¡Descarga tema 10, parte 1 y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
TEMA 10. Dinàmica de fluids ideals
10.1. Conceptes generals de reologia
L’estudi de deformacions i fluxos de matèria s’anomena reologia. Casos particulars: hidrodinàmica i aerodinàmica. Per a estudiar el moviment d'un fluid es pot fer de dos formes:
- Dividir el fluid en volums infinitesimals (partícules) i estudiar la posició de cada partícula en cada instant, r^ G^ (t) i a partir d'ací podríem calcular la
velocitat v^ G^ = d r^ G^ /dt i l'acceleració a^ G^ = d v^ G^ / dt. Este mètode va ser desenvolupat per Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) ajudat per Euler. Només és aplicable a casos molt senzills. Daniel Bernouilli (1700-1782)
- Ens fixem en la densitat i velocitat del fluid en cada punt de l'espai i en cada instant, és a dir, descrivim el moviment del fluid especificant ρ(x, y, z, t) i v^ G^ (x, y, z, t) en el punt (x, y, z) i en l'instant t. Qualsevol variable física, per exemple, la pressió, tindrà un valor definit en cada punt i en cada t. Va ser desenvolupat per Leonhard Euler (1707 – 1783). És el que seguirem. Tipus de fluxos Els fluxos es poden classificar en compressibles (ρ variable) i incompressibles (ρ constant). Aproximadament serien compressibles els gasos i incompressibles els líquids. Un mateix gas es pot comportar com compressible o incompressible depenent del moviment (exemple, l'estudi del vol a velocitats molt més xicotetes que la velocitat del so, es pot considerar que la densitat de l'aire és
constant). Estacionaris o no estacionaris : quan (^) v^ G^ = f(x, y, z) no depén de t és
estacionari. Totes les partícules al passar per eixe punt tenen eixa v^ G^. No estacionari és quan v^ G^ = f(x, y, z, t). Rotacional i irrotacional: és rotacional quan hi ha velocitats angulars (com a remolins, anells de fum, ...) Quan ω = 0 és irrotacional: en eixe fluid una roda amb aspes no giraria. Viscós o no viscós: la viscositat (fregament intern) introduïx forces tangencials i pèrdua d'energia mecànica. Algunes vegades és insignificant: llavors parlem de no viscós (és ideal, sense fregament intern. No existix. Neuman l'anomena “aigua seca”). En este tema considerarem el cas més senzill = fluid ideal: estacionari, irrotacional, incompressible i no viscós = RÈGIM DE BERNOUILLI (aplicable a molts casos). Línies i tubs de corrent
Les línies tangents als vectors velocitat s’anomenen línies de corrent. Representen la trajectòria d'una partícula.
- No pot existir moviment de partícules a través d'una línia de corrent
- Dos línies de corrent no poden encreuar-se (suposaria dos direccions distintes). Es poden vore a l'introduir un altre fluid acolorit (com a tinta en l'aigua, fum...) o partícules en suspensió. Servix per a representar gràficament el flux. Tub de corrent o tub de flux = volum del fluid la superfície lateral del qual està formada per línies de corrent. És paral·lel a la velocitat de les partícules. El fluid no pot creuar els límits d'un tub de flux ⇒ es comporta com una
Exercici 1: el cabal d'un riu és de 10 m 3 /s. Calcula la velocitat de l'aigua en dos punts les seccions de la qual són 5 i 20 m^2.
s 1 v1 = G (^) ⇒ 5 v1 = 10 (^) ⇒ v 1 = 2 m/s s 2 v2 = G ⇒ v 2 = 10/20 ⇒ v 2 = 0,5 m/s
10.3. Equació de Bernouilli
És l'equació més important en mecànica de fluids. Suposem un fluid no viscós, estacionari i incompressible en un tub de flux limitat per dos superfícies perpendiculars al flux d'àrees s 1 i s 2 a altures h 1 i h 2 sobre un nivell de referència.
Si P 1 i P 2 són les pressions exercides pel fluid sobre les superfícies s 1 i s 2 respectivament, el treball realitzat per les forces de pressió ha de ser igual a la variació d'energia cinètica i potencial. (O aplicant el principi de conservació de l'energia sense pèrdues per fregament): W + Ec + Ep = constant ⇒ F de + Ec + Ep = constant
P 1 s 1 dl 1 + ½ m v 12 + m g h 1 = P 2 s 2 dl 2 + ½ m v 22 + m g h 2
Com és incompressible ⇒ s 1 dl 1 = s 2 dl 2 = d V P 1 dV + ½ ρ dV v 12 + ρ dV g h 1 = P 2 dV + ½ ρ dV v 22 + ρ dV g h 2
És a dir P + ½ ρ v^2 + ρ g h = constant al llarg d'un tub de corrent ⇒ equació de Bernouilli , presentada en el seu llibre Hydrodynamica en 1738. P = pressió estàtica o manomètrica ½ ρ v^2 = pressió deguda a la velocitat ρ g h = pressió deguda a l'altura Teorema de Bernouilli: “en el moviment d'un fluid incompressible i sense fregament, la suma de la pressió hidrostàtica, la deguda a l'altura i la deguda a la velocitat és constant en tots els punts del corrent fluid”.
Cas particular: si v = 0 ⇒ P 1 + ρ g h 1 = P 2 + ρ g h 2 ∆ P = P 1 - P 2 = ρ g ( h 2 - h 1 ) Equació de l'estàtica
L'equació de Bernouilli només val per a ρ constant (per tant generalment no per als gasos) i líquids sense viscositat. Si hi ha fregament cal afegir un terme treball/volum per a véncer el fregament: s´anomena pèrdua de càrrega.
Exercici 2. La figura mostra l'extrem d'una mànega de bombers que reduïx el diàmetre d'esta de 6,4 cm a 2,5 cm. La velocitat de l'aigua en la mànega és 4 m/s Quina és la pressió del fluid en la mànega?
Prenem 1 dins de la mànega abans de l'estretiment i 2 després. s1 v1 = s 2 v2 ⇒ π (3,2·10-2^ ) 2 ·4 = π (1,25·10-2^ ) 2 · v 2 ⇒ v 2 = 26,2 m/s Bernouilli: P 1 + ½ ρ v 12 = P 2 + ½ ρ v 22 ; P 2 = Patm Pman = P 1 - Patm = ½ ρ (v 22 - v 12 ) = ½ 1000 (26,2^2 – 4^2 ) = 335220 Pa
P 1 + ½ ρ v 12 + ρ g h 1 = P 2 + ½ ρ v 22 + ρ g h 2
