué dirección a partir del punto (1, 1) la temperatura decrece con mayor rapidez? (Res. ½ j ) 17.3 ¿Cuál es la tasa de crecimiento? 17.4 ¿Cuál es la razón de cambio en el punto (1, 1), en la dirección de θ = π/4?
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22.5 f ( x , y ) x^3 3 xy^2 15 x 12 y (Res. mínimo: (2,1), máximo:(-2,-1), puntos silla:(1,2), (-1,-2))
22.6 18 17 2
f ( x , y ) 3 x^3 y^2 xy (Res. punto silla:(0, 0), mínimo: (12, 72))
22.7 f ( x , y ) x^2 y^3 3 xy (Res. punto silla:(0, 0), mínimo: (9/4, 3/2))
23. Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 160 cm^3 empleando tres tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapa es de $0.18 por cm^2 , el costo del material para el frente y la parte trasera es de $0.16 por cm^2 , y el costo del material para los otros dos lados es de $0.12 por cm^2. Aplique el criterio de la segunda derivada y:
a) Determine la función de costo C( x , y ), donde x y y son la longitud y el ancho de la caja respectivamente.
b) Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea el mínimo. (Res. Largo=5.7453cm, Ancho=4.3088cm, Alto=6.4632cm)
c) Calcule el costo de la caja. (Res. $26.73)
24. Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada:
24.1 f ( x , y ) x 3 y , sujeta a x^2 y^2 1
(Resultado: Máximo: 10 10
,^3 10
(^1)
f , Mínimo: 10 10
,^3 10
(^1)
f ^ )
24.2 f^ ( x , y ) xy , sujeta a x^2 ^ y^2 ^2 (Resultado: Máximo: f 1 , 1 ^ f ^1 , 1 1 , Mínimo: f 1 , 1 ^ f ^ 1 , 1 1 )
25. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 100 y cuyo producto sea un máximo. Aplique el método de los Multiplicadores de Lagrange. 26. Se disponen de 320 metros de cerca para encerrar un campo rectangular. Calcule el largo y ancho de la cerca para que el área encerrada sea lo más grande posible. Aplique el método de los Multiplicadores de Lagrange. 27. Se han asignado $100,000 para construir una cisterna rectangular. El concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por m^2 y el material para construir la tapa cuesta $200 por m^2. Se busca obtener el máximo volumen. Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange y determine:
a) La función objetivo y la ecuación de restricción b) Las dimensiones de la cisterna para obtener el máximo volumen c) El volumen de la cisterna
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28. Se diseña una lata cilíndrica con tapa que contendrá 1 litro de líquido. Determine el radio ( r ) y la altura ( h ) de la lata de tal forma que se utilice la mínima cantidad de metal. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange. (Resultado: h 10. 8385 cm, (^) r 5. 4192 cm) 29. Se diseña una lata cilíndrica con tapa que contendrá 1 litro de líquido. La tapa y el fondo se construirán con un metal que cuesta $2.0 por cm^2. El costado se formará con un metal que cuesta $2.5 por cm^2. Se busca que el costo de fabricación sea el mínimo. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange y determine: 29.1 La función objetivo y la ecuación de restricción. 29.2 El radio ( r ) y la altura ( h ) para que el costo sea el mínimo. (Resultado: h = 9.3403 cm, r = 5.8372 cm) 29.3 El costo de la lata. (Resultado: $1284.58)
Integrales Múltiples
30. Evalúe las siguientes integrales:
30.1
3
0
2
1
( 1 8 xy ) dydx (Res. 57)
30.2
2
1
4
0
( x^2 2 y^21 ) dxdy (Res. 20/3)
30.3
0
sin
0
( 1 cos )
x x^ dydx (Res. 2)
30.4
1
0
1
2
x^2 y^2 cos( x ) sen( y ) dxdy (Res.
2 9
7 )
31. Utilice una integral doble para calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones indicadas. En casa caso haga un dibujo de la región R.
31.1 Región limitada por x = 0, y = 0, y 4 x^2 , en el primer cuadrante. (Res. 16 /3 u^2 ). 31.2 Región limitada por y = x , y = – x^2 + 2 (Res. 9/2 u^2 ) 31.3 Región limitada por y = – x , y = 2 x^2 (Res. 1/24 u^2 ) 31.4 Región limitada por y = 2 x + 1, y = 2 x^2 + 1 (Res. 1/3 u^2 ) 31.5 Región limitada por y 4 x^2 , y ^ x ^2. (Res. 9/2 u^2 )
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41. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen interior al cilindro x^2 y^2 4 , limitado superiormente por la esfera x^2 y^2 z^2 16 e inferiormente por el plano z = 0. Hacer un dibujo del sólido. (Res. 4 6.98 u^3 ) 42. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen interior al cilindro x^2 y^2 4 , limitado superiormente por el plano (^) z 10 e inferiormente por el paraboloide z 4 x^2 y^2. Hacer un dibujo del sólido. (Res. 32 u^3 ) 43. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen interior al cilindro x^2 y^2 4 , limitado superiormente por el plano z = 5 e inferiormente por el paraboloide z 1 x^2 y^2. Hacer un dibujo del sólido. (Res. 24 u^3 ) 44. En los siguientes problemas emplee una integral triple en coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido que está acotado por las gráficas de las ecuaciones que se indican. En cada caso haga un dibujo del sólido.
44.1 x^2 y^2 z^2 1 (esfera), x^2 y^2 z^2 9 (esfera) (Res. 3
104 u^3 )
44.2 z^2 x^2 y^2 (cono), x^2 y^2 z^2 9 (esfera) sobre el plano XY (Res. 18 9 2 u^3 ).
44.3 3 z^2 x^2 y^2 (cono), x^2 y^2 z^2 1 (esfera) sobre el plano XY (Res. 3 u^3 ).
44.4 z^2 3 x^2 3 y^2 (cono), z 2 (plano), sobre el plano XY (Res. 9 8 u^3 ).
44.5 3 z^2 x^2 y^2 (cono), z 2 (plano), sobre el plano XY (Res. 8 u^3 ).
Divergencia y Rotacional de un campo Vectorial
45. Calcule la divergencia y rotacional del campo vectorial: F ( x , y , z )( ex^ sin y ) i ( ex cos y ) j. (Res. rot F ( x , y , z ) 2 k , div F ( x , y , z ) ex^ sen y ex sen y ) 46. Calcule el rotacional del campo vectorial dado por F ( x , y , z )( 2 xy ) i ( x^2 z^2 ) j 2 zk. (Res. 0). 47. Calcule el rotacional del campo vectorial dado por F ( x , y , z ) ( xyz ) i yj zk y evalúe en el punto (1, 2, 1). (Res. 2 j – k ). 48. Calcule la divergencia del campo vectorial dado por F^ ( x^ , y , z )( x^2 z ) i (^2 xz ) j ( yz ) k en el punto (2, -1, 3). (Res. 11).
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Integrales de Línea y Teorema de Green.
49. Evalúe la integral de línea xyds C
3 , donde C es la curva dada por las ecuaciones paramétricas x =4sen t ,
y =4cos t , z =3 t, en el intervalo 0 ≤ t ≤ π/2. (Res. 320 ).
50. Evalúe la integral de línea y zds c
(^) sen donde C es la curva dada por las ecuaciones paramétricas x =cos t ,
y =sen t , z = t , en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π
51. Evalúe la integral de línea (^) C (6 x^2 2 y^2 ) dx 4 xydy donde C es la curva dada por r t ( ) ( t i ) ( t^3 ) j ;
0 t 1. (Res. 4)
52. Evalúe la integral de línea xydx x ydy c
(^) ( ) , donde C está formada por los segmentos de recta (0,0) a
(2,0) y de (2,0) a (3,2). (Res. 17/3)
53. Evalúe la integral de línea xe ds C
yz (^) , donde C es el segmento de recta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).
(Res. 12
14 (^ e^6 ^1 ) ).
54. Evalúe la integral de línea xy x dy C
(^) ( ln ) , donde C es el arco de la parábola y x^2 de (1, 1) a (3, 9).
(Res. 9 ln( 3 ) 5
464 ).
55. Evalúe la integral de línea c
2 xds , donde C es la parábola y x^2 de (0, 0) a (1, 1).
56. Evalúe la integral de línea por los métodos siguientes: a) Directamente b) Aplicando el Teorema de Green
27.1 xydx xdy C
(^) , donde C es el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 2). (Res. 1/2)
27.2 e^ dx xedy
y c
y (^) 2 , donde C es el cuadrado con vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
