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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Métropole remplacement \
septembre 1992
EXERCICE 1 4 points
Soit f la fonction définie pour x >
par :
f ( x ) =
x^2 2 x − 1
1. Démontrer que, pour tout x > 1, f ( x ) > 1.
On peut donc définir la suite u = ( un ) par : { u 0 = 2 un + 1 = f ( un ) , pour tout entier naturel n On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimer un en fonction de n.
2. On considère les suites v = ( vn ) et w = ( wn ) telles que, pour tout entier naturel n ,
vn = un − 1 un
et wn = ln ( vn ).
(ln désigne le logarithme népérien). a. Vérifier que vn et wn sont définies pour tout entier naturel n. b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique. c. Exprimer, pour tout entier naturel n , wn puis vn en fonction de n et en déduire que :
un =
2
) n.
En déduire la limite de la suite u.
EXERCICE 2 5 points
On donne, dans le plan orienté, un triangle isocèle OAO′^ avec
AO ,
AO′^
π 2
Les cercles C et C ′^ passant par A et de centres respectifs O et O′^ se recoupent en B. On note I le centre du carré AOBO′. On présentera les données sur une figure que l’on complètera progressivement.
1. D et D′^ étant les points diamétralement opposés à A sur les cercles C et C ′^ res- pectivement, démontrer, à l’aide d’une homothétie de centre A, que les points D, B et D′^ sont alignés. 2. Soit M un point du cercle C (M 6 = A, M 6 = B) et M′^ l’intersection de la droite (MB) avec le cercle C ′, a. Vérifier que M′^ est distinct de A, puis démontrer que : (−−→ AM ,
AM′^
AD ,
AD′^
b. En déduire que la rotation r de centre A qui transforme O en O’ trans- forme la droite (AM) en la droite (AM′).
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
c. Prouver que r transforme M en M′.
3. Soit N le point d’intersection de la droite (M′A) avec le cercle C. Soit N′^ le point d’intersection de la droite (MA) avec le cercle C ′. Démontrer que N′^ est l’image de N par la rotation r. 4. On suppose que M est distinct de D. a. Prouver que N est distinct de A. On construit alors le carré NAN′F. b. Montrer que les points B et F sont les images respectives des points O et N par une similitude directe s dont on précisera le centre, le rapport et l’angle. c. Construire l’image du cercle C par s.
PROBLÈME 11 points
Dans la première partie du problème on étudie une fonction f , dont on appelle C la courbe représentative dans un repère orthonormal. Dans les deuxième et troisième parties on construit l’image de C par des transforma- tions du plan. La dernière partie a pour objet l’étude de l’effet de ces transformations sur les aires.
Partie A
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
. Soit f la fonction définie
sur [0 ; +∞[ par :
{ f ( x ) = 2 x (1 − ln x ), pour x > 0, f (0) = 0.
(ln désigne le logarithme népérien.)
1. a. Calculer la dérivée f ′, de f sur [0 ; +∞[. En déduire les variations de! b. Déterminer la limite de f quand x tend vers +∞. c. Montrer que la fonction f est continue en zéro. La fonction f est-elle dérivable en zéro? d. Dresser le tableau de variations de la fonction f. 2. On note C la courbe représentative de la fonction f a. On note N le point de C d’abscisse 1, R le point d’intersection de C et de l’axe des abscisses, Q le point de C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = 2 x. Calculer les coordonnées des points N, R, Q et donner les coefficients directeurs des tangentes à C , en chacun de ces points. b. En adoptant 4 cm pour l’unité et en plaçant l’axe des ordonnées à 6 cm du bord gauche de la feuille, construire C , ainsi que les tangentes à C en N, R et Q.
Partie B
1. Soit T 1 l’application de P dans P qui au point M ( x ; y ) d’affixe z , z = x + i y , associe le point M 1 d’affixe z 1 = z , où z désigne le conjugué de z. a. Quelle est la nature géométrique de T 1? b. On appelle C 1 l’image de C par T 1. Représenter C 1 sur le même dessin que C.
Métropole remplacement 2 septembre 1992
