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Asignatura: Economía Monetaria, Profesor: , Carrera: Economía + Periodismo, Universidad: URJC
Tipo: Apuntes
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Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió en
Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió en
resolver sistemas de
resolver sistemas de m
m ecuaciones lineales con
ecuaciones lineales con n
n incógnitas,
incógnitas,
comenzaremos este curso estudiando la estructura de
comenzaremos este curso estudiando la estructura de espacio vectorial
espacio vectorial .
Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros
Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros
(por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un número real:
(por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un número real:
Pero,
Pero, ¿qué es un vector libre del plano?
¿qué es un vector libre del plano?
Definimos como el conjunto de vectores con.
Definimos como el conjunto de vectores con.
Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un
Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un
vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo,
vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo,
para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza,
para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza,
velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector
no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y
“dirección”.
“dirección”.
Algunos ejemplos que podemos mencionar son:
Algunos ejemplos que podemos mencionar son:
los propios números reales,
los propios números reales,
los números complejos,
los números complejos,
los vectores en el plano,
los vectores en el plano,
los vectores en el espacio,
los vectores en el espacio,
los polinomios de grado menor o igual que
los polinomios de grado menor o igual que n
n ,
las funciones reales de variable real con dominiolas funciones reales de variable real con dominio DD ,,
las funciones continuas en un intervalo,
las funciones continuas en un intervalo,
las funciones derivables en un punto,
las funciones derivables en un punto,
las funciones integrables en un intervalo,
las funciones integrables en un intervalo,
Un vector puede ser un número, una
Un vector puede ser un número, una n
n -tupla, un polinomio, una función
-tupla, un polinomio, una función
continua, etc.
continua, etc.
También hay magnitudes físicas de tipo vectorial con las mismas
También hay magnitudes físicas de tipo vectorial con las mismas
propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....
propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....
Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares, es
Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares, es
conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al ente resultante. Aunque
conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al ente resultante. Aunque
este primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstracto
este primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstracto
de los espacios vectoriales arbitrarios, también presenta una gran ventaja.
de los espacios vectoriales arbitrarios, también presenta una gran ventaja.
La abstracción resulta ser matemáticamente eficiente en el sentido de que
La abstracción resulta ser matemáticamente eficiente en el sentido de que
ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez afecta a
ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez afecta a
todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los
todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los
hechos sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar estos
hechos sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar estos
hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habría que probar
hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habría que probar
cada hecho una y otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que nos
cada hecho una y otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que nos
encontráramos (y existen un sin fin de ellos).
encontráramos (y existen un sin fin de ellos).
El matemático alemán Grassmann es reconocido como el primero que
introdujo la idea de un espacio vectorial (aunque no lo llamó de esta manera,
sino sistema de números hipercomplejos ) y de independencia lineal en 1844.
Desafortunadamente su trabajo era muy difícil de leer y no recibió la atención
que merecía.
Peano en su libro Calcolo geometrico (1898) acalaró el trabajo de Grassmann y
estableció los axiomas de espacio vectorial como los conocemos en la
actualidad. En este mismo libro introdujo las operaciones de conjuntos. Sus
notaciones , y son las que todavía utilizamos, aunque no fueron
aceptadas de inmediato. La definición axiomática de Peano de un espacio
vectorial también tuvo muy poca influencia durante muchos años. Su
aceptación se produjo en 1918, después de que Hermann Weyl la repitiera en
su libro Space, time, matter , una introducción a la teoría de la relatividad
general de Einstein.
También podemos mencionar a William R. Hamilton , que durante los veinte
últimos años de su vida, dedicó la mayor parte de su creación matemática a
desarrollar la tería de un tipo especial de números, los cuaterniones. Con estos
trabajos cimentó la moderna noción de vector. Todavía hoy se utiliza la notación
i , j , k de Hamilton para los vectores de la base canónica en el espacio
tridimensional.
ESTRUCTURA DE ESPACIO
ESTRUCTURA DE ESPACIO
VECTORIAL REAL
VECTORIAL REAL
Definiremos cuando
Definiremos cuando V es un espacio vectorial real
es un espacio vectorial real
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
Para ( + ) (operación interna) se cumple:
Para ( + ) (operación interna) se cumple:
Para (
Para (
-
) (op. externa con dominio ) se cumple:
) (op. externa con dominio ) se cumple:
Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre genérico de
vectores y en general se utiliza la notación vectorial ( ,...) para
denotarlos. Esto no es obstáculo para que en algunos casos particulares
(polinomios, matrices, funciones,...) se utilice la notación propia en cada
caso.
Los axiomas 1.- de la definición de espacio vectorial real se refieren a la
suma de vectores, los axiomas 2.- c.- y 2.- d.- se refieren exclusivamente a
la multiplicación por escalares (números reales) y las propiedades 2.- a.- y
2.- b.- son las propiedades distributivas de una operación con respecto a
otra.
A continuación presentamos varios ejemplos de espacios vectoriales. Para
comprobar que tienen estructura de espacio vectorial deberíamos ver que
se satisfacen los 8 axiomas de la definición con las operaciones suma y
producto por un escalar definidas. Este trabajo es muy sencillo y se basa
exclusivamente en propiedades de los números reales (no olvidar que
estamos trabajando, en principio, con espacios vectoriales reales). Dado
que también es una labor muy tediosa omitiremos las comprobaciones,
pero hay que insistir en que es absolutamente necesario comprobar los 8
axiomas.
(coeficiente a coeficiente)
(coeficiente a coeficiente)
(se multiplica cada coeficiente por el número real)
(se multiplica cada coeficiente por el número real)
suma: suma:
producto por un escalar: producto por un escalar:
vector nulo: vector nulo: vectorvector
opuesto: opuesto:
suma: suma:
producto por un escalar: producto por un escalar:
vector nulo: vector nulo:
vector vector
opuesto:
opuesto:
suma:suma:
suma: suma:
producto por un escalar: producto por un escalar:
producto por un escalar: producto por un escalar:
vector nulo: vector nulo:
vector nulo: vector nulo: vectorvector
opuesto:opuesto:
vector vector
opuesto:
opuesto:
COMBINACIONES LINEALES
COMBINACIONES LINEALES
Dados los vectores y los escalares
11
22
nn
(números
(números reales), el vector definido por:
reales), el vector definido por:
se llama
se llama combinación
combinación lineal
lineal de los vectores :
de los vectores :
Algunas combinaciones lineales de los vectores son, por ejemplo:
Algunas combinaciones lineales de los vectores son, por ejemplo:
El vector
El vector (2,1,1)
de no es combinación lineal de los vectores
de no es combinación lineal de los vectores (1,0,0)
y
y
de.
de.
El polinomio
El polinomio x
x
22
de no es combinación lineal de los polinomios
de no es combinación lineal de los polinomios x
x
33
+x
+x
-
x+
x+ y
y 1
de.
de.
