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Exercicis de primitives i integrals
Integrals immediates i quasi immediates
1. Calcula les següents integrals immediates:
a)
( 2 x
3
− 5 x + 5 ) d x b)
x
3
x
2
x
d x
c)
( 2 e
x
x
) d x d)
( 3 sin x + 4 cos x ) d x
e)
d x
cos
2
x
f)
d x
1 + x
2
g)
d x
1 − x
2
f)
( 2 x + x
2
x
) d x
h)
x + 4
x − 5
d x i)
3
√ x
2
4
x
3
d x
2. Calcula les següents integrals quasi immediates:
a)
( 5 x
3
− 7 x
2
4
⋅( 15 x
2
− 14 x ) d x b)
3 x + 1
15 x
2
d x
c)
cot x d x d)
x
3
2 x
2
e)
e
2 x
e
2 x
d x f)
sin x ⋅cos x d x
g)
e
sin x
⋅cos x d x h)
x ⋅e
x
2
d x
i)
8 x
1 + 4 x
2
d x j)
1 + 4 x
2
d x
k)
x cos( x
2
) d x l)
3 e
2x
cos
2
(e
2x
d x
3. Calcula les següents integrals.
a)
sin x d x b)
cos x d x c)
tan x d x
d)
sin
2
x d x e)
cos
2
x d x f)
tan
2
x d x
g)
sin
3
x d x h)
cos
3
x d x i)
tan
3
x d x
Pista: Recorda les següents identitats trigonomètriques:
sin
2
x +cos
2
x = 1 tan x =
sin x
cos x
sin
2
x =
1 −cos 2 x
cos
2
x =
1 +cos 2 x
Exercicis de primitives i integrals
Integració per canvi de variable
4. Calcula les integrals següents fent el canvi de variable indicat:
a)
∫
( x
3
4
⋅ x
2
d x fent el canvi t = x
3
b)
∫
4
√
x
2
− 2 x + 2 ⋅( x − 1 ) d x fent el canvi t = x
2
− 2 x + 2
5. Calcula les integrals següents fent el canvi de variable indicat:
a)
∫
x ⋅e
x
2
d x fent el canvi t = x
2
b) ∫
d x
4 + x
2
fent el canvi
x = 2 t .
c)
∫
d x
8 + x
2
fent el canvi x = √
8 t.
d) ∫
d x
√
12 − x
2
fent el canvi x = √
12 t.
6. Calcula les integrals següents fent el canvi de variable indicat:
a)
∫ √
9 − x
2
d x fent el canvi x = 3 sin t.
b) ∫
√
x
x + 1
d x fent el canvi t = √
x.
c)
∫
x − √
x
3
√
x
d x fent el canvi x = t
6
d)
∫
x
√
1 − x
4
d x fent el canvi t = x
2
e)
∫
x
3
√
1 − x
4
d x fent el canvi t = 1 − x
4
f)
∫
ln
3
x
x
d x fent el canvi t = ln x.
Integració per parts
7. Aplica la fórmula d'integració per per parts per calcular:
a)
∫
arccos x d x b)
∫
x
2
sin x d x
c)
∫
( x
2
+ 3 x + 1 ) e
x
d x d)
∫
ln x
x
3
d x
Exercicis de primitives i integrals
16. Determina les asímptotes de la funció F ( x )= ∫
( x − 1 )
2
d x sabent que F ( 2 )= 5.
17. Troba la primitiva de la funció f ( x )=
( x − 3 )
2
la gràfica de la qual té per asímptota horitzontal la
recta
y = 5 .
Exercicis de primitives i integrals
Solucions
1. a)
x
4
5 x
x
2
x
+ 3 ln∣ x ∣+ C c) 2 e
x
x
ln 5
- C d) − 3 cos x + 4 sin x + C e) tan x + C
f) arctan x + C g) arcsin x + C f) x
2
x
3
x
ln 2
x
3
− x
2
− 24 x + C i)
12 x
3
√
x
2
4
√
x + C
2. a)
( 5 x
3
− 7 x
2
5
⋅ln ∣ 15 x
2
c) ln ∣sin x ∣+ C d)
3
√( 2 x
2
4
+ C
e)
ln∣e
2 x
− 1 ∣+ C f)
sin
2
x + C g) e
sin x
⋅e
x
2
2
∣+ C
j) 4 arctan( 2 x ) + C k) sin( x
2
) + C l)
cos
2
( e
2x
3. a)
−cos x + C b)
−sin x + C
c) −ln∣cos x ∣+ C d)
x
sin 2 x
x
sin 2 x
+ C
f) − x + tan x + C g) −cos x +
cos
3
x
sin
3
x
tan
2
x
+ln∣cos x ∣+ C
4. a)
( x
3
5
( x
2
− 2 x + 2 )
5
4
+ C
5. a)
⋅e
x
2
arctan
x
√
arctan
√
2 x
+ C
d)
arcsin
√
3 x
+ C
6. a)
arcsin
x
x − 2 arctan √
x + C c)
3 x
3
√ x
2
6 x
6
√ x
arcsin x
2
+ C
e) −
√
( 1 − x
4
3
ln
4
x
+ C
7. a) x arccos x −√ 1 − x
2
+ C
b) −( x
2
− 2 )cos x + 2 x sin x + C c) x ( x + 1 ) e
x
2 ln x + 1
4 x
2
+ C
8. a) −
x cos 2 x +
sin 2 x + C b)
( 3 sin 3 x + 4 cos 3 x )⋅e
4 x
+ C c) ( x
2
− 8 x + 8 ) e
x
9. a)
x sin x +cos x + C b)
( x
2
− 2 ) sin x + 2 x cos x + C
c)
3 ( x
2
− 2 ) cos x +( x
3
− 6 x ) sin x + C
10. a) ln∣ x − 1 ∣+ 2 ln ∣ x + 1 ∣+ C b)
x
3
x
2
− ln∣ x + 5 ∣+ C
c) 3 ln ∣ x − 3 ∣+ ln∣ x + 3 ∣− 2 ln∣ x ∣+ C
11. a) −
x − 2
+ C b) ln∣ x − 3 ∣+ ln∣ x − 1 ∣− ln∣ x ∣+ C c) 2 ln ∣ x − 3 ∣− 2 ln∣ x − 2 ∣+ C
12. a)
ln∣ x + 1 ∣−
ln∣ x − 1 ∣−
x − 1
+ C
b) ln ∣ x − 1 ∣−
2 ( x − 2 )
x
2
− 2 x + 1
+ C
13. a) x + 5 ln∣ x − 5 ∣− 5 ln ∣ x + 5 ∣+ C b) x
2
+ 2 x − 2 ln∣ x − 1 ∣+ C
14. F ( x )= x + 8 ln∣ x − 3 ∣+ 2
