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[ Baccalauréat S La Réunion juin 2004 \
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
f ( x ) = 1 − x^2 e^1 − x
2 .
Son tableau de variations est le suivant :
x 0 1 +∞
f ( x )
Sa courbe représentative C et son asymptote ∆, d’équation y = 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie.
A - Lecture graphique
1. k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, pré- ciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0 ; +∞[ de l’équation f ( x ) = k. 2. n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation f ( x ) =
n
admet deux solutions distinctes.
B - Définition et étude de deux suites
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l’équation f ( x ) =
n admet deux solutions un et vn respectivement comprises dans les intervalles [0 ; 1] et [1 ; +∞[.
2. Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et vn pour n appartenant à l’ensemble {2 ; 3 ;4}. 3. Déterminer le sens de variation des suites ( un ) et ( vn ). 4. Montrer que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite ( vn ). En déduire que les suites ( un ) et ( vn ) sont adjacentes.
EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
; i désigne
le nombre complexe de module 1 et d’argument
π 2
Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1 + i et − 1 + i. Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z , associe le point M ′^ du plan d’affixe z ′^ tel que :
z ′^ = i z + 2 z − i
1. a. Déterminer les images de B et de C par l’application f.
b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation :
( z ′^ − i)( z − i) = 1.
c. Soit D le point d’affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm). Déduire de la question précédente une construction du point D′^ image du point D par l’ application f.
2. Soit R un nombre réel strictement positif. Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R? 3. a. Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M ′^ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du point A? b. Soit D la droite passant par le point A et de vecteur directeur
u. Détermi- ner l’ image de la droite D privée du point A par l’application f.
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « soit p un nombre premier et a un entier naturel premier avec p ; alors ap −^1 −1 est divisible par p ».
1. Soit p un nombre premier impair. a. Montrer qu’il existe un entier naturel k , non nul, tel que 2 k^ ≡ 1 [ p ]. b. Soit k un entier naturel non nul tel que 2 k^ ≡ 1 [ p ] et soit n un entier naturel. Montrer que, si k divise n , alors 2 n^ ≡ 1 [ p ]. c. Soit b tel que 2 b^ ≡ 1 [ p ], b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant la division euclidienne de n par b , que si 2 n^ ≡ 1 [ p ], alors b divise n. 2. Soit q un nombre premier impair et le nombre A = 2 q^ − 1. On prend pour p un facteur premier de A. a. Justifier que : 2 q^ ≡ 1 [ p ]. b. Montrer que p est impair. c. Soit b tel que 2 b^ ≡ 1 [ p ], b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant 1. que b divise q. En déduire que b = q. d. Montrer que q divise p − 1, puis montrer que p ≡ 1 [2 q ]. 3. Soit A 1 = 217 − 1. Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme 34 m +1, avec m entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que A 1 est premier.
EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspon- dant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x , f ′( x ) 6 = 0.
b. Calculer f (0).
2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que : (4) pour tout nombre réel x , f ′′( x ) = f ( x ), où f ′′^ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f. 3. On pose : u = f ′^ + f et v = f ′^ − f.
a. Calculer u (0) et v (0). b. Démontrer que u ′^ = u et v ′^ = − v. c. En déduire les fonctions u et v. d. En déduire que, pour tout réel x , f ( x ) =
e x^ − e− x 2
4. a. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.
b. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
5. a. Soit m un nombre réel. Démontrer que l’équation f ( x ) = m a une unique solution α dans R. b. Déterminer cette solution lorsque m = 3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à 10−^2 près).
ANNEXE DE L’EXERCICE 1
À compléter et à rendre avec la copie
x
y
O
C
