Conjuntos y n´umeros 1odel Grado en Matem´aticas y del
Doble Grado en Inform´atica y Matem´aticas
Curso 2011/12 18 de enero de 2012
Examen final.
Apellidos
Nombre DNI . . . . . . . . . . . . Grupo:
Antes de entregar, elige 4 de los 5 ejercicios, los que mejor hayas sabido responder,
entrega esas respuestas en la forma m´as limpia y concisa que puedas y aseg´urate de
TACHAR EL ENUNCIADO del ejercicio restante.
1. a) Demuestra que si un entero positivo es de la forma 6n−1 entonces es divisible
por alg´un primo de la forma 6m−1.
b) Demuestra que para todo entero positivo n, el n´umero 6 n!−1 tiene un divisor
primo, mayor que n, de la forma 6m−1.
2. En el conjunto P(N)\ {∅} definimos la relaci´on:
ARBsi existe alguna biyecci´on f:A→B.
a) Demostrar que es una relaci´on de equivalencia.
b) Explicar cu´al ser´a el cardinal del conjunto cociente y por qu´e.
3. a) Demostrar que √3 es irracional.
b) Demostrar que existe un m´ultiplo de 37 cuyas ´ultimas cuatro cifras son 2012.
(No hace falta calcularlo).
4. Dados los polinomios
p(X) = X4+ 4X3+ 7X2+ 6X+ 3 , q(X) = X3+ 3X2+ 3X+ 2,
hallar:
a) el m´aximo com´un divisor de p(X) y q(X) (sugerencia: Algoritmo de Euclides);
b) la expresi´on de q(X) como producto de factores irreducibles, en R[X] y en C[X].
5. Dadas unas funciones f:X→Y,g:X→Z, se define la funci´on h:X→Y×Z
seg´un la f´ormula h(x) = f(x), g(x), x ∈X.
a) Probar que si una de las funciones f,ges inyectiva, la funci´on htambi´en lo es.
b) Dar un ejemplo de conjuntos X, Y, Z que tengan m´as de un elemento y funciones
f,gtales que la correspondiente funci´on h, definida como arriba, sea biyectiva.