Cálculo de Probabilidades I — Septiembre 2016
Ejercicio 1. Sea Tuna variable aleatoria geométrica con función de proba-
bilidad
P{T=t}= (1 −p)t−1ppara t= 1,2, . . .,
siendo el parámetro 0<p<1. Sean {Xk}k≥1variables aleatorias indepen-
dientes entre sí e independientes de T, cada una con distribución uniforme en
los nvalores {1,2, . . . , n}. Se define
Z= m´ax{X1, . . . , XT}.
(a) Hallar la función de distribución de Zcondicionada por T=t, para cada
t≥1, y deducir la función de distribución de Z.
(b) Determinar la función de probabilidad de Tcondicionada por Z≤k,
para k= 1,2, . . . , n, y deducir el valor de E[T|Z≤k].
Ejercicio 2. Se tienen 2ncartas marcadas con los valores
1,1,2,2,3,3, . . . , n, n.
Tras barajar las cartas, se van descubriendo una por una y poniendo en fila
sobre una mesa. Cuando el valor de la carta que se ha descubierto coincide
con el de alguna que ya está sobre la mesa, se retiran ambas cartas. Sea Nk,
para k= 1,...,2n, el número de cartas que hay sobre la mesa tras el k-ésimo
turno. Se tiene, obviamente, N1=N2n−1= 1 yN2n= 0.
(a) Calcular P{Nn=n}yP{Nn+1 =n+ 1}.
(b) Determinar la función de probabilidad de Nk+1 condicionada por Nk.
(c) Deducir de (b) la ecuación recurrente que verifica pk= E[Nk]y probar
que su solución es pk=k(2n−k)
2n−1.
