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Tema 2: Integral indefinida.
Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio devariable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.
Definición 1 Se dice que una función es una primitiva de otra función sobre un intervalo si para todo de se tiene que.
Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces, para todo de ,. Es decir dada una función sus primitivas difieren en una constante (en adelante denotaremos por a una constante cualquiera). Definición 2 El conjunto de todas las primitivas de una función definida en se denomina integral indefinida de y se denota por. De manera que, si es una primitiva de , (2)
Teorema 2 (Propiedades de la integral indefinida.)
,
Tabla de Integrales
Métodos de integración. Integración por cambio de variable. Teorema 3 Sea una función derivable en y sean el dominio y la imagen de. Supongamos que sobre el conjunto existe la primitiva de la función , o sea,
Entonces sobre todo el conjunto la función tiene una primitiva y además
b) Calcular. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla. Utilizemos la integración por partes:
La integral es de la misma forma que la original así que volveremos a aplicar integración por partes:
Juntando las dos fórmulas anteriores concluimos que
de donde, resolviendo la ecuación respecto a obtenemos:
Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integración por partes son: Las integrales donde aparezcan las funciones , , , , potencias enteras de las funciones anteriores, entre otras donde tendremos que escoger como función a alguna de las funciones anteriores (ver ejemplo a).
Las integrales , y. Donde para encontrar las primitivas hay que utilizar la fórmula de integración por partes veces tomando cada vez , , ...., respectivamente.
Las integrales de la forma , , y. Para encontrar las primitivas hay que denotar pordos veces integración por partes y resolver la ecuación resultante respecto a a cualquiera de las integrales anteriores, aplicar (ver ejemplo b).
Integración de funciones racionales.
Si entonces podemos dividir los polinomios y de tal forma que
Teorema 4 Supongamos que es una fracción simple, y que el polinomio denominador se puede factorizar de la siguiente forma (5)
donde son las raíces reales de , y los factores no tienen
raíces reales. Entonces, la fracción simple se puede descomponer en las siguientes fracciones elementales simples :
donde , , , , y son ciertas constantes reales.
Para determinar dichas constantes sumamos los términos de la derecha. Nótese que el denominadorcomún coincide con (5) y el numerador es un polinomio de grado a lo sumo. Luego comparamos el polinomio numerador que se obtiene al sumar las fracciones más simples en (6) con. Igualando los coeficientes de ambos obtendremos un sistema depara encontar los coeficientes indeterminados , ecuaciones con, , , y incógnitas que podemos resolver. No obstante es posible
encontrar el coeficiente de los sumandos correspondientes a uno de los ceros reales , o sea, el de
utilizando la propiedad que (7)
Como consecuencia de lo anterior, si tiene ceros reales y simples, o sea, si su factorización es
a) Calcular. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales:
Para encontrar los coeficientes igualamos los polinomios de los numeradores:
Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de las potenciaspor lo que igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones: , , y son iguales,
También es posible utilizar otra propiedad de los polinomios: dos polinomios de grado valores iguales en puntos dados son identicamente iguales, es decir, si que toman
para ciertos (distintos entre si), entonces para todo. En nuestro ejemplo es conveniente tomar como los los ceros de los polinomios denominadores y luego el resto de los valores tomarlos los más sencillos posibles:
que coincide con la encontrada por el método anterior. Luego,
Integrales trigonométricas. En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma las cuales se convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica ,
que es un integral de una función racional.
Ejemplo. Calcular la integral.
Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se puedenEllas son las siguientes: racionalizar con cambios más sencillos.
- , donde , cambio
- , donde , cambio
- , donde , cambio
Ejemplos.
a) Calcular la integral. Esta integral es del tipo 1. Luego,
que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustitución
b) Calcular la integral. Esta integral es del tipo 2. Luego,
c) Calcular la integral. Esta integral es del tipo 3. Luego,
pero, , por tanto
c) Calcular la integral. Esta integral es del tipo 3. Luego,
pero, , por tanto
Las integrales. Las integrales del tipo
se racionalizan mediante el cambio.
Ejemplo Calcular la integral. Esta integral se racionaliza con el cambio. Luego,
de donde, deshaciendo el cambio , obtenemos
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