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C´alculo de Probabilidades 1
Febrero 2013 — Segunda semana
Ejercicio 1 Una urna contiene veinte bolas blancas, dos bolas rojas y una bola negra. Se extraen todas las bolas de la urna de una en una y sin reemplazamiento. Sea X la variable aleatoria que indica el n´umero de extracci´on en que ha salido, por primera vez, una bola roja. Sea A el suceso: “la bola negra es extra´ıda antes de que sea extra´ıda alguna de las bolas rojas”.
(a) Determinar la funci´on de probabilidad de X y el valor esperado E[X].
(b) Determinar la funci´on de probabilidad de X condicionada por A y el valor medio E[X | A]. Se har´a uso de las siguientes igualdades:
1 + 2 +... + n = n(n + 1) 2 12 + 2^2 +... + n^2 =
n(n + 1)(2n + 1) 6 13 + 2^3 +... + n^3 = n^2 (n + 1)^2 4
Ejercicio 2 Una urna contiene inicialmente dos bolas blancas y una bola roja. Se extraen e introducen bolas en la urna seg´un el siguiente procedimiento:
- Se extraen, de una en una y sin reemplazamiento, dos bolas de la urna.
- Se introducen tres bolas blancas en la urna.
- Se vuelve al paso 1.
Sea N el n´umero de extracci´on en que ha salido, por primera vez, la bola roja.
(a) Calcular, para cada valor k ≥ 1, la probabilidad del suceso {N > 2 k}.
(b) Deducir la funci´on de probabilidad de N y calcular E[N ].
(c) Suponiendo ahora que, en el paso 2, se introducen cuatro bolas blancas en lugar de tres, calcular P{N > 2 k} y utilizar
E[N ] = 1 +
∑^ ∞
j=
P{N > j} ≥ 1 + 2
∑^ ∞
j=
P{N > 2 j}
para deducir que E[N ] es infinita.
Soluci´on
(1a). Los posibles valores de la variable X son k = 1, 2 ,... , 22. Para que sea X = k, en las k − 1 primeras extracciones han salido bolas blancas o negras, y en la k-´esima extracci´on ha salido una bola roja. Por tanto,
P{X = k} =
k− 1
k− 1
24 − k
k 253
En consecuencia
E[X] =
∑^22
k=
k
k 253
(1b). Para calcular la probabilidad del suceso A podemos “eliminar” las bolas blancas, que no tienen ning´un efecto sobre la probabilidad de este suceso. As´ı, la probabilidad de que, en una urna con una bola negra y dos rojas, salga en primer lugar la bola negra es P(A) = 1/3. Para cada k = 2,... , 22 calculamos la probabilidad del suceso {X = k} ∩ A. Para que se d´e este suceso, en las k − 1 primeras extracciones se han sacado k − 2 bolas blancas y la bola negra. En la extracci´on k-´esima se ha sacado una bola roja. Por tanto,
P{X = k, A} =
k− 2
k− 1
24 − k
Se deduce que
P{X = k | A} = (23 − k)(k − 1) 1771
Por consiguiente
E[X | A] =
∑^22
k=
k
(23 − k)(k − 1) 1771
(2a). Seg´un el procedimiento descrito, se extraen bolas hasta que sale la bola roja. Antes de la extracci´on (2j − 1)-´esima (si es que la bola roja no ha sido extra´ıda anteriormente), la urna tiene j + 1 bolas blancas y una roja. Esto es v´alido para todo j ≥ 1. Para que sea N > 2 k, no ha debido salir la bola roja en ninguna de las extracciones 1, 2 ,... , 2 k. Si nos fijamos en las extracciones (2j − 1) y (2j)-´esimas, la probabilidad de que no salga la bola roja en esas dos extracciones es j + 1 j + 2
j j + 1
j j + 2
Por tanto,
P{N > 2 k} =
∏^ k
j=
j j + 2
(k + 1)(k + 2)
(2b). Sea k ≥ 1. Para que sea N = 2k − 1, tiene que ser N > 2 k − 2 y, posteriormente, en una urna con k + 1 bolas blancas y una bola roja, debemos extraer la bola roja. Por tanto,
P{N = 2k − 1 } =
k(k + 1)
k + 2
