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1
Variables aleatorias
Apuntes adaptados por Gloria Cabrerapara las asignaturas de Estadística en lastitulaciones de Grado en Química yGrado en Ingeniería Químicaa partir del documento de origen:http:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html
Una
variable aleatoria
X
es una
función
que asocia a
cada suceso del espacio muestral
E
de un experimento
aleatorio un valor numérico real:
w
X
E w
X
→^ →
R
La variable aleatoria puede ser discreta o continua.
Variables aleatorias
Establecer una variable aleatoria para un experimento aleatorio no es masque una manera de asignar de "manera natural" números a los eventos.
3
Ejemplo:
Número de caras al lanzar 3 monedas.
Elementos delespacio muestral
+++
++C
+C+
C++
CC+
C+C
+CC
CCC
Nº reales(# de caras)
0
1
2
3 caras
Ley de correspondencia
w
X
E w
X
R
Variable aleatoria discreta
Voy a pensar un número entero del 1 al 100.“¿Qué numero será?”Intentaremos representar el estado de incertidumbremediante una función matemática: la
función de
probabilidad.
1 2 3
99 100
X
P 1/
........
Función de probabilidad
5
En muchos casos asumimos que todos los resultados deun experimento aleatorio son igualmente posibles.Si X es una variable aleatoria que representa los resultadosposibles del experimento, decimos que X
se distribuye
uniformemente
.
Si el espacio muestral consta de n sucesos simples,0 < n <
, entonces la función de probabilidad discreta se
define como p(x) = 1/n para todo x del espacio muestral.
Distribución uniforme discreta
Supongamos que me preguntáis si es par.Y respondo que no. ¿Cómo modifica la función?
1 2 3
99 100
X
P 1/
........
7
Función de masa de probabilidad Una vez definida una variable aleatoria
X
, podemos definir
una
función de probabilidad
p
o
función de masa de
probabilidad
asociada a
X
, de la siguiente forma:
] 1
0 [
x X P x p x p
R
La función de probabilidad p debe cumplir:
∑
≤ x
x
p
ii
x
x
p
i
(^
R
(Suma sobre todos los posibles valoresque puede tomar la variable aleatoria).
Función de probabilidad discreta
Valores
Probabilidad
Z
Z Z
Z
w
X
E w
X
R
] 1
[
x X P x p x p
R
13
Función de distribución (acumulada) Dada una variable aleatoria discreta
X
se llama
función de distribución
a la función
F
definida
como:
)
(
) (
] 1 , (^0) [
:
x X P x F x F ≤
=
→ → R
En nuestro ejemplo de los dos dados:F(5) = P(X
≤^
5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)
F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/
x
1,0 0,5 0,
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
F
Función de distribución de la variable aleatoria X
15
Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad p(x) y la funciónde distribución F(x) de una variable discreta definidacomo:
X = Número en la cara de un dado.
X^
tiene como posibles valores
x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada
uno con probabilidad 1/6 16 0
1
x
p(x)
(^1) 0.
1 0 F(x)
x
6
6
Función de probabilidad p(x)
Función de distribución F(x)
Algunos problemas de probabilidad están relacionadoscon la probabilidad
P
( a
X^
≤^
b ) de que
X
asuma algún
valor en un intervalo
(a, b]
. Observa que:
P
( a
X
b
F
( b
F
( a
Para demostrarlo observa que, como los sucesos X
a
y a
< X
b
son mutuamente excluyentes, entonces:
F (
b ) =
P
( X
b
P
( X
a
P
( a
X
b
=^
F (
a ) +
P
( a
X
b
En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad deque los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8:
P
X
F
F
17
Algunas propiedades de la función de distribución
0 ) (
)
(
lim ) (
lim ) (^
= ∅ = ≤ = =
−∞
−∞ →
−∞ →
P x X P x F F
x
x
1 ) (
)
(
lim ) (
lim ) (^
=
=
≤
=
=
+∞
+∞ →
+∞ →
E P x X P x F F
x
x
) (
) (
)
(^
1
2
2
1
x F x F x X x P
−
=
≤
<
F
es
monótona creciente
F
es
continua por la derecha
: la probabilidad de
que la variable aleatoria discreta
X
tome un valor
concreto es igual al salto de la función de distribuciónen ese punto.
18
Esperanza matemática
o
media
de una función de probabilidad discreta
(^
)^
) (
)
(^
i
i
i
i
i
i^
x p x x X P x X E
∑
∑
=
=
=
= μ
X -1^0123
P(X)
X P(X)
Siempre que no genereambigüedad pasaremosde arrastrar la variablealeatoria: en vez de poner X = x
ponemos i^ directamente
x^ i .
19
Calcular la esperanza de la variable aleatoria
X
en
el ejemplo de los dos dados:
12
2
∑= x
x x P X E μ
20
Sean a, b y c constantes. Demuestra que:
c
c E
= ) (
)) ( (
)) ( (
)) (
) ( (^
2
1
2
1
x P E x P E x P x P E
=
(1) (3)
b
X aE
b
aX E
=
) (
)
(
(2)
(^
)^
(^
)
(^
)^
(^
)) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
2
1
2
1
2
1
2
1
x P E x P E x X P x x X P x
x X P x X P x x P x P E
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=
=
=
= = + = = +
∑
∑
∑
( )
c c
c E
= ⋅ =
=
1
μ (1)
(2)
25
Ejemplo
X -1 0 1 2 3
P(X)^ .1.2.4.2.
-2-1^012
(^
2 μ − X^
(^
2
X
P
X^
⋅
∑
=^
i
i
i^
x
P
x^
(^
2
2
(^
=^
X
Var
μ − X
Calcula la varianza y desviación típica de la variablealeatoria X en el ejemplo de los dos dados:
(^83) , 5 ) 7
(^12) ( (^136) ... ) 7 (^3) ( (^236) ) 7 (^2) ( (^136)
) 7
( ) (
) ( Var
2
2
(^122) 2
2
= − ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
=
− ⋅
=^
∑= x
x x P
X
(^41) , 2
(^83) , 5
) (^
=
=
=
X
Var
σ
27
Algunas propiedades de la varianza
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)) ( ( ) ( 2 ) ( ) (
2
) (
) ( )
2
(
) ( ) ( ) (
X E X E X E
x p x x p x
x p x
x
x p
x
X
Var
i^
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
i
i
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
∑
∑
∑
∑ μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
σ
))
( (
)
(^
X E
X E
−
=
σ
Variable aleatoria continua
29
Imaginemos una ruleta de la fortuna con un perímetro circularde longitud 1. Como la flecha puede señalar
infinitos valores
no numerables
, todo resultado tiene
probabilidad 0
. ¿Cómo
podemos definir entonces probabilidades?Podemos hacerlo asignando probabilidades a intervalos, p. ej.:la probabilidad de que el resultado esté entre 0 y 0,5 es 1/2,puesto que se trata de la mitad del círculo.¿Cómo podemos representarlo mediante una gráfica?
)^ Área = 1
( xp
x
0
1
1
x
x
x
x
p
30
) ( xp
x
0
1
1
a^
b
La probabilidad de queobtengamos un valor entrea y b es b - a.
) ( xp
x
0
1
1
a
El área sobre un punto como a,es cero.
Alturas
frecuencias
140
160
180
200
220
50 40 30 20 10 0
Alturas
frecuencias
140
160
180
200
220
40 30 20 10 0 Histograma de frecuencias delas alturas de 100 varones
31
Histograma de frecuencias de lasalturas de 1000 varones
Definimos la
función de densidad
f (
x ) para una variable
continua. Vamos a dar una idea intuitiva de este conceptoa través de un ejemplo sencillo.
32
Alturas
frecuencias
140
160
180
200
220
2402001601208040 0
Gráfico de frecuencias de lasalturas de 10000 varones
Llega un momento en el que la muestraes tan grande que se puede sustituir elperfil del histograma por una curvadenominada función de densidad
Función de densidadcorrespondiente a la altura de losvarones
≤^
170 (^
Estatura
P^
Área bajo la curva (zona sombreada)
b a
dx x f
b X a P^
37
Esperanza matemática o media
∑ ∞^ ∫∞−
continua) ión
(Distribuc
μ
discreta) ión
(Distribuc
μ
dx x f x
x p x j
j j
Decimos que una
distribución
es
simétrica
si existe un valor
c
tal que para cada real
x:
p^
( c
x
p
( c
-^
x ).
Observa que si una distribución es simétrica con respecto a
c,
entonces su media
μ
es
μ
c.
38
Varianza y desviación típica
∑ ∞^ ∫∞−
continua) ión
(Distribuc
μ) (
σ
discreta) ión
(Distribuc
μ)
(
σ
2
2
2
2
dx x f
x
x p
x j
j
j
La desviación típica o estándar es el valor positivo de la raízcuadrada de
σ
- Ambas miden la dispersión de la distribución.
Observa que la varianza siempre es
σ
2 > 0, excepto para una
distribución con
f (
x ) = 1 en un punto y
f (
x ) = 0 en el resto
(una delta de Dirac), en cuyo caso
σ
39
Propiedades Si
a y b
son constantes y
X
e Y
variables aleatorias:
E (
aX
)=
aE
( X
)^
Var
( aX
)=
(^2) a Var
( X
)
E (
X +
b )=
E (
X )+
b^
Var
( X
)=
Var
( X
)
E (
X +
Y )=
E (
X )+
E (
Y )
Var
( X
)=
Var
( X
)+
Var
( Y
)
si son independientes
E (
X-Y
)=
E (
X )-
E (
Y )
Var
( X
)=
Var
( X
)+
Var
( Y
)
si son independientes
40
caso otro en 0
si 1 ) , ( ) ( ⎧^ ⎪⎨ ⎪⎩
≤ ≤
−
=^
b x a a b b a U x
Distribución de probabilidad uniforme U(a,b) f
Área = 1
) ( xf
x
(^1) b a −
a^
b
Función de densidad de probabilidad:
∫∞−
x
dt
t
f
x
F^
R x ) ( ) (
−^ −
b x
b x a a b
a x^
a x
x F
Recordemos que la función dedistribución se define como:Entonces:
caso^41
otro
en
si
⎧^ ⎪⎨ ⎪⎩
=^
b x a a b x f
b
x
b
x
a
a
b
a
x^
a
x
x
F
Igualmente, partiendo de la función de distribución:Podemos calcular la función de densidad de probabilidad:
(^
x
f
dx
x
dF
42
a b
x x ) x x
P(x
− −
≤ ≤
2 1
2
1
≤^
x
) P
( xf
x
41
45 47
42 47
41
1 2
− −^
=
Area= 0.
f^
x
para
x
para
(^ )^ =
−^
≤^
≤
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1 47
41
41
47
0
el resto de valores
Ejemplo:
1 47
41
1 6
−^
=
45
42
Calcula laprobabilidad
≤^
x
P
43
μ
2 2
2
b a a b
a b
a x b
dx a b x^
b a
b a
=^
2
2
2
a b σ ; a) (b dx a b b a x σ
b a
⎛^ ⎜ ⎝
=^
0
1
1 f ( x )
x
(^2) (σ =1/12)
0
1
1 p ( x
)
x
(^2) (σ =3/4)
2
Nota:
Observa que estas distribuciones tienen la misma media pero distinta
Calcula la media, la varianza y la desviación típica de la distribuciónde probabilidad uniforme. varianza. Mayor varianza implica mayor dispersión alrededor de la media.
44
