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Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor
©Mª Teresa González Manteiga
Exceptuando las funciones polinómicas y los cocientes de funciones
polinómicas, que son las funciones denominadas racionales, las
funciones que normalmente aparecen en el Cálculo Infinitesimal, son
difíciles de evaluar (a veces imposible) por medio de operaciones
elementales. Una de las funciones más frecuentes en problemas de la
Ciencia, y en concreto en la Biología, es la función
x y e.
El matemático británico Brook Taylor (1685-1731) se planteó la
necesidad de aproximar en el entorno de un punto las funciones no
polinómicas por funciones sencillas que se aproximen a ella lo más
posible. Una función "sencilla" es un polinomio, por lo cual buscó un
polinomio que se aproximase lo más posible a la función y cuyo
estudio reflejase las propiedades de la función de partida.
Definición
Sea y f ( ) x una función real definida en un intervalo I y sea a I.
Si esta función admite derivadas sucesivas hasta la de orden n 1 en el
punto de abscisa x a , se denomina Polinomio de Taylor de grado n
de y f ( ) x en el punto de la función de abscisa a , es decir A a f a ( , ( ))
al polinomio:
^ ^ ^
2 ; ... 1! 2!!
n n n
f a f a f a P f x a f a x a x a x a n
El polinomio de Taylor
^ ^ ^
2 ; ... 1! 2!!
n n n
f a f a f a P f x a f a x a x a x a n
es el ÚNICO polinomio de grado menor o igual que n que satisface las
relaciones:
n n Pn x a f a Pn ^ x a f a Pn x a f a
Esto significa que el polinomio de Taylor pasa por el punto
A a f , a , esto es, que pasa por el mismo punto de la función , y
también tiene la misma pendiente y la misma concavidad en ese punto.
Como además coinciden las n primeras derivadas del polinomio en el
punto A a f , a con las derivadas del mismo orden de la función
y f ( ) x este polinomio se aproxima cada vez más, al aumentar el
valor de n , en los puntos próximos al punto de abscisa x a.
Ejemplo:
^ ^ ^
0 0 2 0 ; 0 0 0 0 ... 0 1! 2!!
n x n n
f f f P f x e a f x x x n
Es decir:
2 ;0 1 ... 1! 2!!
n x n
x x x P e n
Funciones analíticas. Desarrollo en serie de Taylor
©Mª Teresa González Manteiga
Una función se dice que es analítica en el entorno del punto A a f , a
si es continua y tiene derivadas de cualquier orden continuas en un
entorno del punto de abscisa a.
Las funciones analíticas también se denominan de C
(clase infinito).
Toda función analítica en el entorno de un punto admite un desarrollo
en serie de Taylor en un entorno de dicho punto. Es decir, se puede
escribir:
2 ... ... 1! 2!!
n f a f a f a n f x f a x a x a x a n
Si la función representa la evolución de una población en Biología, la
variable independiente es el tiempo:
2 ... ... 1! 2!!
n f a f a f a n f t f a t a t a t a n
Si el desarrollo se hace en un entorno del origen, se denomina
desarrollo de Mac-Laurin:
n f f f n f t f t t t n
Funciones analíticas de utilidad en Biología son:
, , cos , , , cos .
t t
e sen t t e sen t t
Desarrollo en serie de Mac-Laurin de y f t ( ) analítica
©Mª Teresa González Manteiga
t
f t e
2 2
t
t
t
n (^) n t n n
f t e f
f t e f
f t e f
f t e f
n f f f n f t f t t t n
2 2 1 ... ... 1! 2!!
n t n e t t t n
^ ^
2 2 1 ... ... 1! 2!!
n t n e t t t n
^ ^
2
1 ... ... 1! 2!!
n t t t^ t e n
^
Caso particular:
2
0
n n t
n
t t t t e n n
2 3
2 3
2 3 4 5 6 7
n it
n n it
i t
it^ it^ it^ it e n
it t it i t e n
t t^ t^ t^ t^ t^ t e i i i i
^ ^ ^ ^ ^ ^
Por tanto:
cos
i t
e t i sen t
Fórmula de Euler
Casos particulares;
cos
it
e t i sen t
Esta fórmula, debida a Leonard Euler, en 1740, se dice que es la
ecuación más bella del mundo. En ella aparecen las constantes 0 y 1,
la unidad imaginaria i y el número irracional , las operaciones
adición y multiplicación y la función exponencial de base e.
cos 1 .0 1
i
i i
e i sen i
e e
