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C´alculo de Probabilidades 1
Septiembre 2013
Ejercicio 1. De una urna que contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 5 rojas, dos jugadores A y B hacen alternativamente extracciones con remplazamiento. La primera extracci´on la realiza A y gana si consigue obtener bola blanca antes que B obtenga bola negra; en caso contrario gana B.
(a) Calcular la probabilidad de que gane cada uno de los jugadores. (b) Determinar el n´umero medio de extracciones que se realizan hasta que gana alguno de los jugadores. (c) Si cada jugador debe poner un euro cuando no consigue ganar y el ganador se lo lleva todo, obtener el beneficio esperado de cada jugador.
Ejercicio 2. Se eligen 4 cartas de una baraja de 40 cartas en la que hay 12 figuras. La experiencia se repite 100 veces.
(a) Determinar la probabilidad de que haya 2 ocasiones en que se obtienen 4 figuras. Indicar el m´etodo oportuno para aproximar el resultado (b) Determinar la probabilidad de que haya 35 ocasiones en que se obtienen 2 o m´as figuras. Indicar el m´etodo oportuno para aproximar el resultado.
Soluci´on
Ejercicio 1. (a) Sea X el n´umero de la extracci´on en que uno de los jugadores consigue ganar. Cuando X = 2k + 1 es porque A ha conseguido extraer bola blanca en la extracci´on 2k + 1, mientras que en las 2k extracciones previas A nunca ha obtenido bola blanca, ni B ha obtenido bola negra. Por tanto P{X = 2k + 1} =
)k( (^7) 10
)k (^2) 10
An´alogamente, B gana con la extracci´on 2k cuando obtiene bola negra y en las 2k − 1 extracciones anteriores A nunca obtuvo blanca ni B obtuvo negra; es decir
P{X = 2k} =
)k( (^7) 10
)k− (^1 ) 10
Por consiguiente, la probabilidad de que gane A es
P(A) =
∑^ ∞
k=
(0′56)k^ =
y la de que gane B
P(B) =
∑^ ∞
k=
(0′56)k^ =
(b) El n´umero medio de extracciones hasta que el juego termina es
E[X] =
∑^ ∞
k=
(2k + 1)(0′56)k^ +
∑^ ∞
k=
2 k(0′56)k
∑^ ∞
k=
k(0′56)k^ +
∑^ ∞
k=
(0′56)k^ +
∑^ ∞
k=
k(0′56)k
puesto que
k=1 ka k (^) = a/(1 − a) (^2) si a < 1.
(c) Si obtiene la victoria con la extracci´on 2k + 1, el beneficio del jugador A son los k euros que B ha puesto en sus k extracciones; mientras que, si B gana con la extracci´on 2k, A pierde los k euros que ha puesto en sus k extracciones anteriores. Luego el beneficio esperado de A es
E[bA] =
∑^ ∞
k=
k (0′56)k^ −
∑^ ∞
k=
k (0′56)k
≃ − 0 ′661 euros.
Naturalmente, el beneficio esperado de B es E[bB ] = 80/121 euros.
