Estad´ıstica
Grado en Relaciones Laborales y Recursos Humanos
Primer Curso
Facultad de Ciencias del Trabajo
Universidad de Sevilla
Tema 10
N´umeros ´
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Departamento de Estad´ıstica e Investigaci´on Operativa
Universidad de Sevilla
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Asignatura: estadistica, Profesor: , Carrera: Relaciones Laborales y Recursos Humanos, Universidad: US
Tipo: Apuntes
2014/2015
1 / 15
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Estad´ıstica
Grado en Relaciones Laborales y Recursos Humanos
Primer Curso
Facultad de Ciencias del Trabajo
Universidad de Sevilla
Tema 10
N´umeros ´Indice
Departamento de Estad´ıstica e Investigaci´on Operativa Universidad de Sevilla
i
- Introducci´on ´Indice
- N´umeros ´ındice simples y complejos
- Exposici´on de ´ındices
- N´umeros ´ındice simples
- 4.1. Algunas propiedades de los ´ındices simples
- N´umeros ´ındice complejos
- 5.1. No ponderados
- 5.2. Ponderados
- 5.3. Casos particulares de ´ındices complejos ponderados
- 5.3.1. ´INDICE DE LASPEYRES
- 5.3.2. ´INDICE DE PAASCHE
- 5.3.3. ´INDICE IDEAL DE FISHER
- Tasa de Variaci´on. Tasa de variaci´on media acumulativa
- Deflactaci´on de series econ´omicas en el tiempo
- El IBEX
leemos que un ´ındice es 0′92, inmediatamente sabemos que representa un cambio del 8 %, pero en este caso bajada o disminuci´on. En resumen:
1 ′ 12 tambi´en se expresa como 112 % y representa una subida del 12 %
0 ′ 92 tambi´en se expresa como 92 % y representa una bajada del 8 %
Si leemos en la informaci´on econ´omica que el IBEX 35 ha aumentado un 3′5 %, el ´ındice correspondiente es 1′035, es decir, 1+3′ 5 /100. Y si leemos que las acciones de una compa˜n´ıa han subido en un mes un 235 %, el ´ındice correspondiente ser´a 3′35, es decir, 1 + 235/100.
Insistimos que la forma 1 ′ 035 la empleamos para los c´alculos matem´aticos, y la forma 3 ′5 % para la publicaci´on y difusi´on final de la informaci´on.
4. N´umeros ´ındice simples
Consideremos una magnitud simple, X, que toma los valores X 0 , X 1 ,.. .,Xt, en los instantes sucesivos 0, 1 ,... , t. El 0 indica el inicio, por ejemplo el a˜no 1998, el 1 el instante siguiente, que ser´ıa 1999, y as´ı sucesivamente.
Definici´on 2 Se denomina ´ındice simple de la magnitud X en el per´ıodo t respecto al per´ıodo 0, a la raz´on o cociente,
It/ 0 = Xt X 0
que nos proporciona la variaci´on en tanto por uno que ha sufrido la magnitud X entre los dos per´ıodos considerados.
Al per´ıodo 0 empleado como per´ıodo de comparaci´on, se le denomina per´ıodo base o per´ıodo de referencia. Al per´ıodo t que se compara se le denomina per´ıodo actual o per´ıodo corriente.
OBSERVACI ´ON: Es usual multiplicar los ´ındices por 100 para obtener su valor en %, es decir, en tantos por ciento.
Los ´ındices simples m´as comunes son,
(1) Precio relativo. Mide la evoluci´on de los precios.
Pt/ 0 = pt p 0
(2) Cantidad relativa. Mide la evoluci´on de las cantidades o producciones.
Qt/ 0 =
qt q 0
(1) Valor relativo. Mide la evoluci´on del valor.
Vt/ 0 = ptqt p 0 q 0 = Pt/ 0 Qt/ 0
EJEMPLO 1 En la siguiente tabla aparece la evoluci´on de los precios del pan, en c´entimos de EURO a lo largo de varios a˜nos:
A ˜NO PRECIO ´INDICE DE PRECIOS ´INDICE DE PRECIOS x 100 1980 50 (50/50)=1’00 100x(50/50)= 1981 52 (52/50)=1’04 100x(52/50)= 1982 55 (55/50)=1’10 100x(55/50)= 1983 58 (58/50)=1’16 100x(58/50)= 1984 60 (60/50)=1’20 100x(60/50)= 1985 63 (63/50)=1’26 100x(63/50)= 1986 40 (40/50)=0’80 100x(40/50)= 80
Como puede verse, el precio del pan aument´o un 20 % en el per´ıodo 1980-1984 y disminuy´o un 20 % en el per´ıodo 1980-1986. 4
4.1. Algunas propiedades de los ´ındices simples
(1) Son independientes de las unidades, sean monetarias o de otro tipo.
(2) Circular It/ 0 = It/t′ It′/ 0 o tambi´en, It/t′ =
It/ 0 It′/ 0
(3) Inversi´on It/ 0 =
I 0 /t
(4) Encadenamiento It/ 0 = It/t− 1 It− 1 /t− 2 · · · I 1 / 0
(4) Media agregativa o ´ındice de Bradstreet-Dutˆot.
IAt/ 0 =
∑N ∑i=1^ Xit N i=1 Xi^0 siendo Xi 0 , Xi 1 ,.. .,Xit, i = 1,... , N los valores correspondientes a las distintas can- tidades.
EJEMPLO 3 En la siguiente tabla aparecen los precios de tres alimentos, en diferentes a˜nos,
ALIMENTO 1990 1992 PAN 40 45 LECHE 80 100 MANTEQUILLA 120 125
El per´ıodo base es 1990 y el actual 1992. Para cada uno de los art´ıculos, se puede calcular el ´ındice simple de precios,
I 92 pan/ 90 =
= 1′ 125 I 92 leche/ 90 =
= 1′ 250 I 92 mantequilla/ 90 =
Ahora podemos calcular ´ındices complejo, que resumen la informaci´on de los anteriores, empleando las expresiones vistas anteriormente,
(1) Media aritm´etica.
It/ 0 =
N
∑^ N
i=
Iit/ 0 =
(2) Media geom´etrica.
It/G 0 =
( (^) N ∏
i=
It/i 0
) 1 /N = 3
1 ′ 125 × 1 ′ 250 × 1 ′041 = 1′ 136
(3) Media arm´onica.
It/H 0 =
N
∑^ N
i=
It/i 0
(4) Media agregativa o ´ındice de Bradstreet-Dutˆot.
It/A 0 =
∑N ∑i=1^ Xit N i=1 Xi^0
Los ´ındices no ponderados tienen una utilidad limitada pues asignan la misma impor- tancia a todos los elementos o magnitudes, lo cual no es muy realista (por ejemplo, en una cesta de la compra media, no se deber´ıa dar la misma importancia al pan, a la mantequilla y al jam´on ib´erico). Por esta raz´on, en general los precios o magnitudes asociadas a productos se ponderan seg´un su importancia o influencia en el problema que se est´e considerando. Esto nos lleva a los ´ındices complejos ponderados.
5.2. Ponderados
Introducen pesos o ponderaciones para tener en cuenta la importancia relativa que presenta cada magnitud. Denotemos dichos pesos como w 1 ,... , wN.
(1) Media aritm´etica ponderada.
It/ 0 =
∑^ N i=
wiIt/i 0
∑^ N
i=
wi
(2) Media geom´etrica ponderada.
It/G 0 =
( (^) N ∏
i=
(It/i 0 )wi
) 1 / ∑Ni=1 wi
(3) Media arm´onica ponderada.
It/H 0 =
∑^ N
i=
wi
∑N
i=
wi It/i 0
(4) Media agregativa ponderada.
It/A 0 =
∑N ∑i=1^ wiXit N i=1 wiXi^0 siendo Xi 0 , Xi 1 ,.. .,Xit, i = 1,... , N los valores correspondientes a las distintas can- tidades.
Las ponderaciones se deciden de acuerdo con m´ultiples factores, pero b´asicamente in- tentan valorar num´ericamente las importancias relativas de los distintos elementos.
Por ejemplo, si hay tres elementos y queremos que dos tengan la misma importancia, siendo esta el doble que la del tercero, tomaremos como pesos 2, 2 y 1, aunque tambi´en podemos tomar 4, 4 y 2 ´o 0′4, 0′4 y 0′2. Todas estas formas son totalmente equivalentes.
EJEMPLO 4 En la siguiente tabla aparecen los precios de tres alimentos, en diferentes a˜nos, y una serie de ponderaciones.
ALIMENTO 1970 1973 PESOS
PAN 10 12 0’
LECHE 15 20 0’
MANTEQUILLA 80 80 0’
art´ıculo i, consumidas o producidas en el per´ıodo base, a precios de dicho per´ıodo, es decir,
LPt/ 0 =
∑^ N i=
wiIt/i 0
∑^ N
i=
wi
∑^ N i=
(pi 0 qi 0 )It/i 0
∑^ N
i=
pi 0 qi 0
∑^ N i=
(pi 0 qi 0 )(pit/pi 0 )
∑^ N
i=
pi 0 qi 0
∑^ N i=
pitqi 0
∑^ N
i=
pi 0 qi 0
(b) Para cantidades: Similar al anterior, pero para cantidades. Es la media aritm´etica ponderada de los ´ındices simples de cantidades, siendo los pesos las cantidades wi = pi 0 qi 0 , es decir, los valores de las cantidades del art´ıculo i, consumidas o producidas en el per´ıodo base, a precios de dicho per´ıodo, es decir:
LQt/ 0 =
∑^ N
i=
wiIt/i 0
∑^ N i=
wi
∑^ N
i=
(pi 0 qi 0 )Iit/ 0
∑^ N i=
pi 0 qi 0
∑^ N
i=
(pi 0 qi 0 )(qit/qi 0 )
∑^ N i=
pi 0 qi 0
∑^ N
i=
qitpi 0
∑^ N i=
pi 0 qi 0
5.3.2. ´INDICE DE PAASCHE
(a) Para Precios: Es la media arm´onica ponderada de los ´ındices simples de precios, siendo los pesos las cantidades wi = pitqit, esto es, los valores de las cantidades del art´ıculo i, consumidas o producidas en el per´ıodo actual, a precios de dicho per´ıodo:
PPt/ 0 =
∑^ N
i=
wi
∑N
i=
wi/It/i 0
∑^ N
i=
pitqit
∑N
i=
pitqit/It/i 0
∑^ N
i=
pitqit
∑N
i=
(pitqit)(pi 0 /pit)
∑^ N
i=
pitqit
∑N
i=
pi 0 qit
(b) Para cantidades: Similar al anterior, pero para cantidades. Es la media arm´onica ponderada de los ´ındices simples de cantidades, siendo los pesos las cantidades wi = pitqit, esto es, los valores de las cantidades del art´ıculo i, consumidas o producidas en el per´ıodo actual, a precios de dicho per´ıodo:
Pt/Q 0 =
∑^ N
i=
wi
∑N
i=
wi/Iit/ 0
∑^ N
i=
pitqit
∑N
i=
pitqit/It/i 0
∑^ N
i=
pitqit
∑N
i=
(pitqit)(qi 0 /qit)
∑^ N
i=
pitqit
∑N
i=
qi 0 pit
5.3.3. ´INDICE IDEAL DE FISHER
(a) Para precios: Es la media geom´etrica de los ´ındices anteriores para precios, es decir,
Ft/P 0 =
√ LPt/ 0 Pt/P 0
(b) Para cantidades: Es la media geom´etrica de los ´ındices anteriores para cantidades, es decir, Ft/Q 0 =
√ LQt/ 0 Pt/Q 0
EJEMPLO 5 En la siguiente tabla aparecen los precios, P, y las cantidades, Q, de tres art´ıcu- los, A, B y C, en diferentes a˜nos
A B C
A ˜NO P Q P Q P Q
A continuaci´on calculamos los ´ındices complejos anteriores para el per´ıodo actual 1981, en relaci´on al per´ıodo base 1980.
(1) ´INDICE DE LASPEYRES
(a) Precios.
LP 81 / 80 =
∑^ N
i=
pi 81 qi 80
∑^ N
i=
pi 80 qi 80
3 × 8 + 4 × 5 + 2 × 3
2 × 8 + 3 × 5 + 1 × 3
(b) Cantidades.
LQ 81 / 80 =
∑^ N
i=
qi 81 pi 80
∑^ N
i=
pi 80 qi 80
7 × 2 + 6 × 3 + 3 × 1
2 × 8 + 3 × 5 + 1 × 3
(2) ´INDICE DE PAASCHE
(a) Precios.
P 81 P/ 80 =
∑^ N
i=
pi 81 qi 81
∑^ N
i=
pi 80 qi 81
3 × 7 + 4 × 6 + 2 × 3
2 × 7 + 3 × 6 + 1 × 3
EJEMPLO 6 Supongamos que un ´ındice de precios complejo ponderado con respecto al a˜no 2000, toma en t = 2002 y t′^ = 2006 los valores, I 2002 / 2000 = 1′ 03 ´e I 2006 / 2000 = 1′ 09. Entonces, la tasa de variaci´on entre 2002 y 2006 ser´a,
T V 2002 / 2006 =
I 2006 / 2000 − I 2002 / 2000
I 2002 / 2000
lo que quiere decir que entre 2002 y 2006 hubo un incremento de precios del 5 ′ 8 %.
Podr´ıa pensarse que entre 2002 y 2006 habr´ıa un incremento de precios del 6 % ya que 1 ′ 09 − 1 ′03 = 0′ 06 pero esto es err´oneo pues 0 ′ 06 es la variaci´on absoluta del ´ındice, NO DE LOS PRECIOS.
Para hallar la variaci´on media aportada por cada uno de los cuatro a˜nos podr´ıa pensarse que se ha de dividir 5 ′ 8 entre 4, lo que dar´ıa 1 ′45 %, pero NO, AS´I NO SE HACE porque los ´ındices no se operan con sumas sino multiplicaciones. La forma de hacerlo es con la tasa de variaci´on media entre los a˜nos 2002 y 2006, es decir,
T VM 2002 / 2006 = 4
√ 1 ′ 09 1 ′ 03
lo que nos dice que la variaci´on promedio por a˜no ha sido del 1 ′ 426 %.
N´otese que esta cantidad es un valor promedio de cada a˜no, a lo largo de un per´ıodo de cuatro a˜nos, siendo una cantidad meramente indicativa, pero que no tiene por qu´e coincidir con las aut´enticas variaciones anuales, de la misma forma que la media aritm´etica de 2 y 10 es 6. 4
7. Deflactaci´on de series econ´omicas en el tiempo
Supongamos que observamos la evoluci´on del salario medio en un pa´ıs a lo largo de varios a˜nos. Dicho salario sufre una variaci´on, usualmente creciente, y la observaci´on de la serie nos permite comprender la evoluci´on. No obstante, si no hacemos ninguna transformaci´on, las cantidades estar´an medidas en t´erminos corrientes, sin tener en cuenta la variaci´on del valor de la moneda, en lo que a poder adquisitivo se refiere.
Esto puede dar una idea imprecisa si lo que se quiere es estudiar, por ejemplo, el poder adquisitivo, pues no es lo mismo una peseta de 1980, que una peseta de 1986.
Para operar con esta situaci´on, se emplea un ´ındice de precios adecuado para corregir la serie inicial de salarios, que est´a expresada en lo que denominamos moneda corriente, y transformarla en moneda constante, es decir, a su valor inicial. La operaci´on se realiza dividiendo por el correspondiente ´ındice, suponi´endolo adecuado.
Esta operaci´on se denomina deflactaci´on de series, y a los ´ındices de precios que se emplean se les denomina deflactores, siendo los m´as empleados los de Laspeyres y Paasche.
EJEMPLO 7 Sup´ongase que la evoluci´on de los salarios medios de un pa´ıs, en miles de unidades monetarias, entre 1980 y 1986, as´ı como de un ´ındice de precios, fue:
Salario Medio ´Indice de Precios 1980 90 1’ 1981 92 1’ 1982 95 1’ 1983 99 1’ 1984 102 1’ 1985 105 1’ 1986 108 1’
Dichos salarios est´an en moneda corriente. Por ejemplo, si fuera Espa˜na, el salario en 1986 ser´ıa 108.000 pesetas corrientes, de ese a˜no en concreto.
Para obtener los salarios en moneda constante, es decir, con el valor de referencia de 1980, dividimos los salarios por los ´ındices, obteniendo:
Salario Medio ´Indice de Precios Serie deflactada 1980 90 1’000 90/1’000 = 90’ 1981 92 1’100 92/1’100 = 83’ 1982 95 1’200 95/1’200 = 79’ 1983 99 1’250 99/1’250 = 79’ 1984 102 1’310 102/1’310 = 77’ 1985 105 1’380 105/1’380 = 76’ 1986 108 1’450 108/1’450 = 74’
Lo que pone en evidencia una clara p´erdida del poder adquisitivo pues, a pesar de que la serie de salarios en moneda corriente es ascendente, la serie deflactada, en moneda constante de 1980, tiene un comportamiento manifiestamente decreciente. 4
8. El IBEX 35
Concentra la evoluci´on de 35 valores relevantes de la bolsa espa˜nola. Para el calculo del Ibex 35 se utiliza una f´ormula en la que se incluyen las 35 compa˜n´ıas, se atiende a su capitalizaci´on burs´atil (es decir, precio multiplicado por n´umero de acciones determinadas por la Sociedad de Bolsas para el c´alculo), y se aplica un coeficiente de ajuste, para asegurar que ciertas operaciones financieras que se produzcan en sus integrantes, no alterar´an el valor del ´ındice.
El valor base sobre el que se calcula es una valoraci´on matem´atica de las mencionadas 35 compa˜n´ıas. Naci´o con una base de 3000 puntos a cierre de mercado el 29 de Diciembre de 1989, que fue viernes, y ´ultimo d´ıa de bolsa en dicho a˜no.
La composici´on del Ibex se revisa cada 6 meses, y no se ajusta por dividendos, aunque s´ı por ciertas operaciones financieras de los valores que lo componen como ampliaciones de capital, reducciones de capital por amortizaci´on de acciones, variaciones de valor nominal y fusiones y absorciones.