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11. Integrales impropias
11.1. Definición de Integrales Impropias
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento de nuestro concepto de área bajo la curva.
b a f^ (^ x ) dx , es impropia si se presenta uno de los siguientes casos:
1.- a = - ∞ o b = ∞ , a = - ∞ y b = ∞
2.- f ( x ) no es acotada en alguno de los puntos de [ a , b ], dichos puntos se llaman singularidades
de f ( x ).
Existes diversos tipos de integrales impropias las cuales definiremos a continuación:
La integral converge a 2 ln 5
11.2. Integral Impropia de 1° clase
Integral impropia de 1ra clase. (divergente)
Ejemplo 2: Mirar si es convergente
luego es
convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo se puede decir que éste valor es el área bajo la curva
Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva con
Como para Area =
Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.
Se toma un valor para calcular y luego se hace tender hacia - Es decir
Ejemplo 4: La región limitada por la curva el eje , el eje rota alrededor del eje ; encontrar el volumen del sólido obtenido.
Utilizando discos
Volumen
Ejemplo 5: Determinar si es convergente o divergente
utilizando fracciones parciales
Ejemplo 7: Determinar si converge o diverge
como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si existe
por lo tanto
Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente podía haber sido
divergente y el resultado no da cero.
Si es una función contínua en un intervalo existe
Si es discontínua en se hace y si este límite existe se dirá que la integral es convergente si no que es divergente.
Si es discontínua en se hace con la misma observación anterior
Si es discontínua en algún número pero contínua en todos los demás valores
aplicándose sobre el número lo que se describió
11.3. Integral Impropia de 2° clase
Integrales impropias de primera y segunda especie. Criterios de convergencia. Convergencia absoluta y condicional. Criterios de Weierstrass, y Abel-Dirichlet.
Principales definiciones y teoremas
Definición 8 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo
. Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Análogamente se pueden definir las integrales impropias en.
Definición 9 Sea una función integrable en cualquier intervalo ,
. Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia de segunda especie en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Observación: Obviamente ambas definiciones se pueden unificar en una única
Definición 10 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo
. Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Teorema 15 Criterio de comparación para las integrales impropias. Sean y dos
funciones integrables en cualquier intervalo tales que
Entonces si la integral es convergente, la integral también lo es, y
si es divergente, entonces también será divergente. Teorema 16 Criterio de Abel-Dirichlet para las integrales impropias.
Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo y sea una
Bibliografía
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