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OPIA DE RIEMANN
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OPIA DE RIEMANN– p.1/17
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integrals impropies, Apuntes de Análisis Matemático
Asignatura: Anàlisi duna variable, Profesor: josep martinez, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
1 / 53
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INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN
INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.1/
Prop `osit^ El nostre propòsit és estendre la noció d’integral de Riemann a
INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.2/
Prop `osit^ El nostre propòsit és estendre la noció d’integral de Riemann a^ •^ funcions no fitades en un interval fitat^ •^ funcions que estan definides en un interval no fitat.
INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.2/
Prop `osit^ El nostre propòsit és estendre la noció d’integral de Riemann a^ •^ funcions no fitades en un interval fitat^ •^ funcions que estan definides en un interval no fitat.^ •^ funcions no fitades i que estan definides en un interval no fitat.
INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.2/
Motivaci ´o^ Suposem que^ f^ : [a, b]^ →^ R^ és una funció integrable Riemann en
[a, b]. Siga^ M >^0 tal que^ |f^ (t)| ≤^ M^ per a tot
t^ ∈^ [a, b]^ i fixem^ c^ ∈]a, b[.^ INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.3/
Motivaci ´o^ Suposem que^ f^ : [a, b]^ →^ R^ és una funció integrable Riemann en
[a, b]. Siga^ M >^0 tal que^ |f^ (t)| ≤^ M^ per a tot
t^ ∈^ [a, b]^ i fixem^ c^ ∈]a, b[. Aleshores, per^ a < u < c < v < b, la funció
f^ és integrable en^ [u, v]^ i es compleix que
INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.3/
Motivaci ´o^ Suposem que^ f^ : [a, b]^ →^ R^ és una funció integrable Riemann en
[a, b]. Siga^ M >^0 tal que^ |f^ (t)| ≤^ M^ per a tot
t^ ∈^ [a, b]^ i fixem^ c^ ∈]a, b[. Aleshores, per^ a < u < c < v < b, la funció
f^ és integrable en^ [u, v]^ i es compleix que∫^ ∫^ ∫^ ∣^ ∣^ ∣ccu∣∣∣^ f^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt=^ f∣∣^ ∣ uaa
∫^ ∣u∣ (t) dt≤^ |f^ (t)|^ dt^ ≤^ M^ (u^ −^ a)∣ a i, anàlogament,∫ ∫ ∫ ∫^ ∣vb ∣ ∣b ∣b∣∣∣∣ f (t) dt − f (t) dt= f (t) dt≤^ |f^ (t)|^ dt^ ≤^ M^ (b^ −^ v).∣∣ ∣∣ (^) ccvv^ INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.3/
Motivaci ´o^ Suposem que^ f^ : [a, b]^ →^ R^ és una funció integrable Riemann en
[a, b]. Siga^ M >^0 tal que^ |f^ (t)| ≤^ M^ per a tot
t^ ∈^ [a, b]^ i fixem^ c^ ∈]a, b[. Aleshores, per^ a < u < c < v < b, la funció
f^ és integrable en^ [u, v]^ i es compleix que∫^ ∫^ ∫^ ∣^ ∣^ ∣ccu∣∣∣^ f^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt=^ f∣∣^ ∣ uaa
∫^ ∣u∣ (t) dt≤^ |f^ (t)|^ dt^ ≤^ M^ (u^ −^ a)∣ a i, anàlogament,∫ ∫ ∫ ∫^ ∣vb ∣ ∣b ∣b∣∣∣∣ f (t) dt − f (t) dt= f (t) dt≤^ |f^ (t)|^ dt^ ≤^ M^ (b^ −^ v).∣∣ ∣∣ (^) ccvv Observeu que el raonament és independent del punt fixat
c. INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.3/
Motivaci ´o ∫^ ∫^ ∣cc∣^ Tenim^ f^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt∣ ua
∣∣≤^ M^ (u^ −^ a)^ i∣^ ∫ ∫ (^) ∣vb ∣∣∣ f (t) dt − f (t) dt≤ M (b^ −^ v), amb la qual cosa∣∣ (^) cc ∫ ∫^ ∣^ ∣vb∣∣ f (t) dt^ −^ f^ (t)^ dt=∣∣^ ua^ INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.4/
Motivaci ´o ∫^ ∫^ ∣cc∣^ Tenim^ f^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt∣ ua
∣∣≤^ M^ (u^ −^ a)^ i∣^ ∫ ∫ (^) ∣vb ∣∣∣ f (t) dt − f (t) dt≤ M (b^ −^ v), amb la qual cosa∣∣ (^) cc ∫ ∫^ ∣^ ∣vb∣∣ f (t) dt^ −^ f^ (t)^ dt=∣∣^ ua ∫ ∫ ∫^ ∫^ ∣^ ∣cvcb∣∣= f (t) dt + f (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt≤∣∣^ ucac^ INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.4/
Motivaci ´o ∫^ ∫^ ∣cc∣^ Tenim^ f^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt∣ ua
∣∣≤^ M^ (u^ −^ a)^ i∣^ ∫ ∫ (^) ∣vb ∣∣∣ f (t) dt − f (t) dt≤ M (b^ −^ v), amb la qual cosa∣∣ (^) cc ∫ ∫^ ∣^ ∣vb∣∣ f (t) dt^ −^ f^ (t)^ dt=∣∣^ ua ∫ ∫ ∫^ ∫^ ∣^ ∣cvcb∣∣= f (t) dt + f (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt≤∣∣^ ucac ∫ ∫ ∫^ ∫^ ∣^ ∣^ ∣^ ∣ccvb∣∣∣∣≤ f (t) dt − f (t) dt+^ f^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt≤∣∣^ ∣∣^ uacc ≤ M (u −^ a) +^ M^ (b^ −^ v)^.^ INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.4/
Motivaci ´o^ ∣^ ∣∫^ ∫^ ∣vb∣^ Def^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt≤^ M∣ ∣^ u^ a^
(u^ −^ a) +^ M^ (b^ −^ v),^ INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.5/
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(u^ −^ a) +^ M^ (b^ −^ v), es dedueix que∫ ∫^ ∣^ ∣vb∣∣ l´ım f (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt= 0^ .∣∣^ −ua v → b + u → a Així doncs ∫ ∫^ bv f (t) dt = l´ım^ f^ (t)^ dt .−au^ v^ →^ b +^ u^ →^ a^ INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.5/
Motivaci ´o^ ∣^ ∣∫^ ∫^ ∣vb∣^ Def^ (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt≤^ M∣ ∣^ u^ a^
(u^ −^ a) +^ M^ (b^ −^ v), es dedueix que∫ ∫^ ∣^ ∣vb∣∣ l´ım f (t)^ dt^ −^ f^ (t)^ dt= 0^ .∣∣^ −ua v → b + u → a Així doncs ∫ ∫^ bv f (t) dt = l´ım^ f^ (t)^ dt .−au^ v^ →^ b +^ u^ →^ a Aquesta propietat de continuïtat de la integral de Riemann motiva lasegüent definició:^ INTEGRAL IMPR `OPIA DE RIEMANN– p.5/