Variables aleatorias, Apuntes de Biología

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Tema 3. Variables aleatorias

M. Carmen Carollo Limeres Pedro Faraldo Roca

Variable aleatoria. Variable aleatoria discreta

En relación con un experimento aleatorio podemos introducir el concepto de variable aleatoria, que no es más que una aplicación que a cada posible resultado del experimento le hace corresponder un número. Estudiaremos los distintos tipos de variables aleatorias, lo que nos permitirá manejar los modelos estadísticos para describir los posibles resultados de un experimento aleatorio y asignar probabilidades a aquellos sucesos que nos interesen.

• 3.1 Variable aleatoria unidimensional. Función de distribución.
• 3.2 Variable aleatoria discreta. Momentos.
• 3.3 Principales distribuciones discretas.
  • Distribución Uniforme
  • Distribución Binomial
  • Distribución de Poisson
  • Distribución Hipergeométrica
  • Distribución Multinomial o Polinomica

3.1 Variable aleatoria

Una variable aleatoria es una aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral un número.

Podemos distinguir entre:

Variables aleatorias discretas

Variables aleatorias continuas

3.2 Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es discreta si sólo toma un nº finito (o infinito numerable) de valores.

Masa de probabilidad

Si x 1 ,...xk son los posibles valores que toma una variable aleatoria discreta X , al

conjunto de probabilidades:

p 1 =P(X=x 1 ),...,pk=P(X=xk)

se le denomina función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X.

Se verifica que

1

k i i i

p p i k 

^ ^ ^ 

Propiedades de la Función de distribución

1.^0 ^ F x ( )^^ ^1   x^ R

2. F es no decreciente x 1^ ^ x 2^ ^ F x (^2^ )^  F x (^1 )
3. F(+)=1 y F(-) = 0
4. F es continua por la derecha
5. P x (^1^ ^ x^ ^ x 2^ )^ ^ F x (^2^ )^ ^ F x (^1^ )^ ;^  x^1^ , x 2^  R

Ejercicio:

Consideremos el experimento aleatorio E= "observar el sexo de los hijos de una familia con 3 descendientes"

En relación con la variable aleatoria: X=" número de hijos varones "

 Obtener su masa de probabilidad y su función de distribución.

Propiedades de la media y de la varianza

Si X es una variable aleatoria y c es una constante, entonces:

_1. E(c) = c

2. E(c+X) = c+E(X)
3. E(cX) = c E(X)_
4. E(X+Y) = E(X) + E(Y) 1. Var(X) ≥ 0 Var(c) = 0 2. Var(c.X) = c^2 Var(x) 3. Var(X+c) = Var(X) 4. Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) Si X e Y son independientes (*) 5.- La varianza también se puede calcular como: 2 2 2 2 2 1

k X X i i X i

 E X  x p  

   (^)  

Ejercicio:

Los animales atendidos en una clínica veterinaria pueden requerir el internamiento en dicho centro durante 0, 1, 2, 3 ó 4 días, con probabilidades respectivas 0’4, 0’3, 0’05, 0’2 y 0’05.

El precio que cobra la clínica por la atención de un animal es de 300+CX euros, donde C es una cantidad constante y X representa el número de días de estancia en la clínica.

Determinar el valor de C de manera que el precio medio cobrado por la clínica por la atención de un animal sea de 600 euros.

3.3 Principales distribuciones discretas

Veremos casos particulares de variables aleatorias discretas cuya masa de probabilidad y función de distribución son sencillas de obtener y de gran utilidad en numerosos problemas aplicados.

Distribución uniforme

Si X toma los valores {x 1 ,…,xn} y todos ellos tienen la misma probabilidad, entonces se dice que X tiene una distribución Uniforme : X ~ U {x 1 ,…,xn}.

En este caso todos los valores tendrán probabilidad: P(X=xi) = 1/n

Si los valores que toma son 1,2,…,n, entonces:

2

1

( ) 1 1 ( )^1 2 12

n i i

E X x n^ Var X n  n

  ^   

Experimento de Bernoulli

Presenta sólo dos posibles resultados: éxito / fracaso , sano/enfermo.

Llamaremos éxito a la ocurrencia del suceso A que nos interesa estudiar, y fracaso a la no ocurrencia.

Se verifica que la probabilidad de éxito p = P (A) se mantiene constante al repetir el experimento.

Distribución Binomial

Supongamos que repetimos el experimento de Bernoulli n veces en las mismas condiciones. Se verifica entonces que:

• El resultado de cada prueba es A (éxito) ó Ac^ (fracaso)
• En cada prueba, las probabilidades de que ocurran A y Ac^ son respectivamente p y q = 1-p
• Cada prueba es independiente de las demás

Consideremos la variable aleatoria: X= “nº de éxitos en n pruebas de Bernoulli”

Esta variable seguirá una distribución Binomial de parámetros n y p y se denota por Bi (n, p)

Masa de probabilidad de una distribución binomial

La variable X puede tomar los valores {0, 1,2,….., n-1, n} y la función de masa de probabilidad es:

E(X) = np

Var(X) = npq = np(1-p)

B

i nomiales con n=5, n=60 y p=1/

 

! ( ) 0,1,..., !!

P X k n^ p q^ k^ n^ k^ n p qk^ n^ k k n k (^) k n k

  ^ ^ ^      (^)   

Proceso de Poisson

Consiste en observar la aparición de un suceso en una unidad de tiempo (volumen, superficie, mes, etc.). Se supone que:

 El número medio de veces que ocurre el suceso, por unidad de tiempo, se mantiene constante. λ =nº medio de ocurrencias

 El conocer el nº de veces que ocurre el suceso en una unidad de tiempo no aporta información acerca de lo que va a ocurrir en el intervalo de tiempo siguiente. Independencia.

Distribución de Poisson

X = “nº de ocurrencias de un suceso A en un intervalo de tiempo”

Esta variable toma los valores {0, 1,2,…..} con masa de probabilidad

La distribución de X recibe el nombre de Distribución de Poisson

Masa de probabilidad de dos v.a.de Poisson con λ =2 y λ=

X  Pois ( ) 

E X ( )  Var X ( )  

( ) 0,1, 2,... !

e^ k P X k k k

  