¡Descarga 5 numeros indices y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Jesús Sánchez Fernández
CAPÍTULO 5.- NÚMEROS ÍNDICES.
5.1 Introducción.
Ya hemos visto que una de las principales preocupaciones de la Estadística es el análisis de variables, tanto consideradas individualmente como en conjunto. Para realizar tal tipo de análisis estadístico se han definido distintos instrumentos que han facilitado, no solo el análisis individualizado de cada variable, sino que algunos de ellos adquirían mayor entidad cuando se utilizaban para comparar variables.
Este problema de la comparación es de gran importancia en estadística. Las comparaciones entre variables o entre los valores de una sola variable pueden realizarse de distintas formas. Las más simples son las que se llevan a cabo por diferencia o aquellas que se realizan por cociente. Estas segundas tiene la ventaja frente a las primeras que eliminan el problema de las unidades de medida, que como hemos podido comprobar a lo largo de las lecciones anteriores es un verdadero problema. En cambio el segundo procedimiento, aunque no adolece de ese problema, no deja de estar afectado por otros, como el de elegir la unidad de referencia para realizar las comparaciones.
Este problema de la comparación estadística se resuelve en buena manera mediante el uso de números índices. En general diremos que un número índice es aquella medida estadística que permite estudiar las fluctuaciones o variaciones de una sola magnitud o de más de una en relación al tiempo o al espacio. Los índices más habituales son los que realizan las comparaciones en el tiempo, por lo que, como veremos más adelante, los números índices son en realidad series temporales.
Como puede verse, este nuevo concepto que acaba de introducirse, es muy parecido al de tasa de variación que se estudió en el capitulo anterior.
Jesús Sánchez Fernández
5.2 Índices simples.
Si la comparación se realiza para los valores de una sola magnitud, hablaremos de índices simples. En cambio, cuando se trabaja con más de una magnitud a la vez, hablaremos de índices complejos. En cualquiera de los dos casos vamos a comparar siempre dos situaciones, una de las cuales se considera de referencia. A la situación inicial, cuando las comparaciones son temporales, se le conoce como periodo base o referencia, frente al periodo corriente o actual con el que se realiza la comparación.
En la construcción de un número índice se le asigna al periodo de referencia el valor 100. Esto implica que los números índices no son otra cosa que porcentajes. Se trata de los porcentajes de cada valor de la magnitud con respecto al valor de referencia o base. Al ser los número índices porcentajes definidos sobre los propias valores de la variable hace que sean adimensionales, lo que permite la comparación de las variaciones de distintas variables que pueden venir expresadas en unidades diferentes.
Formalmente, un índice simple, para una variable concreta, se define de la forma siguiente:
( ) 100 ( 6. 1 ) 0
0 0 y x
I I i y
i
t = t = it
Donde yit y yi0 son dos valores concretos de una magnitud o variable Yi. El primero de los valores corresponde al momento actual ( t ) y el segundo al momento base o de referencia ( t=0 ). Una vez que se han elaborado lo números índices, según se recoge en (6.1), es fácil determinar la variación, en términos porcentuales, que ha sufrido la variable Yi al pasar del periodo de referencia al actual.
Ejemplo 1. Obtenga los índices simples para el paro estimado en España y Andalucía.
En la Tabla 1 se dan los datos para el periodo que va de 1981 a 2001 correspondientes al paro estimado por el INE a través de la Encuesta de Población Activa (EPA). Estas dos variables constituyen dos series temporales para las que pretende analizar su evolución en ese conjunto de años. Una forma de realizar ese estudio es recurriendo a la
Jesús Sánchez Fernández
Tabla 1. Paro estimado (índices simples) Valores Observados Números índices simples (miles de personas) (Base 1981=100) Años Andalucía España Andalucía España 1981 388,6 1.853,7 100,00 100, 1982 403,3 2.120,5 103,79 114, 1983 453,2 2.340,5 116,62 126, 1984 592,1 2.728,2 152,37 147, 1985 619,7 2.938,5 159,48 158, 1986 652,8 2.933,0 168,00 158, 1987 705,1 2.937,7 181,46 158, 1988 688,6 2.847,9 177,22 153, 1989 652,9 2.560,8 168,02 138, 1990 626,1 2.441,2 161,14 131, 1991 638,1 2.463,7 164,21 132, 1992 706,2 2.788,5 181,75 150, 1993 836,6 3.481,3 215,30 187, 1994 894,2 3.738,1 230,11 201, 1995 888,4 3.583,5 228,62 193, 1996 875,3 3.540,1 225,26 190, 1997 874,6 3.356,5 225,07 181, 1998 818,5 3.060,3 210,63 165, 1999 759,5 2.605,5 195,44 140, 2000 703,1 2.370,4 180,95 127, 2001 642,5 2.213,1 165,34 119, Fuente: EPA. INE. Elaboración propia.
Una forma de evitar este problema de selección del periodo base es hacer que el mismo sea variable. En tal caso llegamos a lo que se conoce como índices en cadena. En este caso, esta modalidad de números índices permite obtener las variaciones porcentuales de una magnitud en un periodo con respecto, siempre, al anterior. Un ejemplo de este tipo de índices viene recogido en la tabla 2 y los mismos se han obtenido de la manera siguiente:
Jesús Sánchez Fernández
100 91 , 4 2213 ,^3
100 112 , 4 2340 ,^5
100 103 , 8 2120 ,^5
20002001 20002001
19821983 19821983
19811982 19811982
19801981 19801981
I x I x
I x I x
I x I x
I I
Andalucía España
Tabla 2. Paro estimado (índices en cadena) Valores observados Índices en cadena (miles de personas) Años Andalucía España Andalucía España 1981 388,6 1.853,7 ,, ,, 1982 403,3 2.120,5 103,79 114, 1983 453,2 2.340,5 112,36 110, 1984 592,1 2.728,2 130,66 116, 1985 619,7 2.938,5 104,67 107, 1986 652,8 2.933,0 105,34 99, 1987 705,1 2.937,7 108,02 100, 1988 688,6 2.847,9 97,66 96, 1989 652,9 2.560,8 94,81 89, 1990 626,1 2.441,2 95,90 95, 1991 638,1 2.463,7 101,91 100, 1992 706,2 2.788,5 110,68 113, 1993 836,6 3.481,3 118,46 124, 1994 894,2 3.738,1 106,88 107, 1995 888,4 3.583,5 99,35 95, 1996 875,3 3.540,1 98,53 98, 1997 874,6 3.356,5 99,91 94, 1998 818,5 3.060,3 93,59 91, 1999 759,5 2.605,5 92,79 85, 2000 703,1 2.370,4 92,58 90, 2001 642,5 2.213,1 91,37 93, Fuente: EPA. INE. Elaboración propia.
Los datos de la Tabla 2 muestran dos periodos de fuerte crecimiento del paro, los primeros años de la década de los ochenta y los de los noventa, siendo durante 1984
Jesús Sánchez Fernández
( ) 100 100 100 ( 6. 3 ) 0 0 0 0 0 (^0) q x
q p x p p q x p q V V i V i
it i
it i i
it it i
t it
De donde vemos que el índice de valor es el producto de los índices de precios y cantidades.
Todos estos índices, como ya hemos venidos señalando, deben expresarse en forma de porcentajes.
5.3. Índices compuestos o complejos no ponderados.
Una vez definidos los índices de precios, cantidades y valor aplicados todos al caso de un solo bien, el siguiente paso que debemos dar es la construcción de índices de esa naturaleza pero que abarquen más de un bien simultáneamente. Ello nos llevará al concepto de índice compuesto o complejo. En general, este índice compuesto no será otra cosa que la agregación de los distintos índices simples elaborados para cada bien por separado. Sin embargo, en otras ocasiones, lo que se agregan no son índices, sino las propias magnitudes (precios o cantidades) observadas.
La agregación puede realizarse según distintos métodos o procedimientos. Ahora bien, el que se elija ha de reunir algunas propiedades, tales como que el resultado sea un número índice sencillo y que en el mismo se reúna gran cantidad de información. En función de cual de esos criterios prevalezca nos llevará a dos categorías de índices compuestos distintas. Los que podríamos definir como índices compuestos no ponderados, en los que prevalece el criterio de la sencillez frente al de la información. El segundo grupo sería el de índices compuestos ponderados, donde se prima especialmente la información frente a la sencillez.
Dentro de la primera categoría, el más sencillo es el que define el índice compuesto como la media aritmética simple de los índices simples. Al mismo se le conoce como Indice de Sauerbeck y viene dado por:
Jesús Sánchez Fernández
1 0 x 100 ( 6. 4 )
N
p
p P
N i i
it S
1 0 x 100 ( 6. 5 )
N
q
q Q
N i i
it S
para precios y cantidades, respectivamente.
Frente a este procedimiento de obtener un índice compuesto no ponderado se podría haber utilizado el que se conoce como el de la media agregativa simple, o de Bradstreet- Dutot. Este consiste en sumar, cuando se trata de un índice de precios, los precios de todos los bienes para un periodo y obtener la media de esos precios. Con la serie resultante se obtendría un índice simple que es, de hecho, compuesto, pues en el mismo se han reunido los precios de más de un bien. Este procedimiento tiene el inconveniente, frente al anterior, de que suma inicialmente magnitudes que puede que no sean homogéneas, lo que lleva a que el índice resultante pierda significado.
Estos índices vienen dados por:
1 0
1
1
0
(^1) x p
p x N
p
N
p P (^) N i i
N i it N i
i
N i
it BD
=
=
=
= =^ =
1 0
1
1
0
(^1) x q
q x N
q
N
q Q (^) N i i
N i it N i
i
N i
it BD
=
=
=
= =^ =
Jesús Sánchez Fernández
Estos índices se han obtenido de la forma siguiente:
107 , 6 111 ,^3112 ,^0120 ,^0
100 , 0 105 ,^0104 ,^0105 ,^0
98 95
97 95
96 95
95 95
S S
S S
P P
P P
105 , 6 106 ,^7120 ,^0106 ,^7
100 , 0 95 ,^097 ,^098 ,^3
98 95 97 95
96 95
95 95
S S
S S
Q Q
Q Q
A su vez, estos índices de precios y cantidades obtenidos por el procedimiento de la media agregativa simple son los que se recogen en la Tabla 6 y que se han obtenido como se indica a continuación:
100 100 , 0 84 26 10 ,^5
98 95 97 95
96 95 95 95
P x P x
P x P x
BD BD
BD BD
98 95
97 95
96 95
95 95
Q x Q x
Q x Q x
BD BD
BD BD
Jesús Sánchez Fernández
Tabla 6. Indices compuestos no ponderado. (Media agregativa simple) (Base 1995=100) PBD QBD 1995 100,0 100, 1996 104,8 98, 1997 107,8 101, 1998 112,2 106,
Como puede observarse, aunque las diferencias sean pequeñas, los distintos índices cambian de valores según el procedimiento utilizado para agregar la información primaria.
Ninguno de estos dos procedimientos tiene en cuenta el peso relativo de cada uno de los inputs a la hora de obtener el índice. Es decir, se calculan sin ponderar los distintos bienes o productos que se están considerando. Además, el método de la media agregativa simple presenta un inconveniente añadido, pues agrega magnitudes que pueden ser muy heterogéneas, como en el ejemplo que estamos tratando.
Los procedimientos señalados en el párrafo anterior se basan en el uso de la media aritmética. En realidad esos índices compuestos se pueden elaborar a partir del promedio que se considere más oportuno, lo que nos da una idea de los distintos procedimientos que se pueden utilizar para construir un índice complejo o compuesto.
5.4. Índices compuestos o complejos ponderados.
A continuación hablaremos de los algunos métodos para obtener índices compuestos ponderados. A diferencia de los métodos anteriores, en este caso se trata de promediar la información inicial haciendo uso de ciertas ponderaciones. Estas deben reflejar la importancia de los precios y las cantidades de cada uno de los bienes que entran en la definición del índice compuesto. Para ello sería buena idea retomar el concepto de valor que se dio en 5.
Jesús Sánchez Fernández
vienen expresadas en las mismas unidades de medidas, por lo que son fácilmente agregables o sumables. Así, si tuviéramos N bienes distintos, entonces la suma de los valores de los mismos sería:
q fijo p fijo p y q variables Σi pi0qi Σi pi1qi . . . Σi p (^) itq (^) i
Σi pi0qi Σi pi0qi . . . Σi p (^) i0q (^) it
Σi pi0qi Σi pi1qi . . . Σi p (^) itq (^) it
Al igual que antes, ahora, la diferencia entre las tres series radica en la componente que cambia, pues por lo demás, tan valores son las unas como las otras. En el primer caso para un bien y en el segundo para N bienes. A partir de estas tres series se pueden obtener índices “simples” aunque de hecho serán índices complejos. Así, si el año base es t = 0 , entonces los índices correspondientes al año t vendrán dados por:
1 0 0
0 1 0 x p q
pq IP (^) N i i i
N t i it i
=
1 0 0
0 1 0 x p q
p q IQ (^) N i i i
N t i i it
=
Jesús Sánchez Fernández
1 0 0
0 1 x p q
pq IV (^) N i i i
N i t it it
=
De las tres expresiones dadas, la (5.10) es un índice de valor en sentido estricto. La (5.9) es también un índice de valor, pero las variaciones de éste vienen motivadas por las variaciones en cantidades, por lo que el mismo puede interpretarse con un índice de cantidades o cuántico. De forma similar puede argumentarse para el primer caso, pero ahora en términos de precios.
Estos índices de precios, cantidades y de valor son índices complejos, pues tienen en cuenta N bienes. Los mismos se han obtenido sumando o agregando los valores de cada bien, por lo que se le conoce como índices agregativos, aunque ahora esa agregación se ha realizado con ponderaciones. En el caso del índice de precios, las ponderaciones son las cantidades, mientras que para el cuántico, las ponderaciones son los precios. Además la agregación en este caso no entraña ningún problema, pues todas las series vienen expresadas en las mismas unidades de medida.
Esta forma de obtener índices da una salida bastante general al problema del cálculo de índices complejos. Sin embargo hay una cuestión que no está cerrada totalmente. Para el caso de los índices de precios hemos supuesto que las cantidades permanecen fijas, pero nos podemos preguntar cuáles son las que deben permanecer fijas. Se podría tomar como valor el correspondiente al año base, como hemos hecho hasta ahora. Pero esto solo es una de las muchas posibles soluciones, pues ese valor fijo puede ser el de cualquier periodo de los considerados. De igual forma se podría razonar para el índice de cantidades en relación a qué precio se deja fijo. De los distintos valores de p y q que se pueden tomar como fijos, en la práctica se ha optado por dos soluciones. La primera consiste en tomar como constantes el precio o la cantidad del tiempo elegido como base, es decir, la opción presentada hasta ahora. A los índices que se elaboran de esta forma se les conoce como índices de Laspeyres. La segunda consiste en tomar como constante
Jesús Sánchez Fernández
1
1
1
(^1 )
1 0 0
1 0 0 0
1 0 0
(^10) x w
Iw x w
w p
p x p q
p q p
p x p q
pq P (^) N i i
N
N i i i i i
N i i i
it N i i i
N i i i i
it N i i i
N
L i it i
=
=
=
=
=
=
=
= =^ = = =
1
1
1
(^1 )
1 0 0
1 0 0 0
1 0 0
1 0 x w
Iw x w
w q
q x p q
p q q
q x p q
p q Q (^) N i i
N i i i N i i
N i i i
it N i i i
N i i i i
it N i i i
N i i it L
=
=
=
=
=
=
=
= =^ = = =
1
1
1
(^1 )
1 0
1 0 0
1 0
(^1) x w
Iw x w
w p
p x p q
p q p
p x p q
pq P (^) N i i
N
N i i i i i
N i i i
it N i i it
N i i i it
it N i i it
N
P i it it
=
=
=
=
=
=
=
= =^ = = =
1
1
1
(^1 )
1 0
1 0 0
1 0
1 x
w
Iw
x
w
w
q
q
x
p q
pq
q
q
x
pq
p q
Q N
i i
N i i i N i i
N i i i
it N i it i
N i i it i
it N i it i
N
P i it it
=
=
=
=
=
=
=
= =^ = = =
Como puede observarse, el índice de precios es la media aritmética de los índices
simples ( i 0
i it
p
I = p ) ponderada por los valores (
wi = pi 0 qi 0 , o bien wi = pi 0 qit ), según se
trate de un índice de Laspeyres o de Paasche, respectivamente. De forma similar ocurre con los índices de cantidad.
Estas relaciones muestran que puede resultar interesante calcular primero los índices simples o elementales de todos los bienes y luego calcular su media aritmética ponderada, lo permite realizar un estudio por separado y después conjuntamente.
Jesús Sánchez Fernández
De todos los índices compuestos que se han definido, los de Laspeyres son los que requieren menos información, pues las ponderaciones son siempre fijas, las del periodo base, mientras que para los de Paasche las mismas varían en cada periodo. Pero esa ventaja que presentan los primeros puede llegar a ser un inconveniente, pues, con el transcurso del tiempo, esas ponderaciones iniciales pueden llegar a quedarse obsoletas, lo que obliga a realizar una renovación de las mismas.
Para concluir este apartado, debemos señalar que los índices definidos debieran satisfacer algunas propiedades de entre las que se van indicar solo dos. La de compatibilidad y la de proporcionalidad. La primera consistente en que si un precio por una cantidad da un valor, también debiera ocurrir con los índices. Sin embargo no ocurre siempre, pues es fácil comprobar que:
PLQL ≠ V; PPQP ≠ V. (5.21)
En cambio si se cumple que:
PFQF = V; PLQP = V; PPQL = V (5.22)
La propiedad de proporcionalidad establece que si en el periodo corriente todos los precios sufren una variación proporcional, el índice debe quedar afectado por esa variación. Esta propiedad la cumplen todos los índices definidos en este capítulo, tanto sin son simples como ponderados.
Ejemplo 3. A partir de los datos de la Tabla 3, obtener los índices de precios de
Laspeyres, Paasche y Fisher.
Para calcular los índices de precios de Laspeyres y de Paasche se puede hacer uso de las expresiones (5.11) y (5.13) o bien (5.17) y (5.19). En este ejemplo se utilizaran las dos últimas, pues, como ya se ha indicado, procediendo de esta forma se tienen también los
Jesús Sánchez Fernández
A partir de los índices recogidos en la Tabla 8 y de las ponderaciones dadas en la Tabla 7 se obtienen los índices compuestos de precios de Laspeyres, Paasche y Fisher de la Tabla 9. Como puede observarse las diferencias entre unos y otros son muy pequeñas, pese a que las ponderaciones sean distintas de un caso a otro. Esto se debe, fundamentalmente, a que el horizonte temporal con el que se trabaja es muy corto, solo cuatro años, por lo que la estructura de precios y cantidades no ha cambiado de forma significativa como para alterar los valores de los índices calculados. Las diferencias entre unos y otros se dan cuando se trabaja con series largas, pues en esos casos si que es posible que cambien las relaciones precios cantidades iniciales entre los distintos bienes.
Tabla 9. Indices compuestos de precios (Base 1995=100) Laspeyres Paasche Fisher 1995 100,00 100,00 100, 1996 104,68 104,68 104, 1997 107,34 107,29 107, 1998 112,15 112,15 112,
A titulo de ilustración vamos a indicar los pasos seguidos para obtener los índices de 1998 con base en 1995.
100 111 ,^324000000112 ,^0125000001203000000
1 95 95
1 95 95 95
98 98 95 =
=
= (^) x p q
p q p
p P (^) N i i i
N i i i i
i L
100 111 ,^325600000112 ,^0150000001203200000
1 95 98
1 95 95 98
98 98 95 =
=
= (^) x p q
p q p
p P (^) N i i i
N i i i i
i P
PF^9895 = PL^9895 PP^9895 = ( 112. 15 )( 112. 15 ) = 112. 15
Jesús Sánchez Fernández
Si se comparan estos resultados con los de la Tabla 8 se observa como el tercer bien que entra en juego, la electricidad en nuestro caso, tiene poca incidencia, pues sus ponderaciones son más pequeñas que las correspondientes a lo otros.
Una vez construidos los índices de precios habría que calcular los de cantidades y los de valor. El procedimiento a seguir para los de cantidades es similar al utilizado para los índices de precios, por lo que se podrían obtener de esa forma. En su lugar ser calcularán haciendo uso de las relaciones dadas en (5.22). Para ello es necesario obtener en primer lugar los índices de valor. Estos se obtienen como un índice simple de la última columna de la Tabla 7. El resultado de estas operaciones se recogen en la Tabla 10.
Tabla 10. Indices de valor y de cantidades (Base 1995=100) Cantidades Valor Laspeyres Paasche Fisher 1995 100,00 100,00 100,00 100, 1996 100,37 95,89 95,88 95, 1997 114,08 106,33 106,27 106, 1998 124,35 110,89 110,88 110,
5.5 Problemática en la construcción de índices complejos.
En los ejemplos de números índices que se han dado en el epígrafe anterior se han obviado un conjunto de problemas, la mayoría de naturaleza práctica, que en el contexto de un ejemplo sencillo no tenía sentido plantear. Sin embargo, hasta llegar a obtener los datos primarios, que nos permiten aplicar ciertas fórmulas para la construcción de los números índices, hay que resolver algunas cuestiones que pueden condicionar de forma decisiva la calidad e incluso la validez de los resultados. Una de ellas tiene que ver con lo que conoce como cobertura del índice. Por tal se entiende el conjunto de variables seleccionadas para la elaboración del índice.
