C´alculo de Probabilidades I — Grado en Matem´aticas
Febrero 2012 — Primera semana
Ejercicio 1. Se dispone de tres urnas A,ByCque contienen, respectivamente, 3 bolas rojas y 7
negras, 5 bolas rojas y 5 negras, y 6 bolas rojas y 4 negras. Se lanza un dado equilibrado tres veces
y se elige la urna Acuando los resultados obtenidos son estrictamente crecientes o estrictamente
decrecientes; se elige la urna Bsi hay alg´un resultado repetido; y se elige la urna Cen los dem´as
casos. Despu´es, se hacen extracciones de la urna elegida.
(a) Si las extracciones se hacen con reposici´on, calcular la probabilidad de obtener bola roja en cada
ocasi´on.
(b) Si las extracciones se hacen con reposici´on y las dos primeras bolas extra´ıdas son ro jas, calcular
la probabilidad de que la tercera sea tambi´en roja.
Soluci´on: (a) Se calcula, en primer lugar, la probabilidad de escoger cada una de las tres urnas.
Existen 63= 216 posibles resultados de los tres lanzamientos del dado. De ´estos, 6 ·5·4 = 120
corresponden a lanzamientos sin ning´un resultado repetido. Por tanto, la probabilidad de escoger la
urna Bes
pB=216 −120
216 =4
9.
Para calcular la probabilidad pAde escoger la urna A, obs´ervese que hay (6
3)= 20 posibles formas
de escoger tres n´umeros distintos de 1 a 6. Por tanto, habr´a 20 casos en los que los resultados de los
lanzamientos son crecientes, y otros 20 en los que los lanzamientos son decrecientes, es decir,
pA=40
216 =5
27.
Finalmente, pC= 1 −pA−pB= 10/27.
La probabilidad pRde extraer una bola roja es
pR=3
10 ·pA+5
10 ·pB+6
10 ·pC=1
2.
(b) Sea R2el suceso “las dos primeras bolas son rojas”, y R3el suceso “las tres primeras bolas son
rojas”. Se tiene que
P(R3|R2) = P(R3)
P(R2)=(3
10 )3·pA+ ( 5
10 )3·pB+ ( 6
10 )3·pC
(3
10 )2·pA+ ( 5
10 )2·pB+ ( 6
10 )2·pC
=253
470.
N´otese que los resultados de las extracciones no son independientes, por lo que es incorrecto afirmar
que P(R2) = pR·pR= 1/4. En cambio, sabiendo de qu´e urna se han extra´ıdo las bolas, los resultados
de las extracciones s´ı son independientes.
Ejercicio 2. Los jugadores A y B lanzan independiente y sucesivamente (siendo A el primero en
lanzar) una moneda con probabilidad 0 ≤p≤1 de cara. Gana la partida el jugador que obtiene,
al lanzar la moneda, el mismo resultado que el otro jugador en el lanzamiento anterior, siendo Tel
n´umero de lanzamientos realizados hasta ese momento.
