`
ALGEBRA
Grau en Enginyeria Inform`atica – Curs 2017-2018
Un exemple de q¨uestions tipus pel Taller del dia 15 de desembre
1. Considerem l’aplicaci´o lineal f:R3→R4donada per
f(x, y, z) = (x+y+z , x −y−z, −x+y+z , 2x+y+z).
(a) Trobeu la matriu Aassociada a f, ´es a dir la que compleix que f
x
y
z
=A
x
y
z
.
(b) Troba una base i la dimensi´o de Ker(f) i Im(f).
(c) Estudia si el vector (2,4,3,1) pertany a Im(f) o no. En cas afirmatiu, trobeu les
coordenades d’aquest vector amb la base de Im(f) que heu triat en l’apartat segon
d’aquest exercici.
(d) Amplia la base del Ker(f) a una base de R3.
(e) ´
Es Im(f) igual al subespai vectorial Won
W={(x, y, z, t)∈R4|y+z= 0,−3x+ 2t+z= 0}?
(f) Est`a Ker(f) contingut al subespai vectorial F=⟨(1,5,2),(3,4,1)⟩?
´
Es cert que Ker(f) = F?
(g) Estudia si f´es monomorfisme (injectiva), epimorfisme (exhaustiva) o isomorfisme
(bijectiva).
(h) Amplia la base de Im(f) a una base de R4.
(i) El vector (4,−2,−2) pertany al Ker(f)?
2. Considerem l’aplicaci´o lineal g:R3→R3donada per
g(x, y, z) = (x+ 6y+ 4z , x + 2y+ 2z, x + 4y+ 3z).
(a) Trobeu la matriu Bassociada a g, ´es a dir la que compleix que g
x
y
z
=B
x
y
z
.
(b) Troba una base i la dimensi´o de Ker(g) i Im(g).
(c) Amplia la base de Im(g) a una base de R3.
(d) El vector (1,2,3) pertany a la Im(g)? En cas afirmatiu, trobeu les coordenades
d’aquest vector amb la base de Im(g) que heu triat en l’apartat anterior.
(e) ´
Es monomorfisme (injectiva) l’aplicaci´o lineal?
(f) El vector (3,2,1) pertany al Ker(g)? En cas afirmatiu, trobeu les coordenades d’a-
quest vector amb la base de Ker(g) que heu triat en el segon apartat d’aquest exercici.
(g) ´
Es Ker(g) un subespai de Im(g)?
(La pregunta t´e sentit, ja que l’espai de sortida i el d’arribada s´on el mateix.)
(h) ´
Es Im(g) igual al subespai W={(x, y, z )∈R3|x+y−2z= 0}?