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Tema 3. El espacio vectorial. Ortogonalidad
y mínimos cuadrados.
3.1 Producto escalar y norma. Ortogonalidad.
3.2 Método de los mínimos cuadrados.
3.3 Bases ortonormales. Matrices ortogonales.
n
Escuela Politécnica Superior de Sevilla, Grados en Ingenierías Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica, Matemáticas I.
3.1 Producto escalar y norma. Ortogonalidad.
n 1 1
1 1 1
Si ( ,..., ) y ( ,..., ) son dos vectores cualesquiera de su
producto escalar es:
( ,..., ) ( ,..., )
n n
n
n n i i i
u u u v v v
u v u u v v u v
(^)
Definición
n con este producto escalar se llama espacio euclideo n-dimensional.
Observación :
n Sean , , , cualesquiera. Se verifica:
a)
b) ( ) +.
c) ( ) ( ).
d) 0, y 0 0.
u v c
u v v u
u v w u w v w
cu v c u v
u u u u u
Proposición
3
n 2 2 2 1 1
n
2 2 2 1 1 1
a) La norma de un vector es
b) La distancia entre dos vectores , viene dada por:
d( , ) ( ) ( ) ( )
n
n i i
n
n n i i i
u u u u u u u
u v
u v u v u v u v u v
Definición
n
(desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Dados u v , , entonces: u v u v
Teorema
Dos vectores , son ortogonales si 0.
Dados dos vectores no nulos , , se dice que es el ángulo que forman
si es [0, ] , verifica cos =
n
n
u v u v
u v
u v
Ortogonalidad y ángulo de dos vectores
u v
(desigualdad triangular)
u u
ku k u
u v u v
Propiedades de la norma
d u v u v
d u v d v u
d u v d u w d w v
Propiedades de la distancia
n^2 2 Sean u v , dos vectores ortogonales, entonces: u v u v
Teorema de Pitágoras
n 1
2 2 2
1 1
En general si ,..., (^) p son vectores ortogonales dos a dos, se tiene:
p p
u u
u u u u
Corolario
7
- es un subespacio vectorial.
- dim dim.
Proposición
E
E E
E E n
1 1 2 3 4 1 2 4
2 1 2 3 4 2 3 4
Sea , , donde (1,1, 0,1), (0, 1,1,1). Halla una
base de.
0 ( , , , ) (1,1, 0,1) 0 + 0 si 0 ( , , , ) (0, 1,1,1) 0 0
Ejemplo : E L v v v v
E
x v x x x x x x x x E x v x x x x x x x
^ ^ ^ (^) (^) ^ ^ ^ ^ ^
1
1 2 4 2
2 3 4 3
4
3 4
2
( 1,1,1, 0), ( 2,1, 0,1)
la base pedida es: , ( 1,1,1, 0), ( 2,1, 0,1) E
x
x x x x E L x x x x
x
B v v
^ ^ (^) ^ ^
Nota: Puede probarse que ( E ) E.
8
Proyección ortogonal
E
E
u
u 1
u 2
u u 1 (^) u 2
n n
1 2 1 2
Si es un subespacio vectorial de entonces todo vector se puede
expresar de manera única como , siendo y.
E u
u u u u E u E
1 2 1 2 1
1
2
Si , con y , el vector se denomina proyección
ortogonal de sobre , y se escribe: proy.
Análogamente: proy es la proyección ortogonal de sobre.
E
E
u u u u E u E u
u E u u
u u u E
n n n , y 0 suma directa de y : ,
y dim dim.
E E E E E E E E
E E n
9
Dados los subespacios 1 , 2 , y 3 , 4 del ejemplo anterior.
Determina la proyección ortogonal del vector (1,1,1,1) sobre dichos subespacios.
E L v v E v v
u
Ejemplo :
1 0 1 2
1 1 1 1 La ecuación del cambio de base es: , siendo: 0 1 1 0
1 1 0 1
u Pu B P
^ ^
1 2
1 1 2 3 4
1 1 2
1 2 1 2
2 3 4
1 2 1 2
, siendo y
Observación: 1) 2) =
B B B u u
B
u P u u v v v v
u v v
u u u u E u E
u v v
u u u u u
^
^
4 Base de : 1 , 2 , 3 , 4
B B E BE v v v v
B
Espacios fundamentales de una matriz y ortogonalidad.
Sea ( ), se verifica: a) ( ) ( ). b) ( ) ( ).
t A (^) m n N A F A N A R A
Teorema
M
Sea. Determina ( ) y ( ), a continuación 1 1 4
expresa el vector (3,3,3) como suma de un vector de ( ) y otro de ( ).
A N A F A
v N A F A
Ejemplo :
^
3
3 1 1
2 3 2 3
( ) : 0 , siendo ( 2, 2,1).
( ) , , siendo (1, 0, 2), (1,1, 4).
N A N A N A F A
N A x Ax L u u
F A L u u u u
3
1 ( ) 1 2 3 2 ( )
2 1 1
( 2, 2,1), (1, 0, 2), (1,1, 4) es una base de , siendo 2 0 1
1 2 4
proy (2, 2, 1) ( 1, 0,1) 0 proy (1,1, 4)
B
N A B B F A
B x P P
x x x u u u x x
^ ^
13
E b b 1 (^) sería el menor error posible: b b 1 b w para todo w R A ( ).
b
b 1 R(A)^
R(A)
b
b 1
w
b-w
Cálculo de los coeficientes de b 1 (^) proy (^) R A ( ) b : ( 1 ,..., (^) n )
1 (^ )^1 (^ )^ (^ )^ (^1 )^01
t t t t
b R A b b R A N A A b b A b A b
si sustituimos: 1 , queda finalmente:
t t b A A A A b
La solución de este sistema determina los coeficientes de la proyección
ortogonal de b sobre el espacio columna de R(A).
b b 1 (^) R A ( )
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Sea ( ) : , el sistema ( ) : se denomina sistema normal
asociado y nos determina los coeficientes de la proyección ortogonal de
sobre el espacio columna de.
t t S Ax b SN A Ax A b
b
A
Teorema
- Si ( ) es compatible, sus soluciones coinciden con las del sistema normal
asociado ( ).
- Si ( ) es incompatible, podemos usar la solución del sistema ( ) como
solución apro
S
SN
S SN
Observaciones :
ximada de ( ).
- La solución del sistema ( ) se denomina pesudosolución o solución en
el sentido de los mínimos cuadrados de ( ).
- El sistema ( ) es un sistema cuadrado con incógnitas, y si
S
SN
S
SN n empre es
compatible, pues la proyección ortogonal siempre está determinada.
Si las columnas de son l.i. , ( ) y la solución de ( ) es única.
Si las columnas de son l.d., ( ) ,
t
t
A rg A A n SN
A rg A A n
! y la solución de ( ) no
es única.
SN
15
5 7 (^1 ) 7
2 1 1 14 El error cometido es: E= 0 1 1 7 2 2 1
b b b Ax
^ (^) ^
1 2 1 1 2 2 1 2
Resuelve el sistema ( ) en el sentido de los mínimos cuadrados.
2 1 1 2
( ) : 0 ( ) : 1 1 0
2 2 2 1 2
( ) :
t
S
x x x S x x S Ax b x x x
SN A Ax
^ ^ (^) ^ ^
Ejemplo :
1
2
5 1 1 7 6 2 2 7
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 2 2 1 2
6 2 6 ( ) : 2 3 4
El sistema ( ) es incompa
t
t t
x A b x
x x SN A Ax A b x x
S
(^) (^) (^) ^ ^ ^ (^)
(^) (^)
tible: ( ) 2, ( | ) 3.
La solución de ( ) es una solución aproximada de ( ).
rg A rg A b
SN S
3.3 Bases ortonormales. Matrices ortogonales.
n Un conjunto de vectores de se denomina sistema ortogonal si sus vectores
son ortogonales dos a dos.
Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma uno se denomina
sistem
Definición
a ortonormal.
n Una base de un subespacio vectorial de es ortogonal (ortonormal) si
es un conjunto ortogonal (ortonormal).
B B
Definición
Todo conjunto 1 ,..., ortogonal de vectores no nulos es linealmente
independiente.
H u u p
Proposición
Todo conjunto H u 1 ,..., up ortonormal de vectores es l.i.
Corolario
19
1 2 1 2
2
Sea , , donde (1, 0), (2, 2). Hallar, a partir de
ella, una base ortonornal de.
Ejemplo : B u u u u
1 1
2 2 1
2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1
Base ortogonal:
v u
v u v
u v
v v u v v u v v v
v v
1 1
2 1
2
1 2 1 2
luego (2,2) 2(1,0) (0,2)
v v
u v
v
B v v v v
'^ ^
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Base ortonormal:
v v
w w B w w w w
v v
4 1 2 3 1
2 3 1 2 3
Sea , , un subespacio de , con (1, 2, 0,1),
( 1, 0, 0, 1), (1,1, 0, 0). Sabiendo que , , es una base
de hallar, a partir de ella, una base ortonormal de dicho subespac
W L u u u u
u u B u u u
S
Ejemplo :
io.
' 1 2 3
1 1
2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1
2
Base ortogonal: , ,
B W v v v
v u
v u v
u v v v u v v u v v v v v
v v u v
v
2 1 1
u v
21
3 3 1 1 2 2
3 1 3 1 3 1 1 2 2 1 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1
3 2 3 2 3 1 1 2 2 2 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2
2
v u v v
u v v v u v v v u v v v v v v v
u v v v u v v v u v v v v v v v
v
2 3 1 3 2 1 2
3 3 1 2
v u v u v
v u v v
' 1 2 3
1 2 3
B W v v v
v v v
'' 1 2 3
1 1 1 2 2 2
Base ortonormal: , ,
B W w w w
v w v v w v
^
^ ^ ^ ^ ^
3 3 3
v w v
^ ^
^ ^ ^
