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Los números complejos y su composición.
Tipo: Apuntes
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ABEL MANUEL RODRIGUEZ DUVERGE
FACILITADORES:
SANTO DOMINGO 15 de Enero del 202 3
ABEL MANUEL RODRIGUEZ DUVERGE
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación C, siendo R el conjunto de los números reales se cumple que R ∈ C ( R está estrictamente contenido en C ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la telecomunicaciones, por su utilidad para representar las electrónica y las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un número negativo la encontramos en la obra Stereometría de Herón de Alejandría (Grecia aprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I, antes de C. Es en este trabajo donde comparece la operación √81 − 144 aunque es tomada como √144 − 81, no sabiéndose si este error es debido al propio Herón o al personal encargado de transcribirlo. La siguiente referencia sobre esta cuestión se data en el año 275 en la obra de Diophantus (aprox. 200-284) Arithmetica. En su intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 12 y área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336x2+24 = 172x, ecuación de raíces complejas como puede ser comprobado fácilmente. Son los matemáticos hindúes los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor del año 850, comenta en su tratado de los números negativos que “como en la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raíz cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma: “ El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número negativo ya que un número negativo no es un cuadrado .”
ABEL MANUEL RODRIGUEZ DUVERGE Pero los matemáticos Niccolo Fontana (alias Tartaglia) y Gerolamo Cardano se dieron cuenta de que si permitían la existencia de raíces cuadradas negativas, podían resolver ecuaciones verdaderas - o con "números reales", como se conoce a los números que poseen una expresión decimal-. Fue así como crearon una unidad nueva, imaginando la raíz cuadrada de - 1 (o √-1 en términos matemáticos). En 1573 otro matemático renacentista, Rafael Bombelli, explicó cómo funcionaba la aritmética con este nuevo concepto, en una obra llamada "Álgebra". Allí señaló que la unidad nueva no era positiva ni negativa y, por lo tanto, no obedecía las reglas habituales de la aritmética. Por cerca de un siglo muchos pensadores rechazaron esta nueva idea , llamando a esta unidad inventada "ficticia, imposible o sin sentido". Uno de los detractores fue el filósofo francés René Descartes, quien en su obra "La Géométrie" (1637) bautizaría a la invención con el término despectivo de "números imaginarios (i)". Pasarían muchas décadas más para que los matemáticos empezaran a aceptar a estos números imaginarios, que desafiaban la lógica, como algo válido y genuino. En 1707, otro francés, Abraham de Moivre, relacionó los números imaginarios con la geometría, logrando así usar esta disciplina para resolver complejos problemas algebraicos. Setenta años más tarde, los números imaginarios tendrían finalmente su propio símbolo: i (gracias al matemático suizo Leonhard Euler). Y su uso permitiría extender el sistema de números reales (R) al sistema de números complejos (C), donde se combinan números reales con números imaginarios. Quizás todo esto suena como algo completamente abstracto y sin utilidad real , que solo podría interesarle a intelectuales que viven en el mundo de las ideas, pero esa está lejos de la realidad. En el siglo XX, los números imaginarios empezaron a tener muchos usos prácticos , permitiendo a ingenieros y físicos, entre otros, resolver problemas que de otra forma no hubieran tenido solución.
Hoy estos números imaginarios y complejos están detrás de algunas de las tecnologías más esenciales que usamos. Resultaron especialmente valiosos cuando se inventó la electricidad , ya que son muy útiles para analizar cualquier cosa que se expresa en ondas (como las ondas eléctricas).
ABEL MANUEL RODRIGUEZ DUVERGE La ingeniería eléctrica utiliza números complejos, en los que " i " es usado para indicar la amplitud y la fase de una oscilación eléctrica. La "unidad imaginaria" o "i" es la raíz cuadrada de - 1, un número que fue inventado en el siglo XVI en Italia. Sin estos números, no se hubiera podido desarrollar las telecomunicaciones. No existiría la radio, la televisión e internet y hoy no estarías leyendo esta nota en tu computadora, tablet o celular. Los números imaginarios también permitieron todo tipo de desarrollos tecnológicos y científicos, desde el radar y el GPS hasta la resonancia magnética y las neurociencias. La física cuántica reduce todas las partículas a formas de onda , lo que significa que los números complejos son fundamentales para comprender ese extraño mundo.
Cuando una operación es imposible en un campo numérico, es imperativo ampliarlo. En la medida en que se amplía el ejercicio del campo númerico se amplifican las posibilidades de ser calculado y resolutado. Los números imaginarios son aquellos que se definen como las soluciones a las ecuaciones cuyos resultados no estan dentro de los números reales. Los números imaginarios son aquellos que proceden de una raíz cuadrada de un número negativo. A raíz de que no existe un número real elevado al cuadrado del que se obtena el resultado negativo.
