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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Métropole juin 2004 \
EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats
On considère la suite ( un ) définie par
{ u 0 = 1 un + 1 = un + 2 n + 3 pour tout entier naturel n.
1. Étudier la monotonie de la suite ( un ). 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n , un > n^2. b. Quelle est la limite de la suite ( un )? 3. Conjecturer une expression de un , en fonction de n , puis démontrer la pro- priété ainsi conjecturée.
EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et
d’argument
π 2
1. Montrer que (1 + i)^6 = −8i. 2. On considère l’équation (E) : z^2 = −8i. a. Déduire de 1. une solution de l’équation (E). b. L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique. 3. Déduire également de 1. une solution de l’équation (E’) z^3 = −8i. 4. On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle
2 π 3
a. Déterminer l’affixe b du point B , image de A par r , ainsi que l’affixe c du point C , image de B par r. b. Montrer que b et c sont solutions de (E′).
5. a. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C. b. Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions? c. Déterminer le centre de gravité de cette figure.
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x :
( x − 1)
1 + x + x^2 + ··· + xk −^1
= xk^ − 1.
Dans toute la suite de l’exercice, on considère un nombre entier a supérieur ou égal à 2.
2. a. Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n : n = dk. Montrer que ad^ − 1 est un diviseur de an^ − 1. b. Déduire de la question précédente que 22 004^ − 1 est divisible par 7, par 63 puis par 9.
3. Soient m et n deux entiers naturels non nuls et d leur pgcd. a. On définit m ′^ et n ′^ par m = dm ′^ et n = dn ′. En appliquant le théorème de Bezout à m ′^ et n ′, montrer qu’il existe des entiers relatifs u et v tels que : mu − nv = d. b. On suppose u et v strictement positifs. Montrer que : ( amu^ − 1) − ( anv^ − 1) ad^ = ad^ − 1. Montrer ensuite que ad^ − 1 est le pgcd de amu^ − 1 et de anv^ − 1. c. Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de 2^63 − 1 et de 2^60 − 1.
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat in- diquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
k
, on donne le point
S(1 ; −2 ; 0) et le plan P d’équation x + y − 3 z + 4 = 0.
1. Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et per- pendiculaire au plan P est :
A :
x = 1 + t y = 1 − 2 t z = − 3
, t ∈ R B :
x = 2 + t y = − 1 + t z = 1 − 3 t
, t ∈ R
C :
x = 1 + t y = − 2 − 2 t z = 3 t
, t ∈ R D :
x = 2 + t y = − 1 + t z = − 3 − 3 t
, t ∈ R.
2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont :
A : (−4 ; 0 ; 0) B :
C :
D;
3. La distance du point S au plan P est égale à :
A :
p 11 3
B :
p 11
C :
p 11
D :
4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale A : au point I(1 ; −5 ; 0)
B : au cercle de centre H et de rayon r = 3
C : au cercle de centre S et de rayon r = 2
D : au cercle de centre H et de rayon r =
p 10 11
EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électro- nique. On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans
2. On suppose que, à l’instant t = 0, on a : x (0) = 0 et x ′(0) = 0.
a. Calculer, pour tout nombre réel t positif, x ′( t ). b. En déduire que l’on a, pour tout nombre réel t positif, x ( t ) = 2 t − 16 + 16e
− t (^8).
3. Calculer V = (^) t →+∞lim v ( t ). Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle
inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V?
4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.
