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tema 2 variables aleatorias, Apuntes de Biología

Universidad Complutense de Madrid (UCM)Biología

Asignatura: Bioestadística, Profesor: abel nosequemas, Carrera: Biología, Universidad: UCM

Tipo: Apuntes

2012/2013

Subido el 11/06/2013

1159384 🇪🇸

(72)

10 documentos

1 / 31

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Nuestro objetivo es utilizar la teoría de la probabilidad para sacar

conclusiones precisas acerca de una población basándonos en

los datos obtenidos de una muestra extraída de ella. Para hacer

esto debemos introducir un nuevo concepto, el de “Variable

Aleatoria”. Para ello dotaremos de significación numérica a los

resultados obtenidos en un experimento, es decir, asignaremos

un número real a cada uno de los resultados del experimento

para poder cuantificarlos y les asociaremos un determinado

valor de probabilidad. Al conjunto de los posibles valores que

puede tomar la variable aleatoria le llamamos recorrido X(Ω)de

dicha variable aleatoria

TEMA2.VARIABLESALEATORIAS

Descubre Apuntes de Biología Universidad Complutense de Madrid (UCM)

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Variables aleatorias

(5)

Definición y concepto de Variables aleatorias

(2)

Variables aleatorias

(1)

variables aleatorias

(2)

ESTADÍSTICATEÓRICA VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRE

Variables Aleatorias

Variables aleatorias contínuas (Tema 6)

(3)

variables, aleatorias, contrastes

Tema 4. Variables aleatorias continuas Boletín de ejercicios

problemas variables aleatorias

Variables aleatorias

(1)

Variables aleatorias unidimensionales

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¡Descarga tema 2 variables aleatorias y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!

Nuestro objetivo es utilizar la teoría de la probabilidad para sacarconclusiones precisas acerca de una población basándonos enlos datos obtenidos de una muestra extraída de ella. Para haceresto debemos introducir un nuevo concepto, el de “VariableAleatoria”. Para ello dotaremos de significación numérica a losresultados obtenidos en un experimento, es decir, asignaremosun número real a cada uno de los resultados del experimentopara poder cuantificarlos y les asociaremos un determinadovalor de probabilidad. Al conjunto de los posibles valores quepuede tomar la variable aleatoria le llamamos recorrido X(

Ω) de

dicha variable aleatoria

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

Ejemplos •^ Lanzamos

una

moneda:

={c,x}.

Definimos

la

variable

aleatoria

X=«número de caras». De este modo X tomará los valores X=0 cuandosalga cruz y X=1 cuando salga cara, es decir, X(

•^ Lanzamos dos monedas (

Ω={cc,cx,xc,xx}) y definimos la variable aleatoria

X=«número de caras obtenidas». X tomará valor 0 cuando las dos seancruces, 1 cuando tengamos una cara (cx y xc) y 2 cuando en las dos salgacara. X(

•^ Lanzamos dos dados.

Ωx^1

Ω, donde^2

Ω={1,2,3,4,5,6}. Podemos estari^

interesados

en

describir

probabilísticamente

la

suma

de

ambos

resultados. Definimos entonces la variable aleatoria X=«suma de los dosresultados»

de^

manera

que

X^

tendrá

como

recorrido

X(Ω)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

Decimos que una

variable aleatoria

es discreta

si toma un número finito o

infinito numerable (podemos poner en correspondencia uno a uno con losnúmero naturales) de valores puntuales. Los tres ejemplos anteriores son devariables

aleatorias

discretas.

Generalmente

surgen

en

cuestiones

relacionadas con datos obtenidos por conteo. Por ejemplo, el número debacterias en un cm

3 de agua de un pantano. Al ser numerables podemos

asignar un valor de probabilidad a cada uno de los diferentes sucesos.Las variables aleatorias

continuas

son aquellas que pueden tomar cualquier

valor en algún intervalo o intervalos del conjunto de los números reales. Porejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de unapoblación puede tomar cualquier valor real entre, por ejemplo, 15 y 280 cm.El problema en este caso es que la probabilidad de que la variable aleatoriatome un valor determinado es 0.

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASSupongamos

la^

experiencia

aleatoria

lanzar

una

moneda

y^

la^ variable

aleatoria X=«número de caras». El recorrido de esta variable aleatoria, comohemos visto, sería X(

Ω)={0,1} que corresponde a sale cruz y sale cara

respectivamente. Puesto que el comportamiento de una variable aleatoriaestá

gobernado

por

el

azar

debemos

describirlo

en

términos

de

probabilidades. En este caso, aplicando la regla de Laplace es muy fácildeterminar la probabilidad de cada valor de X. La probabilidad de que salgacruz (X=0) será 1/2=0.5, igual a la de que salga cara (X=1). En realidad estamosaplicando una función f(x) que a cada valor x de la variable aleatoria X leasigna un valor real que cumple los axiomas de la probabilidad. En concreto,es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor x: f(x)=p[X=x].

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS

EJEMPLOS1.^ Experiencia

aleatoria:

“lanzar

dos^

monedas”

Ω={cc,cx,xc,xx}

X=«número

de^ caras

que^

salen».

X(Ω)={0,1,2}:

{cc}→

X=^

{cx}^ →

X=^

{xc}^ →

X=^

{xx}^ →

X=

Ahora, para calcular la función de densidad f(x) calculamos las probabilidades paracada valor de X. De esta forma, aplicando la regla de Laplace, sólo hay un casofavorable para x=0 (el xx) de 4 posibles, por lo que su probabilidad será 1/4=0.25. Lomismo ocurre para x=2. Para x=1 hay dos casos favorables, por lo tanto su probabilidadserá 2/4=0.5. De esta manera, la función de densidad de X será:

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS

(^ )

0.^

si x

f^ x^

= si xsi x

⎨ ⎪^

⎩ X=x

f(x)=p[X=x] 0

2.^ Experiencia

aleatoria:

“lanzar

dos^

dados”

Ω^ =^

Ωx^ Ω^1

para 2

Ω={1,2,3,4,5,6}i^

X=«suma

de^ los

resultados».

X(Ω

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS

(^

1 2

X^ ω^

ω^ ω

Ω →=^

\

6 ω^1

ω^2

X

ω^1

ω^2

X

X^ casos

p 2

(^ )

1 ,^

3613 ,^

x^^36

x

f^ x^

− x^ x

⎧^

⎪⎪= ⎨^ −⎪^

Calculamos

por^ ejemplo

X=4.^

En^3 casos

obtenemos

una^ suma

de^ 4:

Los^ resultados

obtenidos

en^ cada

dado

son^ sucesos

independientes

→^ p(

ω∩ω^1

)=p(ω 2

)p(ω 12

Por^ otro

lado,

los^ pares

(ωω1,^

)^ son 2

incompatibles

por^ lo

que:

(^ )^

[^

]^ (

)^

(^ )^

(^ )

1,^

2, 2^

3,^

1,^

2, 2^

f^

p X^

p^

p

=^

=^ =^

∪^

=^

+^

⎡^

⎤^ ⎡

⎤^

⎡^

⎤^ ⎡^

⎣^

⎦^ ⎣

⎦^

⎣^

⎦^ ⎣^

⎛^ ⎞

=^ +

+^

=^ × ⎜^

Los valores de la variable aleatoria discreta X son incompatibles. Esto supone que laprobabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades por separado. Por ejemplo, enla^ experiencia

lanzar

dos

veces

una

moneda

podemos

preguntarnos

cuál

es^

la

probabilidad de sacar una o ninguna cara, es decir p(x=

U^ x=1) = p(x=0)+p(x=1) = f(0) +

f(1) = 0.25 + 0.5 = 0.75. Más concretamente se cumple que la probabilidad de que X tomeun valor menor o igual a x será igual a la suma de las probabilidades de los valores de Xmenores o iguales a dicho valor:En el ejemplo anterior, p(X

≤1)=p(X=0)+p(X=1)=f(0)+f(1)=0.

Como la función de densidad f(x) es una probabilidad, debe cumplir los axiomas deprobabilidad. En concreto, f(x) debe ser un número comprendido entre 0 y 1 y la suma delos valores de f(x) sobre todos los valores posibles de X debe ser 1:De esta manera, todos aquellos valores físicamente imposibles tendrán f(x)=0.

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS

(^ ) ( )

1)^0

2)^

x^ X

f^ x ≤ ≤ f^ x ∈ Ω

)^

(^ ) i i

x^ x

p^ X^

x^

f^ x ≤

≤^ =

Esta^

expresión

se^ conoce

como

función

de^ distribución

de^ probabilidad

F(x)

de^ la

variable

aleatoria

X^ que,

formalmente,

se^ define

como:

función

que

permite

cuantificar

la^ probabilidad

de^ que

la^ variable

aleatoria

X^ tome

a^ lo

sumo

un^ valor

dado

x

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS

[^ ]^ (^ )

)^

(^ )

{^

(^

:^

≤^ =

∈ Ω^

`^6

F x^

F^ x^

p^ X^

x^

p^

X^

x

EJEMPLO:

lanzar

dos^

monedas

Ω={cc,cx,xc,xx}

X=«número

de^ caras

que

salen».

X(Ω)={0,1,2}

X=x^

f(x)=p[X=x]

F(x)=p[X

≤x]

0.^

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS

SOLUCIÓN Definimos primero la variable aleatoria X=número de moscas que se salvan,que tendrá como dominio X(

Ω)={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Calculamos ahora f(x). Para ello

«numeramos» las moscas y hacemos una tabla con las diferentes posibilidades:

Mosca^

nº^

X^ p(X=x)

C^ C^

C^ C

^0

(^0) p(1‐p) 10

S^ C^

C^ C^

C^ C

^1

(^9) p(1‐p)

C^ S^

C^ C^

C^ C

^1

(^9) p(1‐p)

C^ C^

C^ S

^1

(^9) p(1‐p)

S^ S^

C^ C^

C^ C

^2

(^2) p(1‐p) 8

S^ C^

C^ C^

S^ C^

C^ C^

C^ C

^2

(^2) p(1‐p) 8

C^ C^

C^ S^

C^ C^

C^ S

^2

(^2) p(1‐p) 8

...^ ...

...^

...^ ...

...^

...^ ...

...^

S^ S^

S^ C^

C^ C^

C^ C

^5

(^5) p(1‐p) 5

C^ S^

S^ S^

C^ C^

S^ C

^5

(^5) p(1‐p) 5

...^ ...

...^

...^ ...

...^

...^ ...

...^

S^ S^

S^ C

^9

(^9) p(1‐p) 1

S^ C^

S^ S^

S^ S

^9

(^9) p(1‐p) 1

...^ ...

...^

...^ ...

...^

...^ ...

...^

S^ S^

S^ S

^10

(^10) p(1‐p)

Sabemos que la probabilidad de que se salve (S)una mosca es p, por lo tanto, la probabilidad deque se la coman (C) es (1 0

‐p). Como lo que le

suceda a una mosca es independiente de lo que lesuceda a otra, la probabilidad para cada colecciónde^

moscas

será

el^

producto

de

las

probabilidades de las 10 moscas por separado enfunción de si se salvan o no. Por ejemplo, laprobabilidad de que tengamos una serie en la quese salva la primera mosca y las demás no será:p(

‐p)(

‐p)=

=p(1‐

9 p).

En general, para cada serie la probabilidad será:

xp(1‐p)

10 ‐x ,

donde x es el número de moscas que se salvan.

Cada valor de X será la unión de varias de estas series. Como cada una es incompatible del resto, laprobabilidad de X=x será la suma de las probabilidades de cada serie que, como es igual entre ellas,realmente es multiplicar esta probabilidad por el número de series que conforman cada valor de X

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

DISCRETAS

¿Cuántas posibilidades hay para cada X=x? Por ejemplo, X=2 significa que se salvan dos moscas de las10. Como realmente no importa el orden en las que se las coma, suponen combinaciones de 10elementos tomadas de 2 en 2. De esta forma, el número de series posibles a cada valor de X=x seráel número de combinaciones de 10 elementos tomados de x en x. Entonces p(X=x)=f(x) será:

10!^

(^

!(^

x^ )!

p^

p

x^

x

−

X=x^

f(x)^ miméticas

F(x)

miméticas

f(x)

normales

F(x)

normales

Suceso

F(x)^

miméticas

normales

se^ salvan

5 moscas

o^ menos

F(5)=p[X

≤5]^

se^ salvan

más^ de

5 moscas

p[X>5]=

‐p[≤5]=

‐F(5)^

0.^

se^ salvan

5 moscas

o^ más^

p[X≥5]=p[X>5]+p[X=5]=

‐F(5)+f(5)=

‐F(4)^

0.^

se^ salvan

entre^3

y^8 moscas

≤X≤8]=p[X

≤8]‐p[X

≥3]=F(8)

‐F(2)^

0.^

MIMÉTICAS NORMALES 0.

f(x) f(x)

F(x) F(x)

En general, cualquier función que cumpla con estos requisitos será una función dedensidad. Por ejemplo, la función:1.^ f(x)

es^0

ó^ 1/3,

con

lo^ que

siempre

es^ mayor

o^ igual

que

cero

2.^ Para

comprobar

si^ el

área

comprendida

entre

la^ gráfica

y^ el^

eje^ x

es^ igual

a^1 no

tenemos

más

que

integrar:

Esta^

función

de^ densidad

se^ denomina

uniforme

y^ tiene

la^ siguiente

forma:

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

CONTINUAS

(^ )^

[^ ] [^ ]

x 2,

f^ x

⎧^ ∈⎪ x

= ⎨⎪^

(^ )^

[^ ]^

[^

]

5 2

f^ x^

dx^

x

∞^

∞

−∞^

=^ −∞

+^

=^

−^ =

∫^

Como ya hemos dicho, es imposible calcular la probabilidad que una variable aleatoriacontinua tome un valor específico, pero sí la de que su valor esté contenido en unintervalo real. Dado que en este caso es el área la que determina el valor deprobabilidad, la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria continua X seencuentre entre dos números a y b será la área comprendida entre la gráfica f(x), lasrectas x=a y x=b y el eje x, esto es:Dado que estamos tratando de funciones continuas y que la probabilidad de un puntoespecífico no existe:Echo que, como hemos visto, no se cumple en el caso de variables aleatorias discretas.

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

CONTINUAS

(^

)^

b (^ ) a

p a^

X^ b

f^ x dx

≤^ ≤

=^

(^

)^

(^

)^

(^

)^

(^

p a^

X^ b

p a

X^

b^

p a^

X^ b

p a

X^

b

≤^ ≤

=^

<^ ≤

=^

≤^ <

=^

<^ <

Determinar

la^

función

de^

distribución

acumulada

F(X)

a^

partir

de^

lo^ expuesto

anteriormente es realmente fácil. Recordemos que F(X)=p[X

≤x]. Puesto que hemos

dicho que la función de densidad f(x) está definida sobre toda la recta real calcularp[X≤

x] realmente es calcular:

Es decir, hay que calcular el área a la izquierda del valor x de la variable aleatoria.

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

CONTINUAS

(^ )^

[^

]^

[^

]^

x (^ )

F^ x^

p X^

x^ p

X^ x

f^ x dx −∞

=^

≤^ =

≤^

=^ ∫

TEMA

2.^

VARIABLES

ALEATORIAS

CONTINUAS

En^ el

ejemplo

anterior,

en^ el

que

f(x)=1/

en^ el

intervalo

[2,5]

y^0 fuera

de^ él,

F(x)

será:

(^ )^

[^ ]^

(^

[^ ]^

(^

2 2 2

5 2

si^

2 si 2

1 si^

x x

dx^

x

F^ x^

f^ x dx

dx^

x^

x

dx^

x^

x

−∞

−∞^

−∞

⎧^ −∞

=^

+^

=^

−^

≤^ ≤

⎨ ⎪ ⎪ ⎪^

+^

=^

−^ =

=^

∫^

Ejemplos: •^ p[X<3]=p[X

≤3]=F(3)=(

•^ p[X

≥3]=

‐p[X<3]=

‐p[X≤

3]=

‐F(3)=

•^ p[

≤X≤4]=F(4)

‐F(3)=(

‐1/^

En^ general,

las^ variables

aleatorias

continuas

que

nos

vamos

a^ encontrar

tienen

funciones

de^ densidad

que

implican

integraciones

muy

complejas,

por^

lo^ que

se^ han

desarrollado

tablas

para

las^ distribuciones

más

utilizadas