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[ Baccalauréat C Centres étrangers^1 \
septembre 1988
EXERCICE 1 4 POINTS
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
I ;
ı ,
. Soit α un réel non nul. On
désigne par O 1 le point de coordonnées ( α ; 0) et par O 2 le point de coordonnées (− α ; 0). P 1 ( α ) est la parabole de sommet I et de foyer O 1 , P 2 ( α ) est la parabole de sommet O 1 et de foyer O 2.
1. Montrer que les équations des paraboles P 1 ( α ) et P 2 ( α ) dans le repère
I ;
ı ,
sont respectivement :
y^2 = 4 αx et y^2 = − 8 αx + 8 α^2.
2. a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection M α et N α des deux paraboles P 1 ( α ) et P 2 ( α ). On désignera par M α le point d’intersection dont l’ordonnée est du signe de α. b. En déduire l’ensemble des points M α et N α lorsque α décrit R∗. 3. Montrer que P 1 ( α ) et P 2 ( α ) sont respectivement les images de P 1 (1) et P 2 (1) par l’homothétie de centre I et de rapport α. En déduire que
IM α = α
IM 1 et
IN α = α
IN 1 et retrouver le résultat obtenu au
- b.
EXERCICE 2 4 POINTS
Dans l’espace orienté on considère un carré de sommets A, B, C, D et de centre O.
On désigne par E le point défini par
OA ∧
OB =
OE.
Soit f une isométrie laissant globalement invariant l’ensemble {A, B, C, D, E}.
1. a. Montrer que les images par toute isométrie des points A, B, C, D sont coplanaires. En déduire que l’ensemble {A, B, C, D, E} est globalement invariant par f et montrer que E est invariant. b. En remarquant que O est l’isobarycentre des points A, B, C, D montrer que O est invariant par f. 2. Si f est une rotation, quel est son axe? En déduire toutes les rotations laissant l’ensemble {A, B, C, D, E} globalement invariant. 3. Montrer que si f est une réflexion, son plan contient la droite (OE). En déduire toutes les réflexions laissant l’ensemble {A, B, C, D, E} globalement invariant.
PROBLÈME 12 POINTS
Le plan est rapporté au repère orthonormal
O,
ı ,
Partie A
Distance du point A(1 ; 1) à la courbe ( C ) d’équation y = e− x
- Égypte, Liban, Israël, Éthiopie
Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.
1. Construire, sur la feuille de papier millimétré, la courbe (C ) en précisant les points d’abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 (unité : 5 cm ; le point A étant approxi- mativement au centre de la feuille). 2. Exprimer en fonction de l’abscisse x d’un point M de (C ) la distance d ( x ) de A à M. Calculer la dérivée d ′^ de la fonction d et montrer que pour tout réel x , d ′( x ) est du signe de g ( x ) = e− x^ − e−^2 x^ + x − 1. 3. Montrer que g est strictement croissante sur R et préciser le comportement de g(x) quand x tend vers plus l’infini et quand x tend vers moins l’infini. On pourra remarquer que e− x^ − e−^2 x^ = e− x^ (1 − e− x^ ). La représentation graphique de g n’est pas demandée. 4. Montrer que l’équation g ( x ) = 0 a une solution unique x 0 dans R et que x 0 appartient à ] ln 2 ; 1[. 5. Montrer que la fonction d admet un minimum absolu en x 0. Dans la suite du problème on notera M 0 le point de (C ) d’abscisse x 0. Par définition la distance de A à (C ) est d 0 = AM 0 = d ( x 0 ). 6. Montrer que la tangente en M 0 à la courbe (C ) est perpendiculaire à la droite (AM 0 ).
Partie B
Évaluation de cette distance d 0 On considère l’application h , de R dans R, définie par :
h ( x ) = e−^2 x^ − e− x^ + 1.
On désigne par (Γ) la courbe représentative de h dans le repère
O,
ı ,
1. Évaluation graphique a. Dresser le tableau de variations de h (on précisera le comportement de h ( x ) quand x tend vers plus l’infini et quand x tend vers moins l’infini). b. Étudier la position relative des courbes (C ) et (Γ). c. Construire (Γ) dans le même repère que (C ) en précisant les points d’abs- cisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1. d. Montrer que (Γ) coupe la droite d’équation y = x en un point H 0 de même abscisse que M 0 ; utiliser les courbes (C ) et (Γ) pour construire M 0 et mesurer la distance d 0 en utilisant une règle graduée. 2. Approximation de d 0 On considère la suite définie par { U 0 = 1 Un + 1 = h ( Un ) pour tout n de N.
a. Montrer que pour tout x de [ln 2 ; 1], h ( x ) appartient à [ln 2 ; 1]. En dé- duire que pour tout n de N, Un appartient à [ln 2 ; 1]. b. Montrer que la suite ( Un ) est décroissante. (On utilisera un raisonne- ment par récurrence.) En déduire que ( Un ) est convergente et montrer que sa limite est x 0. c. Donner une valeur approchée de U 4 à 10−^4 près, puis une valeur appro- chée de d ( U 4 )·
Centres étrangers 2 septembre 1988
