C´alculo de Probabilidades I — Grado en Matem´aticas
Febrero 2012 — Segunda semana
Ejercicio 1. De una urna con 5 bolas blancas y 4 negras, un croupier extrae 4 bolas simult´anea-
mente y anuncia cu´antas bolas blancas ha obtenido. Acerca de una segunda extracci´on en id´enticas
condiciones, un jugador puede apostar a que el n´umero de bolas blancas obtenidas ser´a estrictamente
mayor que en la primera o, por el contrario, a que ser´a estrictamente menor. Gana si su pron´ostico
es acertado y pierde en caso contrario (incluido cuando el n´umero de bolas blancas es el mismo en
ambas extracciones).
(a) Indicar qu´e estrategia debe seguir el jugador para realizar su apuesta y qu´e probabilidad tiene,
entonces, de ganar. Si el jugador recibe un euro cuando gana y, en caso contrario, pierde su
apuesta, calcular cu´anto debe estar dispuesto a apostar, antes de la primera extracci´on, por
participar en el juego.
(b) Supuesto que el jugador ha ganado, hallar la probabilidad de que en la primera extracci´on
apareciesen dos bolas blancas; as´ı como la probabilidad de que hayan aparecido dos bolas
blancas en la segunda extracci´on.
Soluci´on: (a) Si X1yX2representan los n´umeros de bolas blancas en la primera y en la segunda
extracci´on, son dos variables aleatorias independientes y con la misma distribuci´on, de funci´on de
probabilidad
P{X1=i}=(5
i)( 4
4−i)
(9
4)es decir i= 0 1 2 3 4
P{X1=i}= 1/126 20/126 60/126 40/126 5/126
Por consiguiente, seg´un el valor de X1obtenido en la primera extracci´on, las probabilidades de que
se produzcan cada uno de los sucesos {X2> X1},{X2< X1}y{X2=X1}son
{X2> X1} {X2< X1} {X2=X1}
X1= 0 125/126 0 1/126 {X2> X1}
X1= 1 105/126 1/126 20/126 {X2> X1}
X1= 2 45/126 21/126 60/126 {X2> X1}
X1= 3 5/126 81/126 40/126 {X2< X1}
X1= 4 0 121/126 5/126 {X2< X1}
La ´ultima columna indica el suceso por el que hay que apostar en cada caso (el m´as probable de los
dos primeros). Con tal estrategia la probabilidad de ganar resulta
P(G) =
4
∑
i=0
P{X1=i}P{G|X1=i}
=1
126
125
126 +20
126
105
126 +60
126
45
126 +40
126
81
126 +5
126
121
126 =8770
1262≃0′5524.
