¡Descarga Matemáticas 04 2016 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Temps d’examen: de les 11.00 a les 13.30 hores. Exercici 1. Cada resposta correcta val 1 punt. Cada resposta incorrecta resta 0.5 punts. La nota m´ınima de l’exercici ´es 0. Per a cada apartat exactament una resposta a), b) o c) ´es correcta. Marqueu la resposta triada amb una creu en el full de respostes.
- Els vectors (1, 2 , 3 , 0), (1, 3 , 1 , −2), (1, 1 , 5 , 2) de R^4
a) s´on linealment independents. b) generen un subespai de R^4 de dimensi´o 2. c) s´on generadors de R^4.
Fem reducci´o per Gauss:
Obtenim que els vectors (1, 2 , 3 , 0), (1, 3 , 1 , −2), (1, 1 , 5 , 2) de R^4 generen un subespai de R^4 de dimensi´o 2.
- El subespai de R^4
{ (x, y, z, t) :
2 x + y = 0 y − z + 2t = 0
a) t´e dimensi´o 2 i base ((1, − 2 , − 2 , 0), (0, 0 , 2 , 1)). b) t´e dimensi´o 2 i base ((1, − 2 , − 2 , 0), (0, 1 , 1 , 1)). c) t´e dimensi´o 4.
De la primera equaci´o obtenim x = −y/2 i de la segona z = y + 2t. Les solucions del sistema s´on doncs els vectors (−y/ 2 , y, y + 2t, t) = −y/2(1, − 2 , − 2 , 0) + t(0, 0 , 2 , 1). Ob- tenim doncs que el subespai de R^4 donat pel sistema d’equacions t´e dimensi´o 2 i base ((1, − 2 , − 2 , 0), (0, 0 , 2 , 1)). Observem que el vector (0, 1 , 1 , 1) no compleix cap de les dues equacions del sistema, per tant b) no ´es correcta.
- Considerem la matriu
A =
a) El vector (2, − 3 , 1) ´es vector propi de A amb valor propi 1. b) El vector (2, − 3 , 1) ´es vector propi de A amb valor propi 3. c) El vector (2, − 3 , 1) ´es vector propi de A amb valor propi 2.
Fem el producte de A pel vector (2, − 3 , 1):
Per tant el vector (2, − 3 , 1) ´es vector propi de A amb valor propi 3.
- Una matriu quadrada A d’ordre 3 amb coeficients reals t´e valors propis 1, 2 i 3. Aleshores
a) la matriu A diagonalitza. b) la matriu A no diagonalitza. c) falten dades per saber si la matriu A diagonalitza o no.
La matriu A t´e tres valors propis reals simples, per tant la matriu A diagonalitza.
- Una matriu quadrada A d’ordre 3 amb coeficients reals i depenent d’un par`ametre a t´e valors propis 1 , a i − 1. Aleshores
a) la matriu A diagonalitza per a tot valor de a. b) la matriu A diagonalitza nom´es si a ̸= 1, − 1. c) la matriu A diagonalitza si a ̸= 1, − 1.
Si a ̸= 1, −1, la matriu A t´e tres valors propis reals simples, per tant la matriu A diago- nalitza si a ̸= 1, − 1. En els casos a = 1 o a = −1, A t´e un valor propi doble i ens falten dades per saber si es compleix la segona condici´o del teorema de diagonalitzaci´o, per tant no podem afirmar que la matriu A diagonalitza nom´es si a ̸= 1, −1.
- Considerem la forma quadr`atica Q(x, y, z) = −x^2 − 8 y^2 − 4 z^2 + 4xy + 2xz + 2yz.
a) Q ´es definida positiva. b) Q ´es definida negativa. c) Q ´es no definida. La matriu de la forma quadr`atica Q ´es
que t´e menors principals m 1 = − 1 , m 2 = 4, m 3 = −3. Per tant, pel criteri de Sylvester, Q ´es definida negativa.
- El polinomi caracter´ıstic de la matriu associada a una forma quadr`atica Q en sis variables ´es P (X) = X^6 − 13 X^5 + 65X^4 − 155 X^3 + 174X^2 − 72 X. Aleshores Q ´es a) no degenerada. b) definida positiva. c) semidefinida positiva. El polinomi P t´e zero com a arrel simple i 5 canvis de signe en els seus coeficients. Les altres cinc arrels s´on per tant positives. Obtenim doncs que Q ´es semidefinida positiva. A m´es, com 0 ´es arrel del polinomi caracter´ıstic, Q ´es degenerada i a) no ´es correcta.
- La soluci´o general de l’equaci´o diferencial x^2 y′^ + y^2 − xy = 0 ´es
a) xex/y^ = C. b) e−x/y^ − x = C. c) xe−x/y^ = C.
Aillant y′^ a l’equaci´o, obtenim y′^ =
xy − y^2 x^2
, per tant l’equaci´o ´es homog`enia. Fem el canvi y = vx i obtenim v′x + v = v − v^2 que d´ona
v′ v^2
x Integrant a les dues bandes, obtenim − 1 /v = −lnx+C = ln(1/x)+C i, prenent exponencials e−^1 /v^ = C/x o, equivalentment xe−^1 /v^ = C. Desfent el canvi, xe−x/y^ = C. Per tant la resposta correcta ´es c).
b) La matriu A t´e tres valors propis reals comptats amb multiplicitat, per tant compleix la primera condici´o del teorema de diagonalitzaci´o. Sabem que la segona es compleix sempre pels valors propis simples. Tenim doncs A diagonalitza ⇔ l’espai E 1 de vectors propis de valor propi 1 t´e dimensi´o 2 ⇔ la matriu A − Id t´e rang 1.
A − Id =
0 − 1 −2 + a 0 2 4 0 − 2 − 4
t´e rang 1 ⇔ a = 0. Per tant A diagonalitza si i nom´es si a = 0.
c) Si a = 0, A diagonalitza. Com els valor propis s´on 1 doble i -1 simple, una matriu diagonal equivalent a A ´es D =
0 1 0 0 0 − 1
. Els vectors propis de valor propi 1 s´on les solucions de l’equaci´o −y − 2 z = 0, per tant els de la forma (x, − 2 z, z) = x(1, 0 , 0) + z(0, − 2 , 1). Una base de E 1 ´es doncs ((1, 0 , 0), (0, − 2 , 1)). Calculem ara els vectors propis de valor propi -1.
A + Id =
Els vectors propis de valor propi -1 s´on les solucions del sistema { 2 x − y − 2 z = 0 y + z = 0
S´on doncs els vectors de la forma (z/ 2 , −z, z) = z(1/ 2 , − 1 , 1). Tenim doncs
C =
d) La matriu del sistema ´es la matriu A amb a = 0, per tant la soluci´o general ´es
x y z
= C
C 1 et C 2 et C 3 e−t
C 1 et^ +
C 3 e−t − 2 C 2 et^ − C 3 e−t C 2 et^ + C 3 e−t
Exercici 3. a) (2 punts) Doneu la soluci´o general de l’equaci´o diferencial y′^ − xy = x^3.
b) (3 punts) Doneu la soluci´o general de l’equaci´o diferencial y′′′^ − 2 y′′^ − y′^ + 2y = sin x.
a) L’equaci´o diferencial y′^ − xy = x^3 ´es lineal de primer ordre. Busquem primer la soluci´o general de l’equaci´o homogenia associada y′^ − xy = 0. Separant variables y′/y = x i, integrant a les dues bandes lny = x^2 /2 + C. Prenent exponencials, obtenim y = Cex (^2) / 2 . Busquem ara una soluci´o particular pel metode de variaci´o de constants. Derivant y = Cex (^2) / 2 , obtenim y′^ = C′ex (^2) / 2
- Cex (^2) / 2 x i, substituint a l’equaci´o C′ex (^2) / 2 = x^3 ⇒ C′^ = x^3 e−x (^2) / 2
. Calculem per parts l’integral
x^3 e−x (^2) / 2 dx.
∫ x^3 e−x (^2) / 2 dx =
[
u = x^2 u′^ = 2x v′^ = xe−x
(^2) / 2 v = −e−x
(^2) / 2
]
= −x^2 e−x (^2) / 2
xe−x (^2) / 2 dx
= −x^2 e−x (^2) / 2 − 2 e−x (^2) / 2 = (−x^2 − 2)e−x (^2) / 2 .
Obtenim C = (−x^2 − 2)e−x (^2) / 2 i la soluci´o particular y = ((−x^2 − 2)e−x (^2) / 2 )ex (^2) / 2 = −x^2 − 2. La soluci´o general de l’equaci´o completa ´es doncs
y = Cex
(^2) / 2 − x^2 − 2.
b) L’equaci´o diferencial y′′′^ − 2 y′′^ − y′^ + 2y = sin x ´es lineal d’ordre 3 amb coeficients constants. Busquem primer la soluci´o general de l’equaci´o homogenia associada y′′′^ − 2 y′′^ − y′^ + 2y = 0. El polinomi caracter´ıstic ´es X^3 − 2 X^2 − X + 2 que t´e arrels 1, − 1 , 2. La soluci´o general de l’equaci´o homogenia associada ´es doncs y = C 1 ex^ +C 2 e−x^ +C 3 e^2 x. Com el terme independent ´es sin x i i no ´es arrel del polinomi caracter´ıstic, sabem que existeix una soluci´o particular de la forma y = A sin x + B cos x. Calculem les derivades y′^ = A cos x − B sin x, y′′^ = −A sin x − B cos x, y′′′^ = −A cos x + B sin x i substituim a l’equaci´o
sin x = −A cos x + B sin x − 2(−A sin x − B cos x) − (A cos x − B sin x) + 2(A sin x + B cos x) = (− 2 A + 4B) cos x + (4A + 2B) sin x.
Obtenim doncs el sistema { − 2 A + 4B = 0 4 A + 2B = 1
amb soluci´o A = 1/ 5 , B = 1/10. La soluci´o general de l’equaci´o completa ´es doncs
y = C 1 ex^ + C 2 e−x^ + C 3 e^2 x^ +
sin x +
cos x.
