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[ Baccalauréat Nouvelle-Calédonie série S \
mars 2004
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carre- four. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année ( n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance mathématique de Sn notée E( Sn ) est égale à 10. Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.
1. Calculer p , puis justifier l’égalité P( Sn = k ) =
( n k
n
) k ( 1 −
n
) n − k où k est un entier naturel tel que 0 É k É n.
2. a. Établir l’égalité ln [P( Sn = 0)] = − 10 ×
ln
n
n
où ln désigne la fonction
logarithme népérien ; en déduire que lim n →+∞ P ( Sn = 0) = e−^10.
b. Démontrer que P( Sn = k + 1) = P ( Sn = k ) ×
n − k n − 10
×
k + 1
, où k est un en- tier naturel tel que 0 É k É n − 1.
c. Démontrer que si lim n →+∞ P ( Sn = k ) = e−^10 10 k k!
pour 0 É k É n , alors on a
également (^) n →+∞lim P ( Sn = k + 1) = e−^10
10 k +^1 ( k + 1)!
pour 0 É k + 1 É n.
d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier na- turel k que lim n →+∞ P ( Sn = k ) = e−^10
10 k k!
où k est un entier naturel tel que 0 É k É n.
3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse
admettre que e−^10
10 k k! est une approximation acceptable de P( Sn = k ). Utili- ser cette approximation pour calculer à 10−^4 près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carre- four.
EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
L’espace est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
k
; on considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).
1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0). c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC. a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC. b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH). c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne
20 x + 9 y + 12 z − 180 = 0.
d. Montrer que le système
x = 0 4 y − 3 z = 0 20 x + 9 y + 12 z − 180 = 0
a une solution
unique. Que représente cette solution? e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.
3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2 c?
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
1. a. Soit p un entier naturel. Montrer que l’un des trois nombres p , p + 10 et p + 20, et l’un seulement est divisible par 3. b. Les entiers naturels a , b et c sont dans cet ordre les trois premiers termes d’une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sa- chant qu’ils sont premiers. 2. Soit E l’ensemble des triplets d’entiers relatifs ( u , v , w ) tels que
3 u + 13 v + 23 w = 0.
a. Montrer que pour un tel triplet v ≡ w (mod 3) b. On pose v = 3 k + r et w = 3 k ′^ + r où k , k ′^ et r sont des entiers relatifs et 0 É r É 2. Montrer que les éléments de E sont de la forme :
(− 13 k − 23 k ′^ − 12 r , 3 k + r , 3 k ′^ + r ).
c. l’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine O et soit P le plan d’équation 3 x + 13 y + 23 z = 0. Déterminer l’ensemble des points M à coordonnées ( x , y , z ) entières re- latives appartenant au plan P et situés à l’intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.
PROBLÈME 11 points
Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.
Pour tout entier naturel n , on définit sur R la fonction numérique fn par :
f 0 ( x ) =
1 + x^2
et pour n entier naturel non nul fn ( x ) =
xn 1 + x^2
On note Γ n , la courbe représentative de fn , dans le plan rapporté à un repère ortho-
normal
O,
ı ,
, unité graphique : 4 cm.
On désigne par In l’intégrale In =
0
fn ( t ) d t.
Partie A
1. a. Étudier les limites de f 1 en +∞ et en −∞. Quelle est la conséquence gra- phique de ces résultats? b. Étudier les variations de f 1. c. Tracer la courbe Γ 1. d. Calculer I 1. 2. a. Étudier les limites de f 3 en +∞.
