¡Descarga TEMA 6. Elasticitat ∫∫ y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
TEMA 6. Elasticitat
6.1. Forces intermoleculars
Fins ara, hem parlat de partícules ideals, sòlids ideals,..., però realment la matèria està composta per àtoms. El primer a parlar d'àtoms va ser Demòcrit (àtom en grec significa indivisible) en l'antiga Grècia. Però no tenia cap prova experimental. Dalton, en el segle XIX torna a recuperar les idees de Demòcrit. Però és Rutherford el que, demostra l'existència dels àtoms, en 1911, per mitjà del seu experiment consistent a bombardejar una fina làmina d'or amb partícules α (He+^ ) observant que la majoria seguien la seua trajectòria rectilínia, algunes es desviaven lleugerament (al passar prop d'un nucli) i molt poques rebotaven (les que xocaven amb un nucli). (^) Robert Hooke (1635-1703) Per a fer-nos una idea de com és un àtom, si un àtom fóra tan gran com una plaça de bous, el seu nucli seria un pilota de tenis en el centre i els electrons serien com a mosques volant per les grades. O siga que la màxima concentració de matèria, l'àtom, està ocupada pel buit en la seua immensa majoria. Els àtoms formen enllaços entre ells donant lloc a les molècules.
Les molècules exercixen forces entre si: forces intermoleculars, d'origen electromagnètic. Si s'acosten molt dos molècules de forma que les seues càrregues exteriors s’ajunten, apareixen forces de repulsió (açò explica que quan dos molècules d'un gas xoquen, el xoc és com el de les boles de billar). Podríem descriure les forces intermoleculars per mitjà de la gràfica de la seua energia potencial en funció de la distancia r entre elles, Ep (r), suposant una molècula fixa en r = 0. Com es pot veure en la gràfica, apareix un mínim en r 0. En un sòlid, l'energia total de les molècules és xicoteta i es troben vibrant al voltant de r 0. Si subministrem energia, (per exemple calfant) de forma que l'energia mitjana de les molècules siga major que E 0 , es passa a l'estat líquid, i d'ací al gasós. En un sòlid, independentment de la funció exacta d'Ep, al voltant de r 0 presenta una dependència harmònica.
Desenvolupant Ep (r) al voltant de r 0 i tenint en compte que ^ ^ = (^) ro
dEp (^0) dr ^ o (^) o
(^22 ) (^0) r 0 2 0 0 r
Ep(r) = Ep(r ) + dEp^ (r-r ) + 1 d Ep^ (r-r ) +... = E + 1 kx dr (^2) dr 2
On k =
2 2
d Ep dr és una constant positiva i x = r - r^0 és el desplaçament respecte a la posició d'equilibri.
Com a F = − d Epd r = - k x les equacions són com les del m. a. s.
F > 0 per a x < 0 F F F < 0 per a x > 0 r 0 x
És a dir, les molècules estan vibrant al voltant de la seua posició d'equilibri. Per
exemple, l'acer a temperatures molt baixes és fràgil): a l'abaixar la temperatura descendix la plasticitat. Es parla de plasticitat en cossos cristal·lins. Els amorfos (exemple, vidre) no es poden deformar plàsticament; són fràgils i trencadissos. Poden fluir lentament (vidrieres de les catedrals) ja que són líquids de gran viscositat. En resum, fins ara hem vist que tot esforç produïx una deformació. Robert Hooke (1635 – 1703) es va donar compte que “hi ha una proporcionalitat entre la causa i l'efecte, quan la matèria és elàstica”. Per tant
esforç = constant · deformació ⇒ llei de Hooke (sempre que E < EL )
(com a molls F = k x) Al quocient entre la deformació i l´esforç se li anomena coeficient d'elasticitat. Al quocient entre l´esforç i la deformació se li anomena mòdul d'elasticitat. Els dos depenen del material i del tipus de deformació
6.3. Tracció. Mòdul de Young. Coeficient de Poisson
El tipus d'esforç més senzill sobre un sòlid, és dos forces en la mateixa direcció i sentits oposats que tendixen a estirar-lo i comprimir-lo: esforç de tracció i de contracció. L´allargament ∆l és proporcional a l L´allargament ∆l és inversament proporcional a s (cal estirar més alineacions o files d'àtoms). Per tant, si la deformació es l´allargament relatiu ∆l^ l, i
l´esforç de tracció = Fs , serà:
F
s l l
= mòdul elàstic per a la tracció = E ( mòdul de Young )
E depén del material; les seues unitats són N/m^2 = Pa. En materials homogenis, E és igual per a la tracció que
per a la contracció. ∆ l (^) = 1 F l E s
Exemple 1. A un fil de coure de mòdul de Young 11·10 10 Pa i radi 1 mm, se li penja un objecte de massa 10 kg que li provoca un allargament de 0,65 mm. Determina la longitud primitiva del fil.
∆ l (^) = 1 F l E s ⇒^ l =
E s ∆ l F =
11·10^10 π10 ·0,65·10^6 -
98 = 2,29 m
A més, quan la vareta s'allarga, el seu radi disminuïx i al revés. − ∆r r és proporcional a^
∆ l l per a sòlids elàstics isòtrops. A la constant de proporcionalitat se li anomena coeficient de Poisson σ σ = − ∆∆^ r/rl/l (li posem el signe menys perquè σ és positiu). Per tant
∆r (^) = - σ F r E s Tots els esforços són combinació d'estos, per tant tots els mòduls i constants són funció de E i de σ. E és un mòdul d'elasticitat, en N/m^2 ; no té límits. σ és un nombre adimensional; varia entre 0 i ½.
Exemple 2. A un fil d’aram de metall de 75 cm de longitud i 0,13 cm de diàmetre s’allarga 0,035 cm quan se li penja una càrrega de 8 kg. Calcula el mòdul de Young i quant varia el seu diàmetre (σ = 0,2)
∆ l (^) = 1 F l E s ⇒^ E =^
F l s ∆ l = 1,27·
(^11) Pa
- ∆r^ = σ ∆l r l ⇒^ ∆r = - σ^ r^ ∆l l ;^ ∆^ d = 2^ ∆^ r = - 1,21·
-7 (^) m
Quan siga ^ ^ ^ ^ ^ (^) x (^) y z
F = F = F = F
s s s s ⇒^
∆V (^) = 3(1-2σ) F V E s
Si anomenem Q = 3(1-2Eσ) = mòdul de compressibilitat (en N/m 2 com E),
- per a TRACCIÓ serà ∆VV = Q^1 Fs
- per a COMPRESSIÓ (pressió uniforme en totes les cares; exemple, un sòlid
en el fons d'una piscina) ∆VV = - Q^1 Fs ⇒ ∆VV = - ∆QP on ∆p = P – P 0 sent P la
pressió dins i P 0 la pressió normal fora.
Esta fórmula és vàlida també per a fluids (de totes les deformacions estudiades en este tema, és l'única a la que es poden sotmetre els fluids).
6.5. Esforç de cizalla
La deformació per cisalladura es produïx a l'aplicar forces tangencials sobre cares oposades, romanent el volumn, V més o menys constant.
En este cas la deformació
relativa serà ∆l^ x = tg α ≈ α (ja que quan α es ≈ 0 ⇒ tg α ≈ α).
La causa deformadora dividida entre la deformació relativa serà ara: F/s α =^ μ^ =^ mòdul de cisalla o rigidesa. α =^1 F μ s ⇒^ sent (sense demostració)^ μ = E 2 (1 + σ) en N/m
6.6. Torsió
Si tenim un cilindre de radi r i longitud l fix en una base i el retorcem, açò s’anomena elasticitat per torsió. En este cas la deformació serà β. L´esforç serà ara el moment M (moment del parell de forces M = 2 r F, o, si es una força a soles, el moment de la força r F). La causa deformadora dividida entre la deformació relativa serà ara: M β =^ R = mòdul de torsió^ de la barra.
β = 1 M R sent (vore Catalá)
π r 4 π r 4 E R = (^) 2 l μ = 2 l 2(1+σ) (en N m)
L'eix i part central del cilindre no s'oposen a la torsió; s'anomena matèria neutra o fibra neutra. Per això es fan buits (per exemple, els ossos).
Flexió
En general la deformació és (dibuix) x = c (^) f · F sent cf la constant de flexió. Hi ha dos casos distints: a) Un tauler subjectat per una cara (tipus trampolí) sobre el qual es fa una força en la cara contraria
3 f (^3) c =^4 l E (^) b d
Taula
SUBSTÀNCIA E (Pa) TRACCIÓ CONTRACCIÓ σ
LÍMIT DE RUPTURA (F/s MÀXIMA) (N/m^2 ) TRACCIÓ COMPRESSIÓ Acer 20·10^10 0,29 520·10 6 Alumini 7·10 10 0,34 90·10 6 Coure 11·10 10 0,35 2,5·10 8 Ferro forjat 19·10^10 0,28 - Ciment 1,4·10^10 2,3·10^10 - 2·10^6 17·10^6 Os 1,6·10^10 0,9·10^10 - - 270·10^6
