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[ Baccalauréat S Pondichéry 1 er^ avril 2004 \
Exercice 1 3 points
1. Soit u la suite définie par :
u 0 = 0 un + 1 =
2 − un pour tout entier naturel n
a. Calculer u 1 , u 2 et u 3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible. b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie sur N par wn =
n n + 1
c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout en- tier naturel n , un = wn.
2. Soit v la suite de terme général vn défini par vn = ln
( (^) n n + 1
où ln désigne la fonction logarithme népérien. a. Montrer que v 1 + v 2 + v 3 = − ln4. b. Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par :
Sn = v 1 + v 2 + ··· + vn.
Exprimer Sn en fonction de n. Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.
Exercice 2 4 points
Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U 1 , U 2 et U 3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Il y a trois boules noires dans l’urne U 1 , deux boules noires dans l’urne U 2 et une boule noire dans l’urne U 3 , et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé,
- s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U 1 , note sa couleur et la remet dans l’urne U 1 ;
- s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U 2 , note sa couleur et la remet dans l’urne U 2 ;
- si le numéro amené par le dé n’est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U 3 , note sa couleur et la remet dans l’urne U 3. On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants : A : « Le dé amène le numéro 1. » B : « Le dé amène un multiple de trois. » C : « Le dé amène un numéro qui n’est ni le 1, ni un multiple de 3. » N : « La boule tirée est noire. » 1. Le joueur joue une partie.
a. Montrer que la probabilité qu’il obtienne une boule noire est égale à
3 k
b. Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire. c. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit su- périeure à
d. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit égale à
2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres. Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−^3 , la probabilité qu’il obtienne au moins une fois une boule noire.
Exercice 3 8 points
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
Soit ϕ la fonction définie sur R par
ϕ ( x ) = ( x^2 + x + 1)e− x^ − 1.
1. a. Déterminer les limites de ϕ en −∞ et en +∞. b. Étudier le sens de variations de ϕ puis dresser son tableau de variations sur R. 2. Démontrer que l’équation ϕ ( x ) = 0 admet deux solutions dans R, dont l’une dans l’intervalle [1 ; +∞[, qui sera notée α. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−^2 de α. 3. En déduire le signe de ϕ ( x ) sur R et le présenter dans un tableau.
Partie B : étude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire
Sur la feuille annexe page 5 sont tracées les courbes représentatives de deux fonc- tions f et g. Les fonctions f et g sont définies sur R par :
f ( x ) = (2 x + 1)e− x^ et g ( x ) =
2 x + 1 x^2 + x + 1
Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal
O,
ı ,
sont notées C (^) f et C g.
1. Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.
a. Démontrer que, pour tout nombre réel x , f ( x ) − g ( x ) =
(2 x + 1) ϕ ( x ) x^2 + x + 1
où ϕ est la fonction étudiée dans la partie A. b. À l’aide d’un tableau, étudier le signe de f ( x ) − g ( x ) sur R. c. En déduire la position relative des courbes C (^) f et C g.
2. a. Montrer que la fonction h définie sur R par
h ( x ) = (− 2 x − 3)e− x^ − ln
x^2 + x + 1
est une primitive sur R de la fonction x 7 → f ( x ) − g ( x ). b. En déduire l’aire A , exprimée en unités d’aire, de la partie du plan déli- mitée par les deux courbes C (^) f et C g et les droites d’équations x = −
et x = 0. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−^4 de cette aire.
4. Soit M ( x ; y ; z ) un point du cône Γ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que x et y ne peuvent pas être simultanément impairs.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
Exercice 3
O
