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ESTADISTICA EMPRESARIAL I
Tema. 5. Teoría de la probabilidad.
Aspectos generales
ESTADISTICA EMPRESARIAL I
Aspectos generales
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD. ASPECTOS
GENERALES
Sonia de Paz Cobo
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Tema 1: Análisis estadístico unidimensional Tema 2: Análisis estadístico bidimensional Tema 3: Números índices Tema 4: Introducción a las series temporales
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Tema 5: Teoría de la probabilidad. Aspectos generales Tema 6: Variables aleatorias unidimensionales Tema 7: Variables aleatorias bidimensionales Tema 8: Características de las distribuciones de probabilidad
Sonia de Paz Cobo
Tema 9: Función característica Tema 10: Distribuciones de probabilidad discretas y continuas Tema 11: Convergencia
Principales conceptos del tema
- ProbabilidadProbabilidad desdedesde diversosdiversos concepcionesconcepciones.
- Suceso.
- Axiomas.
- Probabilidad simple.
- Probabilidad condicional.
- Independencia.
Sonia de Paz Cobo
Estructura del tema
1- Sucesos y operaciones con sucesos.
2- Concepto de probabilidad
- Enfoque clásico
- Enfoque subjetivista
- Enfoque frecuentista
- Enfoque axiomático
3- Probabilidad condicional
4- Independencia de sucesos
Sonia de Paz Cobo
Sucesos particulares:
•IMPOSIBLE
El suceso que no ocurre nunca
El suceso que no ocurre nunca
•SEGURO
El espacio muestral (E)
•SUCESOS INCOMPATIBLES
Los que no ocurren simultáneamente
Prof. Sonia de Paz Cobo
OPERACIONES CON SUCESOS
1. UNION (^) S 1 (^) S 2 2. INTERSECCIÓN
3 CONTRARIO
1 2
S 1 S 2
S S S
3. CONTRARIO
Prof. Sonia de Paz Cobo
S S S
Estructura aleatoria
familia de subconjuntos de tal que :
- si S
- si , ,...., (^) i ,..... i
S
S S S S
1 2 ^ ^ 1
, , , (^) i , i i
,^ se llama "Estructura aleatoria"
Prof. Sonia de Paz Cobo
Definición de probabilidad: Axiomática de
Kolmogorov
Una probabilidad es una funcion :
que verifica los siguientes axiomas:
P P n (^) º reales
- 0
- 1
3.Si , ,...., (^) i ,..... es una familia de sucesos de
P S S
P
S S S
1
disjuntos dos a dos, (^) i i i i
P S P S
1
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L a te rn a (^) , , (^) s e lla m a
"E s p a c io p ro b a b ilis tic o "
P
Concepciones de la probabilidad
1. Concepción de LAPLACE :
Si el espacio muestral es finito y los sucesos
elementales equiprobables :
nº de casos favorables a la realizacion de S
P S
nº de casos posibles
nº de sucesos elementales favorables a S
nº total de sucesos elementales
P S
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Concepciones de la probabilidad
2. Concepción FRECUENCIAL U OBJETIVISTA:
LL a probabilidad de un suceso es el númerob bilid d d l ú
fijo al que tiende a aproximarse la frecuencia
relativa de ese suceso a medida que se
aumenta el número de pruebas o experiencias
del fenómeno aleatorio.
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N
n P S Lim N
( )
Ejemplo: Moneda 2 veces:(c,c) Moneda 100 veces: 49 c y 51 x P(c)=1/2 y P(+)=1/
3. Concepción SUBJETIVA O PERSONALISTA:
Concepciones de la
probabilidad
La probabilidad subjetiva o grado de creencia de un suceso S es el cociente entre lo que cada decisor está dispuesto a apostar por la ocurrencia del suceso S y el premio o consecuencia que obtiene en caso de que S ocurra
Y P S (^)
: apuesta
: premio si ocurre
X Y
X S
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- PROBABILIDAD CONDICIONADA
Permite calcular probabilidades incorporando
información adicional
Definicion
Sea un suceso con 0.
Para cualquier suceso :
A P A
S
/
P S A P S A P A
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Probabilidad de la interseccion
/ /
P A B P A B P A B P A B P B P B
P A B P B A P A B P B A P A P A
REGLA DEL PRODUCTO
REGLA DEL PRODUCTO
P A B P A / B P B P B / A P A
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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL:
SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS
S^ 1 S^ 2 S tales que:
, ,...., tales que:
n
n
i
i
i j
S S S
S
S S i j i j
S (^) i S (^) j i , j i j
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S 1 S 2
S 3
S 4
S 5
S 6
S 7
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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD
TOTAL
1 2
1
Sea , ,...., un sistema completo de sucesos
suceso:
/
n
n
i i i
S S S
A
P A P A S P S
(^)
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Posibles composiciones de la urna
4b 1n4b. 1n. 3b 2n3b. 2n.
S 1 (^) S 2
2b. 3n.
S 3
1b. 4n.
S 4
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/ (^) i i
i
P B P B S P S
(^)
P B / S 1 (^) P S 1 (^) ...... P B / S 4 (^) P S 4
4 1 3 1 2 1 1 1
5 4 5 4 5 4 5 4
Prof. Sonia de Paz Cobo
Ejemplo: Urna con 5 bolas blancas y 2 negras. 2 extracciones sin devolución. P(2ª negra):
2 1 1 2 1 1
2
Pn b Pb Pn n P n
Pn
bb
bb
5/75/
4/64/
2/62/
nn
nn
bb
5/75/7 nn
2/72/
2/62/
5/65/
1/61/
TEOREMA DE BAYES
Sea S 1 , S 2 ,...., Sn un sistema completo de sucesos
^
^
1 ,^2 ,^ ,^ p
suceso con 0:
/ / /
/
n
j J j J j (^) n
i i
A P A
P A S P S P A S P S P S A P A P A S P S
^ ^ ^ 1
i i i
Prof. Sonia de Paz Cobo
En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, fuman el 20%. El porcentaje de fumadores es el 13%
Ejemplo 3:
Escogido un alumno al azar, resulta ser fumador; ¿cuál es
la probabilidad de que sea hombre?
Se nos pide P(H/F) = P(H∩F) / P(F) P(F) = 0,13 =13% P(H∩F) = P(H) P(F/H) = 0 3 * 0 2 = 0 06
Estudiante
Mujer No fuma
Fuma
0,
0,
0 2
0,
P(H∩F) P(H) P(F/H) 0.3 0.2 0.
P(H/F) = 6/13 = 0.
Hombre
No fuma
Fuma 0,3 0,
0,
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- INDEPENDENCIA DE SUCESOS
A y B son independientes si
P (^) A B (^) P (^) A P B
y son independientes si
A B
P A B P A
Prof. Sonia de Paz Cobo
ConCon reemplazamientoreemplazamiento:: SinSin reemplazamientoreemplazamiento::
bb
bb 7/7/ 99
bb
bb
El suceso “2ªb” es independienteindependiente del color de la primera
El suceso “2ªb” es dependientedependiente del color
Ejemplo: Realizamos dos extracciones de una Urna (8b y 2n)
nn
bb
nn
bb
nn
bb
nn
de la primera (^) de la primera
nn
nn
P ( 2 ª b / colordela 1 ª)? P ( 2 ª b / colordela 1 ª)?
P ( 2 ª b / 1 ª b ) yP b n
P ( 2 ª b / 1 ª b ) yP b n
P ( A B ) P ( A ) P ( B )
En el caso de tres sucesos, son mutuamente independientesmutuamente independientes si:
P ( A C ) P ( A ) P ( C )
Independientes dos a dos
P ( B C ) P ( B ) P ( C )
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C )
Se deduce que si A y B son independientes, entoncesq y p ,
A y B* son independientes,
A* y B* son independientes
A* y B son independientes
