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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Polynésie juin 1991 \
EXERCICE 1 4 points
Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par :
f ( x ) = sin πx.
1. a. Tracer la courbe représentative C de f (unité graphique 8 cm). b. Calculer :
I =
0
sin πx d x.
c. Interpréter graphiquement cette intégrale.
2. Pour tout entier naturel n > 2, on pose :
Sn =
n
[
f (0) + f
n
n
n − 1 n
)]
a. Interpréter graphiquement[ Sn en introduisant les rectangles Rk de base k n
k + 1 n
]
et de hauteur
k n
où 0 6 k 6 n −1. Faire la figure lorsque n = 8.
b. Prouver que :
1 + e
i π n (^) + e 2i π n (^) + ··· + e ( n −1)i π n (^) =
1 − e
i π n
c. En déduire que :
sin
π n
2 π n
( n − 1) π n
cos 2 πn sin 2 πn
d. Prouver finalement que :
n lim→+∞ Sn^ =^
π
3. Comparer les résultats des questions 1. et 2. et interpréter graphiquement.
EXERCICE 2 5 points
Dans un plan orienté, on considère un triangle rectangle ABC tel que l’angle
CA ,
CB
mesure +
π 2
La hauteur issue de C coupe (BA) en H et coupe la parallèle à (BC) menée par A en D. On pose CA = b et BC = a.
1. Soit s la similitude directe transformant C en A et B en C. a. Déterminer son rapport en fonction de a et b et calculer son angle. b. En utilisant cet angle, démontrer que le centre de s est le point H. c. Quelle est l’image de A par s? 2. En utilisant s, démontrer l’égalité : HC^2 = HA × HB.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
3. Soit I le milieu de [BC], J le milieu de [CA] et K le milieu de [AD]. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en J et que dans ce triangle H est le pied de la hauteur issue de J.
PROBLÈME 11 points
A. Une représentation paramétrique de la cardioïde
Dans un plan rapporté à un repère orthonormal d’origine 0, on se propose d’étudier la courbe Γ décrite par le point P d’affixe
z = (1 + cos θ )ei θ^ pour θ dans [− π ; π ].
1. Déterminer la partie réelle f ( θ ) et la partie imaginaire g ( θ ) de z. Étudier la parité des fonctions f et g , en déduire que la courbe Γ admet un axe de symétrie que l’on précisera.
On appellera Γ 1 la partie de Γ qui correspond à 0 6 θ 6 π.
2. f ′^ et g ′^ étant les dérivées de f et g , montrer que
f ′( θ ) = − sin θ (1 + 2cos θ ) g ′( θ ) = cos2 θ + cos θ.
3. Soit
t le vecteur de coordonnées
f ′( θ ) ; g ′( θ )
a. Montrer que
t est un vecteur directeur de la tangente en P à Γ 1 , sauf pour une valeur de θ que l’on précisera. b. L’arc Γ 1 coupe l’axe des ordonnées en un point I autre que O. Calculer l’ordonnée de I et déterminer la tangente à Γ en I. c. Déterminer les points de l’arc Γ 1 pour lesquels le vecteur
t dirige un des axes de coordonnées.
4. On suppose ici que θ vérifie : π 2
< θ < π. Soit α le coefficient directeur de la droite (OP). Montrer que : α = tan θ. En déduire la tangente en O à Γ.
5. Déduire des questions précédentes le tableau de variations coordonnées des fonctions f et g ( θ ∈ [ O ; π ]). En prenant 4 cm pour unité, construire Γ 1 puis Γ. On placera avec soin les points et les tangentes étudiés ci-dessus.
B. Cercle de cardioïde
On désigne par C le cercle de diamètre [OA], où A est le point d’affixe 1.
1. Soit M le point d’affixe cos θ ei θ. Montrer que le point M est sur le cercle C quelle que soit la valeur de θ réel. 2. On suppose maintenant que M a pour affixe :
zM = cosei θ^ avec − π 6 θ 6 π
et on lui associe le point P tel que le vecteur
MP ait pour affixe : z − MP −→ = ei θ. Vérifier que le point P est sur la courbe Γ définie au début du problème. Mon- trer que les points 0, M et P sont alignés. Calculer la longueur MP. En déduire une construction point par point de Γ. (On distinguera les cas cos θ > 0 et cos θ < 0.) Désormais, θ est fixé.
Polynésie 2 juin 1991
