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Estadística Tema 3. Probabilidad.
1 DEFINICIONES PREVIAS
Un cierto experimento diremos que es un experimento aleatorio si verifica las siguientes condiciones: Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. El resultado obtenido pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles, conjunto que denominaremos espacio muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra E. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales. Los sucesos compuestos son aquellos que se pueden descomponer en varios sucesos elementales. También se llaman simplemente “sucesos”. A cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio le denominaremos suceso aleatorio.
2 OPERACIONES CON SUCESOS
Unión : dados dos sucesos aleatorios, A y B, se denomina suceso unión de A y B; y se representa por , al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B (incluyendo los que están en ambos simultáneamente). Intersección : dados dos sucesos aleatorios, A y B, se denomina suceso intersección de A y B; y se representa por , al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y a B a la vez. Diferencia : dados dos sucesos aleatorios, A y B, se llama suceso diferencia de A y B, y se representa por , al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B.
3 PROBABILIDAD
La probabilidad de un suceso es un número que expresa la mayor o menor facilidad de que dicho suceso se verifique al llevar a cabo el experimento aleatorio que da lugar al suceso.
La probabilidad de un suceso es siempre un número entre 0 y 1. La probabilidad del suceso seguro es 1.
Cuando un experimento aleatorio puede dar lugar a un número finito de resultados posibles y todos ellos son equiprobables, la regla de Laplace establece que la probabilidad de un suceso cualquiera es:
( )
A la hora de contar los casos posibles o favorables resultan de gran utilidad saber calcular el número de grupos de n elementos que se pueden formar con m elementos y cuya diferencia se deba a los elementos sin importar el orden de colocación de estos. El número total de combinaciones se calcula con la fórmula:
( ) (^) ( )
Estadística Tema 3. Probabilidad.
Son sucesos incompatibles aquellos que no pueden verificarse a la vez, esto es si
. Cuando dos sucesos son incompatibles tenemos que: ( ) ( ) ( ) Si los sucesos pueden darse simultáneamente, es decir no son incompatibles, la suma se probabilidades queda:
( ) ( ) ( ) ( ) El suceso complementario o contrario de otro dado A, es que se verifica cuando no se verifica A y lo representaremos por o ̅. Se cumple siempre que:
( ) ( ̅ ) ( ) Son sucesos independientes aquellos en los que el resultado de un suceso no influye en el resultado del otro. Por ejemplo al lanzar repetidamente un dado, el resultado del primer lanzamiento no tiene influencia en el resultado del segundo lanzamiento.
Por lo tanto si tenemos dos sucesos que llamaremos, A y B y son independientes, es decir, el resultado de A no afecta a B; entonces se cumplirá que:
( ) ( ) ( ) Si en lugar de dos tengo n sucesos independientes (tiro mi dado n veces) puedo escribir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 PROBABILIDAD CONDICIONADA
La probabilidad de que se verifiquen dos sucesos es igual al producto de la probabilidad de que se verifique A, multiplicada por la probabilidad de que se verifique B sabiendo que se ha verificado A. Es decir:
( ) ( ) ( ) A la probabilidad de que suceda B sabiendo que ha sucedido A se le llama probabilidad de B condicionada a A. Por lo tanto tenemos que:
( ) (^ )^
5 PROBABILIDAD TOTAL
Si tenemos una colección de sucesos aleatorios y excluyentes, A 1 … An (solo puede pasar uno) y tenemos otro suceso B entonces:
6 TEOREMA DE BAYES
Si tenemos una colección de sucesos aleatorios y excluyentes, A 1 … An (solo puede pasar uno) y tenemos otro suceso B entonces:
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EJERCICIO 1. Escribir el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos dados haciendo la tabla de doble entrada de los posibles resultados de ambos dados.
EJERCICIO 2. Un etólogo estudia un numeroso grupo de babuinos en libertad. Observa que de los 150 animales del grupo, 5 tienen el pelo de un color extremadamente claro. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente clase de babuino que nazca en el grupo porte esta coloración clara?
EJERCICIO 3. En una boda, el 60% de los invitados vienen por parte de la novia y el 60% vienen por parte del novio. ¿Cuál es el tanto por ciento de los amigos comunes de los novios? ¿Cuál es la probabilidad de que un invitado tomado al azar sea amigo del novio y de la novia?
EJERCICIO 4. Una camada de perros se compone de cuatro cachorros:
Halla la probabilidad de que exactamente dos sean machos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean machos si el nacido en primer lugar es macho? Hallar la probabilidad de que el último en nacer sea macho. ¿Cuál es la probabilidad de que el último en nacer sea macho y los tres primeros fueron hembras?
EJERCICIO 5. Cada pregunta de un examen tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es correcta. Un alumno contesta al azar un examen de ese tipo con tres preguntas.
Construya un espacio muestral adecuado a esta experiencia Calcule P(B), P(AB), P(C), P(BC), siendo A,B y C los sucesos siguiente:
- A: El alumno contesta correctamente la primera pregunta
- B: El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas
- C: El alumno contesta correctamente las tres peguntas
EJERCICIO 6. Una plaga afecta al 50% de todos los cornejos de un área dada. Se toma una muestra de tres árboles y cada uno se clasifica como afectado por la plaga (s) o no afectado (n). Dado que la probabilidad de ser afectado es igual a la de no ser afectado, cada uno de los ocho resultados posibles del experimento tiene la misma probabilidad.
Dibuja un árbol para representar los ocho elementos muestrales. Halla la probabilidad de que al menos dos estén afectados. Halla la probabilidad de que dos estén afectados y que el primero lo está. Halla la probabilidad de que exactamente dos estén afectados y que el primero lo está.
EJERCICIO 7. Calcular la probabilidad de obtener, al tirar 2 dados, un 6 en el primer dado y un total de más de 9 puntos entre los dos.
EJERCICIO 8. Calcular la probabilidad de sacar múltiplo de 2 condicionada a sacar menos de 4 puntos en el lanzamiento de un dado.
EJERCICIO 9. Un estudio indica que el 10% de la población de E.E.U.U. tiene 65 años o más, y que el 1% de la población total padece insuficiencia cardiaca moderada. Además, el 10,4% de la población tiene 65 o más años o padece insuficiencia cardiaca moderada. Eligiendo a un individuo al azar:
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Halla la probabilidad de que el individuo tenga 65 años o más y padezca de insuficiencia cardiaca. Si un individuo es mayor de 65 años, ¿cuál es la probabilidad de que padezca de insuficiencia cardiaca moderada? Si un individuo es menor de 65 años, ¿cuál es la probabilidad de que padezca insuficiencia cardiaca moderada?
EJERCICIO 10. En un estudio sobre alcohólicos se informa de que el 40% de los mismos tiene padre alcohólico y el 6%, madre alcohólica. El 42% tiene al menos uno de los padres alcohólicos.
¿Cuál es la posibilidad de que elegido uno al azar tenga ambos padres alcohólicos? ¿Tenga una madre alcohólica si lo es el padre? ¿Tenga una madre alcohólica si el padre no lo es?
EJERCICIO 11. En un estudio sobre sensibilidad, se practican necropsias en encéfalos de pacientes afectados de demencia senil o degeneración arteriosclerótida cerebral. Se informa de que el 35% tiene alteraciones asociadas con la demencia senil, el 45% tiene alteraciones asociadas con la degeneración arteriosclerótida cerebral, y el 20% muestra signos de ambas. Basándose en esta información ¿cuál es la probabilidad de que un paciente con el cerebro dañado a consecuencia de la degeneración arteriosclerótida tenga también alteraciones cerebrales características de la demencia senil? ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que no tiene alteraciones debidas a la demencia senil padezca degeneración arteriosclerótica cerebral?
EJERCICIO 12. Se estima que el 15% de la población adulta padece hipertensión, pero que el 75% de todos los adultos cree no tener este problema. Se estima también que el 6% de la población tiene hipertensión pero no es consciente de padecer dicha enfermedad. Si un paciente adulto opina que no es hipertenso, ¿cuál es la probabilidad de que la enfermedad, de hecho, exista?
EJERCICIO 13. De una baraja de 40 cartas extraemos dos cartas sin reemplazamiento. Si ambas no son espadas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copas?
EJERCICIO 14. Se tienen dos urnas. En la primera, U 1 , hay tres bolas blancas y dos rojas. En la segunda, U 2 , hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se realiza el siguiente experimento aleatorio: se tira una moneda al aire y si sale cara se elige una bola al azar de la primera urna, y si sale cruz, de la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?
EJERCICIO 15. Se tienen tres urnas. La primera, U 1 , contiene tres bolas blancas y dos rojas. La segunda, U 2 , contiene cuatro bolas blancas y dos rojas. La tercera, U 3 , contiene únicamente tres bolas rojas. Se realiza el siguiente experimento aleatorio: Alguien elige al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola. El resultado del experimento es que ha salido una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera urna?
EJERCICIO 16. Lanzamos un dado hasta observar por segunda vez un 6. Hallar la probabilidad de que tal cosa suceda antes del quinto lanzamiento.
EJERCICIO 17. Se tiran dos dados consecutivamente. Calcular la probabilidad de:
Sacar un 5 Sacar menos de 3 con el primer dado y más de 3 con el segundo
