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Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
VARIABLE ALEATORIA: FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y FUNCIÓN
DE DENSIDAD
1) DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA:
Hasta ahora, hemos definido el paso de los sucesos al intervalo [0,1], a través de una función
que nos medía la incertidumbre y que hemos llamado probabilidad. Ahora vamos a definir otra
función, que nos permita pasar de los sucesos, a los números reales.
Por eso definimos variable aleatoria como una función numérica de los sucesos elementales,
en que se concreta un fenómeno aleatorio, pasando resultados concretos, a números reales.
F.A. - ∞ ∞
[0, 1]
P(S1)=1/6 - > P(𝜉 = 1) = 1/
P(S 2 )=1/6 - > P(𝜉 = 2) = 1/
P(S 2 )=1/6 - >P(𝜉 = 6) = 1/
ξ = VA
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: es una probabilidad
acumulada
F(X) = P ( 𝜉 ≤ X ) = P (- ∞ < 𝜉 ≤ X)
F (3) = P (𝜉 ≤ 3 ) = P (𝜉 = 1 ) + P (𝜉 = 2 ) + P (𝜉 = 3 )
F (3,5) = P (𝜉 ≤ 3,5 ) = P(𝜉 = 1 ) + (𝜉 = 2 ) + (𝜉 = 3 )
F (0) = P(𝜉 ≤ 0 ) = 0
F (6) = P(𝜉 ≤ 6 ) = P(𝜉 = 1 ) + P(𝜉 = 2 ) + …. + (𝜉 = 3 ) = 1/6 + … + 1/6 = 1
F (∞) = (𝜉 ≤ ∞ ) = 1
F (− ∞) = (𝜉 ≤ − ∞ ) = 0
F (𝜋) = (𝜉 ≤ 𝜋 ) = 3/6 = 1/
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN:
Desde la recta real debemos asignar una probabilidad a todos los números de la misma. Dicha
probabilidad será inducida ya que donde realmente se definen la probabilidad es con los
sucesos.
La función de distribución se define como una función acumulativa de probabilidad, es decir,
cuantifica la probabilidad desde un valor de la recta real hasta menos infinito.
F(X) = P ( 𝜉 ≤ X) = P (- ∞ < 𝜉 ≤ X)
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN:
1) F(∞) = 1
2) F(− ∞) = 0
3) 0 ≤ F(X) ≤ 1 F(X) = P ( 𝜉 ≤ X)
La función de distribución tiene que estar siempre entre 0 y 1 ya que es una probabilidad.
F(X)
1 Siempre estará aquí.
0 X
4) La función de distribución es una función no decreciente.
X1 < X
- ∞ X1 X2 ∞
F(X2) = P( 𝜉 ≤ X2) = P (- ∞ < 𝜉 ≤ X2) = P [(-∞) < 𝜉 < X1) ∪ (X1< 𝜉 ≤ X2)] =
= P (-∞ < 𝜉 < X1) + P (X1 < 𝜉 < X2) = F(X1) + P (X1 < 𝜉 ≤ X2) = F(X2)
X
F(X2) = F(X1) + P (X1 < 𝝃 ≤ X2)
LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NUNCA SERÁ DECRECIENTE
Siempre será positivo o igual que el otro por ser un acumulado.
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
Vamos a estudiar lo que pasa por la derecha de un valor (X 1
). Si nos acercamos por la derecha
cuando 𝜀 → 0 , el intervalo (𝜀) se hace pequeño, y por tanto será ½ menos ½ y será 0.
lim
𝜀 −−> 0
lim
𝜀 −−> 0
POR TANTO, LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN SIEMPRE ES CONTINUA POR LA DERECHA
VI) La función de distribución puede ser discontinua por la izquierda
P (𝜉 = X
i
X 3
x
X
3
x
F(x) → lim
𝜀 −> 0
≠ 0 Discontinuo
lim
𝜀 −> 0
≠ 0 Discontinuo
X 3
X 1
X 2
X
3
X 1
X 2
F(x)
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
Casos:
𝜀 −−> 0
lim
𝜀 −−> 0
𝑃( 𝑥 3 − 𝜀 < 𝜉 ≤ 𝑋 3 ) = P (𝜉 = 𝑋 3 ) = 0
En X3 es continua.
𝜀 −−> 0
lim
𝜀 −−> 0
𝑃( 𝑥 1 − 𝜀 < 𝜉 ≤ 𝑋 1 ) = P (𝜉 = 𝑋 1 ) = ½ ≠ 0
En X1 es discontinua
Muy importante: Consecuencias de los que acabamos de ver- Cuando hablemos de variables
aleatorias continuas, su función de distribución será continua por la derecha y continua por la
izquierda. Esto implica que los límites que dependían de un punto son todos 0, por lo que
habrá que trabajar de otra manera. Concretamente trabajaremos con intervalos.
Nunca deberemos plantear que una V.A.C. tome valores puntuales. Siempre van a ser
intervalos.
TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS:
I) VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (V.A. DISCRETA):
DEFINICIÓN: Es una clase de variable aleatoria donde se considera únicamente un conjunto
finito o infinito numerable de posibles resultados del fenómeno aleatorio.
Para trabajar con VAD se definen las siguientes herramientas:
1) FUNCIÓN DE CUANTÍA: Valores que toma y sus probabilidades:
Ejemplo: Lanzamiento de una moneda: VAD
Valores que toma la variable
Las probabilidades tienen que sumar 1
◼ Observación:
¿Qué utilidad operativa nos puede ofrecer el hecho de que la función de cuantía sume
Por ejemplo, para calcular valores desconocidos de la función de cuantía. En
general, para estos casos nos referimos al cálculo del valor de “K” (incógnita)
en una función de cuantía.
CARA CRUZ
𝜉 = Xi 0 1
P (Xi) 1/2 1/
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
SU FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN:
F (x)
1 [
1/2 [ ) Salto
Salto
Xi
Cuando veamos que la función de distribución da saltos, es decir, es DISCONTINUA → LA
VARIABLE ALEATORIA ES DISCRETA.
II) VARIABLE ALEATORIA CONTINUA:
Es una variable aleatoria que puede tomar los infinitos valores de un intervalo. Se caracteriza
por lo siguiente:
a) La función de distribución existe y es continua para todos los números de la recta
real.
F (x) CONTINUA 𝛁 x ∈ R
b) Existe la derivada de la función de distribución para todos los puntos que nos pueda
interesar:
F´ (x) = f(x) =
Derivamos cada uno de los tramos
De lo anterior deducimos que:
• Si la función de distribución es continua, la P(ξ = Xi) = 0
Si la probabilidad es cero, necesitamos otra forma de trabajar. La SOLUCIÓN es
trabajar con INTERVALOS.
- Para poder trabajar con intervalos hay que definir lo que se conoce como DENSIDAD
MEDIA DE PROBABILIDAD EN UN INTERVALO. Se trata de la concentración de
probabilidad dentro de un intervalo.
DMPI =
𝑄 𝑃𝑅𝑂𝐵
𝐿𝐼
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
𝑃 (𝑥 < 𝜉 ≤ 𝑥+ℎ)
ℎ
𝐹
( 𝑥+ℎ
) − 𝐹 (𝑥)
ℎ
lim
ℎ→ 0
𝐹 (𝑥+ℎ)− 𝐹 (𝑥)
ℎ
= F´ (x) = f(x) FUNCIÓN DE DENSIDAD
TODAS LAS VARIABLES DICRETAS SERÁN DISCONTINUAS
Concentración de probabilidad
en un intervalo infinitesimal
F(x) = 0 x< 0
F(x) = 1/2 0 ≤ x < 1
F(x) = 1 x ≥ 1
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
a) FUNCIÓN DE DENSIDAD : Es equivalente a la función de cuantía pero para VAC. No
puede haber saltos, por lo que no podemos encontrar la probabilidad concentrada en
puntos, pero sí en intervalos todo lo pequeños que queramos.
F (x)
1 h → 0
PROB. Xi
b) SU FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: se calcula igual que en la variable discreta, pero con
otra herramienta matemática; LA INTEGRAL; que la usamos para SUMAR.
𝒙
−∞
F (x)
1 h → 0
Xi
RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD Y LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN (VAC)
1. La función de densidad es la derivada de la función de distribución.
F´ (x) = f(x) =
𝒅𝑭(𝒙)
𝒅𝒙
F (x)
1 h → 0
PROB. Xi
0 x 1
𝑥
−∞
F´(x) = f(x) = 0 x< 0
F´ (x) =f (x) = 1 0 ≤ x < 1
f´ (x) = f(x) = 0 x ≥ 1
F(x) = 0 x< 0
F(x) = x 0 ≤ x < 1
F(x) = 1 x ≥ 1
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
Ejemplo:
Hallar el valor de k para que f(x) sea una verdadera función de densidad.
f(x) =
𝑘
2
0 ≤ x ≤ 2
f(x)
f(x) resto
Para que sea una verdadera función de densidad:
a) f(x) ≥ 0 ∇x∈R
b) F (∞) = 1 = ∫ 𝑓
∞
−∞
0
−∞
2
0
∞
2
𝑘
2
2
0
𝑘
2
2
0
= k/2 [x]
2
0
= k/2 [2 – 0]=
K = 1
f (x) = ½ 0 ≤ x ≤ 2
f (x) = 0 para el resto RESTO
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
EJEMPLO de VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Dada la variable aleatoria (𝜉) cuya distribución
de probabilidad es 1, 2, 3, 4, 5, se pide:
𝜉 = Xi 1 2 3 4 5
P ( 𝜉 = Xi ) 2/8 1/8 2/8 2/8 1/8 suma = 1
a) Representar la función de cuantía
P (𝜉 = Xi)
Xi
b) Calcular la función de distribución
Suma de puntos donde está concentrada la probabilidad.
F(x) = ( 𝝃 ≤ X) = ∑ (𝝃 = 𝐗𝐢)
𝒏
𝒊=𝟏
(VAD)
- F(x) = 𝛁 x tal que x < 1, F(x) = 0
- F(x) = 𝛁 x tal que x = 1, F(x) = P ( 𝜉 ≤ X ) = P( 𝜉 = 1) = 2/ 8
- F(x) = 𝛁 x tal que 1 < x< 2, F(x) = P ( 𝜉 ≤ X ) = P( 𝜉 = 1) = 2/ 8
- F(x) = 𝛁 x tal que x = 2, F(x) = P ( 𝜉 ≤ X ) = P( 𝜉 = 1) + P ( 𝜉 = 2) = 2/ 8 + 1/ 8 = 3/ 8
Después de hacer toda la secuencia la función de distribución será la siguiente:
F(x) = 0 x< 1
F(x) = 2/8 1 ≤ x < 2
F(x) = 3/8 2 ≤ x < 3
F(x) = 5/8 3 ≤ x < 4
F(x) = 7/8 4 ≤ x < 5
F(x) = 1 x ≥ 5
c) Cálculo de probabilidades
P
- P(1 < 𝝃 ≤ 2,7) = (solo en discreta) = F(2,7) – F(1) = 3/ 8 - 2/ 8 = 1/ 8
- P(1 ≤ 𝝃 < 3,5) = F (3,5) – F (1) - P(𝜉 = 3,5) + P(𝜉 = 1) = 5/ 8 – 2 / 8 – 0 +2/8 = 5/ 8.(En
este caso, el extremo inferior entra (suma), el extremo superior no entra (resta)
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
Nota: Conocida la Función de distribución podríamos calcular la función de
densidad con:
f(x) = F´(x)
d) Calcular las probabilidades en los siguientes intervalos:
➔ P (-2 < 𝝃 ≤ - 1)
P (-2 < 𝜉 ≤ - 1) = F (-1) – F (-2) = 0
➔ P (1 < 𝝃 < 2,4)
P (1 < 𝜉 < 2,4) = F (2,4) – F (1) – P (𝜉 = 2,4) = 2,4/3 – 1/3 – 0 = 1,4 /
Es una V.A. C la probabilidad es siempre 0
Esto último lo hemos hecho así ya que habíamos calculado la Función de Distribución.
Pero cuando no dispongamos de ella también podemos obtener dicha probabilidad
gracias a la Función de Densidad:
P (1 < 𝜉 < 2,4) =
2 , 4
1
1
3
2 , 4
1
= 1/3 [x]
2,
1
= 1/3 [2,4 – 1] = 1,4 /
P(X
1
< 𝛿 ≤ X
2
) = F(X
2
) – F(X
1
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
EJERCICIO 1:
Dada una V.A. Si cuya distribución de probabilidad viene definida por la siguiente f(x):
f(x) = kx
2
0 < x < 1
f(x) = 0 resto
a) Calcular el valor de k para que sea una verdadera función de densidad :
I) f(x) ≥ 0 ∇x∈R (que tiene que valer siempre 0)
II) F(∞) = 1 = ∫ 𝑓
∞
−∞
( 𝑥
) 𝑑𝑥
0
−∞
= ∫ 𝑓
( 𝑥
) 𝑑𝑥
1
0
=∫ 𝑓
( 𝑥
) 𝑑𝑥
∞
1
= ∫ 𝑘𝑥
2
𝑑𝑥
1
0
=
𝑘 ∫ 𝑥
2
𝑑𝑥
1
0
= k [
𝑥
3
3
]
1
0 = k 1/3 = 1 → k = 3
Ahora la función de densidad es:
f(x) = 3x
2
0 < x< 1
f (x) = 0 resto
b) Hallar F(x), Función de distribución :
F (x) VAC
= P (𝜉 ≤ X) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−∞
No hay probabilidad acumulada
- F(x) tal que x ≤ 0 ; F(x) = P (𝜉 ≤ x) = 0
- F(x) tal que 0 < x < 1; F(x) = P (𝜉 < x) = ∫
𝑥
−∞
0
−∞
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
=
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
= ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
= ∫
3 𝑥
2
𝑑𝑥
𝑥
0
= 3 [
𝑥
3
3
]
x
0
= k [x
3
]
x
0
= x
3
No se pone 1, porque el 1 no entra en el intervalo
- F(x) tal que x ≥ 1 ; F(x) = P (𝜉 < x) = ∫ 𝑓
𝑥
−∞
0
−∞
( 𝑥
) 𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑓
( 𝑥
) 𝑑𝑥
𝑥
0
=∫ 𝑓
( 𝑥
) 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
= ∫ − 3 𝑥
2
𝑑𝑥
1
0
= 3 [
𝑥
3
3
]
1
0 = 1
La función de distribución nos quedará:
F(x) = 0 x ≤ 0
F(x) = x
3
0 < x < 1
F(x) = 1 x ≥ 1
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
EJEMPLO 2:
Dada la V.A. Si cuya distribución viene definida por la siguiente función de distribución:
F(x) = 0 x< 0
F(x) = ¼ 0 ≤ x < 1
F(x) = 2/4 1 ≤ x < 2
F(x) = 3/4 2 ≤ x < 3
F(x) = 1 x ≥ 3
a) Calcular la función de cuantía y representar P(𝜉 = Xi)
𝜉 = Xi 0 1 2 3
P ( 𝜉 = Xi ) 1/4 1/4 1/4 1/
P (𝜉 = Xi)
Xi
1 F(x)
1/4 Xi
b) P (𝜉 = 1,7) = 0
P (𝜉 = 2) = ¼
F (2) = 3/
P (1,2 < 𝜉 < 3) = F (3) – F (1,2) – P (𝜉 = 3) = 1 – 2/4 – 1/4 = 1 – 3/4 = 1/
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EJERCICIO 3:
Un cazador hace un blanco con P= 0,4. Describir mediante V.A. el número de blancos al
efectuar dos disparos.
P (Blanco) = 0,4 P (𝐵
F.A. 𝜉 = VA 𝑅
∞
−∞
B ∩ B 2
B ∩ 𝐵
1 La V.A. va a recoger los blancos
∩ B 1
• P (𝜉 = 0) = P (𝐵
) = P (𝐵
) P (𝐵
) = P (𝐵
2
2
• P (𝜉 = 1) = P( (B ∩ 𝐵
DISJ
= P (B ∩ 𝐵
) + P(𝐵
∩ 𝐵) = P (B) .P (𝐵
) + P (𝐵
).P (𝐵)=
• P (𝜉 = 2) = P (B ∩ 𝐵) = P (B) .P (B) = (0,4)
2
𝜉 = Xi 0 1 2 Total
P ( 𝜉 = Xi ) 0,36 0,48 0,16 1
Es una V. Discreta porque va a tomar
valores concretos en la recta real.
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
➢ MOMENTOS CON RESPECTO A LA ESPERANZA 𝑶𝒕 = 𝜶
𝟏
De la misma forma obtenemos los momentos con respecto a la esperanza:
VAD =
𝟏
∇𝑋𝑖
r
P (𝜉 = Xi)
r
VAC =
𝟏
∞
−∞
r
f(x)dx
VAD =
𝟏
∇𝑋𝑖
0
P (𝜉 = Xi)=
0
VAC =
𝟏
∞
−∞
0
f(x)dx=
VAD =
𝟏
∇𝑋𝑖
1
P (𝜉 = Xi)=
1
VAC =
𝟏
∞
−∞
1
f(x)dx=
VAD = ∑ (𝑋𝑖 − 𝜶
𝟏
∇𝑋𝑖
2
P (𝜉 = Xi) = Varianza
2
VAC =
𝟏
∞
−∞
2
f(x)dx=1 = Varianza
RELACIÓN ENTRE 𝝁
2
y los momentos con respecto al origen:
Sabemos de estadística descriptiva que: m 2
= a 2
2
2
∞
−∞
1
2
f(x) dx = ∫
∞
−∞
2
1
2
1
) f(x) dx = ∫
∞
−∞
2
f(x) dx +
1
2
f(x) dx
∞
−∞
∞
−∞
f(x) dx = 𝛼 2
1
2
2
2
Esto es cierto tanto para VAD como VAC
Variable aleatoria. Función de distribución y densidad
EJERCICIO 1:
Dada una V.A. cuya distribución de probabilidad viene definida por la siguiente función:
F(x) = 0 x < 1
F(x) = ¼ 1 ≤ x < 3
F(x) = 1 x ≥ 3
a) Determina el valor más probable (esperanza o media) - > 𝛼 1
= E(𝜉)
1
= E (𝜉) = ∑ (𝑋𝑖)
∇𝑋𝑖
P (𝜉 = Xi) = 1(
1
4
3
4
) = 1/4 + 9/4 = 10/4 = 2,5 unid.
F(x)
1 Variable aleatoria discreta ya que hay saltos en la Función de Distribución
Xi
b) Halla la varianza:
2
2
1
2
2
2
∇𝑋𝑖
2
P (𝜉 = Xi) = 1
2
2
𝜉 = Xi 1 3 Total
P ( 𝜉 = Xi ) 1/4 3/4 1
